數(shù)列習(xí)題課(一)-資料下載頁(yè)
2025-03-25 02:51本頁(yè)面
【正文】 。…a1＝…＝n.{an}滿足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，則an＝________.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列答案 23n－1－1解析 設(shè)an＋1＋A＝3(an＋A)，化簡(jiǎn)得an＋1＝3an＋2A.又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.∴數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋1＝2，公比為3.則an＋1＝23n－1，即an＝23n－1－1.{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 (－2)n－1解析 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.三、解答題{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 (1)由題設(shè)可知a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得或(舍去).由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.＝4－an－，求an與Sn.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 ∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.∴an＝an－1＋n－1.∴－＝2，∴2nan－2n－1an－1＝2，∴{2nan}是等差數(shù)列，d＝2，首項(xiàng)為2a1.∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝nn－1，∴Sn＝4－an－＝4－n－＝4－.四、探究與拓展{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整數(shù))，則它的通項(xiàng)公式an為________________.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 其他遞推數(shù)列問題答案 解析 由題意知an0，將an＋1＝a兩邊取對(duì)數(shù)得lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以數(shù)列{lg an}是以lg a1＝lg 3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，lg an＝(lg a1)2n－1＝.即an＝.{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－3an(n∈N*).(1)求a3，a4的值；(2)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列(1)解 a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.(2)證明 ∵an＋2＝4an＋1－3an，∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an).又a1＝1，a2＝4，∴＝3，則{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.(3)解 由(2)得an＋1－an＝3n，則當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝3n－1，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝＝.又a1＝1適合上式，故an＝，n∈N*.
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