偽旁切圓中的共點共線問題-資料下載頁
2025-03-24 06:59本頁面
【正文】 們先證明Q、P、L三線共點。根據(jù)引理知J、K、L分別為SQ、QR、RS中點，所以QL于JK的交點T為JK中點。根據(jù)定理三知T為弧BAC中點，根據(jù)命題九的引理知T、P、L共線，所以Q、P、L三點共線。命題十一：如圖29，△ABC外接圓為⊙O，⊙P與⊙O外切于J，且分別切AB、AC于G、H，AP交⊙O于R，CB、HG延長線交于S，證明：S、J、R三點共線。 圖29證明：如圖30，延長GJ交⊙O于M，過M作⊙O的切線l，由于J為⊙O、⊙P的位似中心，AG是⊙P切線，l為⊙O切線，所以l∥AG，于是知弧BJM=弧ACM。所以∠GJB=∠BAM=∠AJM，即GJ為△ABJ中∠AJB的外角平分線。所以BJAJ=BGAG （1）同理可知HJ為△ACJ中∠AJC的外角平分線，所以CJAJ=CHAH （2）又由于AG=AH，由（1）247。（2）知BJCJ=BGCH （3）又根據(jù)梅涅勞斯定理知AGGB?BSSC?CHHA=1，所以BGCH=BSCS，代入（3）知BJCJ=BSCS，所以SJ為∠BJC的外角平分線。另一方面，由于AG、AH為⊙P兩條切線，所以AP平分∠BAC，所以∠BJC+2∠RJC=∠BJC+2∠RAC=∠BJC+∠BAC=180176。，所以RJ也為∠BJC的外角平分線。綜上所述，知S、J、R三點共線，且直線SR為∠BJC的外角平分線。圖30命題十二：如圖31，△ABC外接圓為⊙O?！袿1與⊙O相切于點M，且分別切CB、CA于D、E；⊙O2與⊙O相切于N，且分別切BA、BC于F、G；⊙O3與⊙O相切于P，且分別切AC、AB于H、I。DE、FG、HI分別交于點Q、R、S。L、J、K分別為HI、DE、FG中點，LD、SK交于交于U，LG、RJ交于V。證明：U、V、P共線，且UV⊥QL于P。圖31證明：我們先證明一個引理：如圖32，△ABC中，DEF分別為三邊中點，RG⊥DF于G，F(xiàn)H⊥DE于H，GH分別交AB、AC于I、J，DI交BE于K，DJ交CF于L，則KL⊥AD。 圖32證明：如圖17，設(shè)△ABC的重心為M，令EF=a，DF=b，DE=c，則BC=2a，AC=2b，AB=2c。根據(jù)中線長公式知BE=2a2+2c2b2，CF=2a2+2b2c2，AD=2b2+2c2a2。于是知BM=232a2+2c2b2，CM=232a2+2b2c2，DM=132b2+2c2a2。要證KL⊥AD，只需證明MKcos∠KMD=MLcos∠LMD，即只需證明：MKMB(2MB?MDcos∠BMD)=MLMC(2MC?MDcos∠CMD) （1）又根據(jù)余弦定理知2MB?MDcos∠BMD=MB2+MD2BD2=29(5c2a2b2) （2）2MC?MDcos∠CMD=MC2+MD2CD2=29(5b2a2c2) （3）由（2）、（3）知，要證（1），只需證MKMB5c2a2b2=MLMC(5b2a2c2) （4）下面我們證明（4）式。因為F、G、H、E共圓，所以∠FGI=∠FED=∠FBD，所以I、G、D、B四點共圓。于是知FIFB=FGFD=FEFDcos∠EFD=12(FD2+FE2DE2)，所以FI=12(FD2+FE2DE2)FB=a2+b2c22c。于是有BI=BFIF=ca2+b2c22c=3c2a2b22c，AI=AF+FI=c+a2+b2c22c=a2+b2+c22c。根據(jù)梅涅勞斯定理知BIIA?ADDM?MKKB=1，所以有MKKB=DMAD?IABI=13a2+b2+c22c3c2a2b22c=a2+b2+c29c23a23b2，于是知MKMB=MKMK+KB=a2+b2+c2a2+b2+c2+(9c23a23b2)=a2+b2+c210c22a22b2 （5）同理可知MLMC=a2+b2+c210b22a22c2 （6）由（5）、（6）知MKMB5c2a2b2=a2+b2+c210c22a22b25c2a2b2=a2+b2+c22 （7）MLMC5b2a2c2=a2+b2+c210b22a22c25b2a2c2=a2+b2+c22 （8）由（7）、（8）知（4）式成立，所以（1）式成立，命題得證。下面我們借助引理證明原命題。如圖33，延長GD、RS交于W，連接AL交⊙O于X，連接JK、KL、LJ，連接KB、JC。設(shè)QL交JK于T，連接TX。根據(jù)命題十的引理知，J、K、L分別為SQ、QR、RS中點，于是知QL、SK、RJ交于一點Y。且知道四邊形QJLK是平行四邊形，所以T為JK中點。根據(jù)定理一知，T在⊙O上，且T為弧BAC的中點。根據(jù)曼海姆定理知J、K、L為△ABC的三個旁心，所以KB⊥JL、JC⊥KL，又根據(jù)引理十的引理知J、K、L分別為SQ、QR、RS中點，所以根據(jù)引理知，UV⊥QL。又因為SD、RG的交點Q，SU、RV的交點Y和DU、GV的交點L，三點共線，在△DUS和△GVR中使用笛沙格定理知，W、U、V共線。又根據(jù)命題十一知，W、P、X共線。又因為∠BAX=∠CAX，所以X為弧BPC的中點。又T為弧BAC的中點，所以TX為⊙O直徑，即XP⊥TP，所以WP⊥QL。綜上所述，W、U、V共線，UV⊥QL，WP⊥QL，所以知U、V、P共線，且UV⊥QL于P。 圖33
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