數(shù)理統(tǒng)計茆詩松第二章自測題-資料下載頁
2025-03-25 03:09本頁面
【正文】 x2,…, xn)是X的一組樣本觀察值，則p的似然函數(shù)為，兩邊取自然對數(shù)為，令，得似然估計值為，由最大似然估計的不變性，可得p2的最大似然估計為(k/n)2）5. D2XX1=σ2,DX=σ2n。 ++=1950σ2.二、選擇題： 1. (B)；2. (B)；3. (D)；4. （C）；5. （C） 6. (A)；7. (C)； 8.（C）【提示】1. 易得a和b的最大似然估計分別為a2=min1≤i≤nXi,b2=[max1≤i≤nXi]，再由最大似然估計的不變性可得。2．E(X)=3－4，故。代入樣本均值的觀察值，得。4. S2是σ2的無偏估計，但S不是σ的無偏估計； (n1)/n S2是σ2的最大似然估計，所以n1/nS是σ的最大似然估計；只有當(dāng)總體是正態(tài)分布時，才有S與X相互獨(dú)立。6. 。7. 。三、判斷題： 1．180。；2. 180。；3. 180。；4. 214。；5. 180。；6. 180。；7. 180。；8. 214。；9. 214。；10. 180。；【提示】3. 對CR正則族，有效估計一定是一致最小方差無偏估計，但反過來，由于UMVUE的方差不一定能達(dá)到CR下界，所以UMVUE不一定是有效估計。4. 設(shè)X1, X2, …, Xn為來自總體的一個樣本，其中參數(shù)未知，似然函數(shù)為要使，須滿足，所以，即滿足的統(tǒng)計量都是的最大似然估計量。10. 貝葉斯統(tǒng)計中，參數(shù)確實(shí)是隨機(jī)的，但是參數(shù)值也是由先驗(yàn)信息和樣本信息同時決定的。四、計算題 1．【解】因?yàn)?所以，的矩估計量為。因?yàn)?，所以，又，所以是無偏的。2．【解】(1)似然函數(shù)為 當(dāng)x1q, x2q, …, xnq 時，L(q)0，取對數(shù)，得,因?yàn)椋?L(q) 單調(diào)增加，因此q 越大，L(q)越大，但qx1, x2, …, xn，故取q 的最大似然估計值為，于是q 的最大似然估計量為。(2)設(shè)總體X的分布函數(shù)為因?yàn)?，所以不是q的無偏估計量。(3)取，則 ，于是即*是q的無偏估計量。(4)由于Eθ2=θ∞z22ne2n(zθ)dz=0∞(t2+2t+1)2ne2nt)dt=1n2+θn+θ2, 所以Dθ=1n2+θn+θ2θ+12n2=34n2→0.。3.【解】設(shè)X為直到命中目標(biāo)為止所進(jìn)行的射擊次數(shù)，則X服從參數(shù)為p的幾何分布，即 。X為總體，p未知，x1, x2,…, xn是來自總體的一組樣本值，由，由矩估計法有為p的矩估計值。似然函數(shù)，令，解得。4. 【解】(1)求解參數(shù)的UMVUE。Gaα,λ，α0已知，其密度函數(shù)為： 易判斷它為指數(shù)分布族，并且當(dāng)α0已知時有T=i=1nXi為充分統(tǒng)計量，又指數(shù)分布族的充分統(tǒng)計量為完備統(tǒng)計量，所以T=i=1nXi是充分完備統(tǒng)計量。又EX=αλ，所以ETnα=1ααλ=1λ. ，又是完備充分統(tǒng)計量的函數(shù)，所以為UMVUE。（2）判斷它是否為有效估計。先計算Tnα的方差：下一步計算參數(shù)gλ=1λ的CR下界。由伽瑪分布的密度函數(shù)得到；所以的費(fèi)希爾信息量為由CR下界公式知gλ=1λ的無偏估計下界為：由于UMVUE達(dá)到了CR下界，所以為有效估計。5. 【解】(1)當(dāng)θxiθ+1,i=1,2,3。10θ16,即10θx(1)x(3)θ+117時，樣本和θ的聯(lián)合分布為：基于三個觀測值有：故后驗(yàn)密度為：即θ的后驗(yàn)分布為均勻分布U[,].(2)由于在均方誤差標(biāo)準(zhǔn)下貝葉斯估計為后驗(yàn)均值，+=，貝葉斯估計的方差為(()/12)2=.6. 可用類似課本P132頁證明，惟一的區(qū)別是沒有權(quán)重。第二章自測題及答案 第 8 頁 共 8 頁 2015
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