根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理資料練習(xí)題-資料下載頁(yè)
2025-03-25 04:45本頁(yè)面
【正文】 據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出x1+x2，x1?x2的值，再結(jié)合x(chóng)1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判別式，可求出k的取值范圍，從而確定k的值．解答：解：根據(jù)題意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1?x2==﹣2k，又∵x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=22，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣41（﹣2k）=（2k+1）2，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．點(diǎn)評(píng)：一元二次方程的兩個(gè)根xx2具有這樣的關(guān)系：x1+x2=﹣，x1?x2=． 26．已知xx2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的兩個(gè)根，且滿足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可以表示出兩個(gè)根的和與積，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一個(gè)關(guān)于k的方程，從而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=177。3，當(dāng)k=3時(shí)，方程為x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合題意舍去；當(dāng)k=﹣3時(shí)，方程為x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合題意．故所求k的值為﹣3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=．注意運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式△≥0． 27．（2011?南充）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是x1和x2．（1）求k的取值范圍；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k為整數(shù)，求k的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式；解一元一次不等式組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：代數(shù)綜合題；壓軸題．分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足△=b2﹣4ac≥0，從而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范圍，然后根據(jù)k為整數(shù)，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值范圍是k≤0．（4分）（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k為整數(shù)，∴k的值為﹣1和0．（8分）點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一定要注意其前提是此方程的判別式△≥0． 28．（2012?懷化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根據(jù)一元二次方程的根的判別式求得a的取值范圍；（1）將已知等式變形為x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通過(guò)解該關(guān)于a的方程即可求得a的值；（2）根據(jù)限制性條件“（x1+1）（x2+1）為負(fù)整數(shù)”求得a的取值范圍，然后在取值范圍內(nèi)取a的整數(shù)值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△=4a2﹣4（a﹣6）?a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在實(shí)數(shù)a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴當(dāng)（x1+1）（x2+1）為負(fù)整數(shù)時(shí)，a﹣6＞0，且a﹣6是6的約數(shù)，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值有12，9，8，7．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)）的二次項(xiàng)系數(shù)a≠0． 29．（2010?東莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的范圍；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△≥0，把系數(shù)代入可求m的范圍；（2）利用兩根關(guān)系，已知x1+x2=2結(jié)合x(chóng)1+3x2=3，先求xx2，再求m．解答：解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由兩根關(guān)系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程組，解得，∴m=x1?x2=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別式，兩根關(guān)系的運(yùn)用，要求熟練掌握． 30．（2005?福州）已知xx2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）如果m滿足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m為整數(shù)．求m的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足△=b2﹣4ac≥0，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．∴△=（﹣2）2﹣42（m+1）=﹣4﹣8m．當(dāng)﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣時(shí)．方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．又∵m≤﹣，且m為整數(shù)．∴m的值為﹣2，﹣1．點(diǎn)評(píng)：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0，b2﹣4ac≥0），根與系數(shù)的關(guān)系是：x1+x2=，x1x2=． 59
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