偽旁切圓中的共點共線問題(編輯修改稿)
2025-04-20 06:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 Esin∠AEFsin∠BDI=sin∠BIDsin∠BDIsin∠CGHsin∠CHGsin∠AEFsin∠AFE=BDBICHCGAFAE，又根據(jù)定理三知BDBICHCGAFAE=1，所以sin∠IPAsin∠HPAsin∠GRBsin∠FRBsin∠EQCsin∠DQC=1。根據(jù)賽瓦定理逆定理知PA、RB、QC三線共點。命題六：如圖16，△ABC外接圓為⊙O?！袿1與⊙O相切，且分別切CB、CA于D、E；⊙O2與⊙O相切，且分別切BA、BC于F、G；⊙O3與⊙O相切，且分別切AC、AB于H、I。BH、CI交于P，AG、CF交于Q，AD、BE交于R。證明：AP、BQ、CR三線共點。證明：設(shè)AB、CR交于M，BC、AP交于N，AC、BQ交于L。則由賽瓦定理逆定理知，要證AP、BQ、CR三線共點，只需證明AMMBBNNCCLLA=1。又由塞瓦定理知AMMBBDDCCEEA=1，即AMMB=AEBD。同理BNNC=BICH，CLLA=CGAF。三式相乘有AMMBBNNCCLLA=AEBDBICHCGAF。由定理三知AEBDBICHCGAF=1，所以AMMBBNNCCLLA=1，命題得證。 圖16命題七：如圖17，△ABC的外接圓為⊙O?！袿1與⊙O外切，且分別與AB、AC切于G、H；⊙O2與⊙O外切，且分別與BC、BA切于I、J；⊙O3與⊙O外切，且分別與CA、CB切于K、L。GK、HI交于點M，KI、LH交于點N，IG、JL交于點P。求證：MA、NC、PB三線共點。 圖17證明：如圖18，連接AOGH交于D，連接BOIJ交于點E，連接COLK交于點F，則由曼海姆定理知D、E、F分別為△ABC的三個旁心。于是知E、F過點A，且EF⊥AD，GH⊥AD；FD過點B，且FD⊥BE，IJ⊥BE；D、E過點C，且DE⊥CF，KL⊥CF。根據(jù)賽瓦定理三角形式知，要證MA、NC、PB三線共點，只需證明：sin∠KAMsin∠JAMsin∠ICNsin∠HCNsin∠GBPsin∠LBP=1 （1）下面證明（1）式根據(jù)三角形面積公式知KAsin∠KAMJAsin∠JAM=S?KAMS?JAM=KA?KMsin∠AKMJA?JMsin∠AJM=KA?KMsin∠AKGJA?JMsin∠AJH 所以sin∠KAMsin∠JAM=KMsin∠AKGJMsin∠AJH （2）又sin∠AKGsin∠AJH=sin∠AKGsin∠KAGsin∠AJHsin∠JAH=AGKGAHJH=JHKG （3）將（3）代入（2）知sin∠KAMsin∠JAM=KMsin∠AKGJMsin∠AJH=KMJMJHKG=KMKGJHJM （4）又KMKG=MHsin∠JHAGHsin∠GHA （5）JHJM=GHsin∠HGAMGsin∠KGA （6）（5）（6）知KMKGJHJM=MHsin∠JHAGHsin∠GHAGHsin∠HGAMGsin∠KGA=MHsin∠JHAMGsin∠KGA=sin∠MGH?sin∠JHAsin∠MHG?sin∠KGA =sin∠KGHsin∠KGAsin∠JHAsin∠JHG （7）又GHsin∠KGHGAsin∠KGA=KHKA （8）HAsin∠JHAHGsin∠JHG=JAJG （9）（8）（9）得sin∠KGHsin∠KGAsin∠JHAsin∠JHG=GHsin∠KGHGAsin∠KGAHAsin∠JHAHGsin∠JHG=KHKAJAJG （10）將（10）代入（7）知KMKGJHJM=KHKAJAJG （11）將（11）代入（4）知sin∠KAMsin∠JAM=KHKAJAJG （12）同理可知：sin∠ICNsin∠HCN=ILICHCHK （13）sin∠GBPsin∠LBP=GJGBLBLI （14）（12）（13）（14）知sin∠KAMsin∠JAMsin∠ICNsin∠HCNsin∠GBPsin∠LBP=KHKAJAJGILICHCHKGJGBLBLI=JAGBLBICHCKA （15）根據(jù)定理三知JAGBLBICHCKA=1，所以sin∠KAMsin∠JAMsin∠ICNsin∠HCNsin∠GBPsin∠LBP=1，（1）式成立，問題得證。圖18命題八：如圖19，△ABC外接圓為⊙O。⊙O1與⊙O相切，且分別切AB、AC于JK；⊙O2與⊙O相切，且分別切BC、BA于L、M；⊙O3與⊙O相切，且分別切CA、CB于N、P?！鰽BC內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于D、E、F。AD交⊙O1于G，BE交⊙O2于H，CF交⊙O3于I。IB、HC交于點Q，IA、GC交于點R，GB、HA交于點S，求證：AQ、BR、CS三線共點。圖19證明：我們先證明一個引理：如圖20，△ABC的外接圓為⊙O，⊙O1與⊙O外切，且分別切CA、CB于G、H；⊙O2與⊙O外切，且分別切BA、BC于I、J，△ABC的內(nèi)切圓⊙N分別切BC、CA、AB于D、E、F，CF交⊙O1于K，BE交⊙O2于L，KB、LC交于點M，則∠CAD=∠BAM。圖20如圖21，連接CO1交HG于U，交DE于Q，連接BO2交IJ于V，交DF于P，
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