【正文】 ε π 4 0 + = 2 q U1 180。 = 109 50 102 (+1) 108 =450(V) 已知： r1=10cm, r2=30cm, q1=108 C, q2= 108 C 求： U1， U2 解： r1 r2 q2 q1 題號(hào) 結(jié)束 839 電荷 Q 均勻分布在半徑為 R的球體 內(nèi)，試證離球心 r 處（ r R）的電勢(shì)為 : 3 U R r 2 ( ) = 2 π 8 R Q 0 e 3 題號(hào) 結(jié)束 π 3 4 Q 3 1 0 = ε R π 3 4 3 r . . . E q 0 = επ r 2 4 內(nèi) U + ? R r d r = E 內(nèi) ? R d r E 外 ∞ . . ε π 4 0 Q 3 = R r ε π 4 0 Q 2 r + ? R r d r ? R d r ∞ = ε π 8 0 Q 3 R ε π 4 0 Q R + 2 R 2 r ( ) = ε π 8 0Q 3 R 2 3R 2 r ( ) 解：由高斯定理 ε π 1 4 0 Q 3 = R r E 內(nèi) 得： 外 ε π 4 0 Q 2 = r E 而 題號(hào) 結(jié)束 840 如圖所示，在邊長(zhǎng)為 1m的正方形 的左上角有一點(diǎn)電荷 q1 = 1012C ，左下角 有一點(diǎn)電荷 q2 = 1012C ，電荷量為 Q = 1011C的電荷均勻分在右邊的細(xì)線上。求正 方形中心的電勢(shì)。 1m q1 q2 o . 題號(hào) 結(jié)束 r ε π 1 4 0 U d = d q l = d q d x a Q = l = 2 + x 2 a 2 ( ) r 已知： a=1m,q1=1012 C, q2=1012 C, Q =1011 C。 求 ： U0 解： q1與 q2在 O點(diǎn)的電勢(shì)互相抵消 a=1m q1 q2 o . a r d x 2 x 題號(hào) 結(jié)束 r ε π 1 4 0 U d = d q l = d q d x a Q = l = 2 + x 2 a 2 ( ) r + 2 + a 2 ( ) 2 a 2 ( ) a 2 a Q ε π 4 0 = ln + 2 + a 2 ( ) 2 a 2 ( ) a 2 a Q ε π 4 0 = d x ? a 2 a 2 2 + x 2 a 2 ( ) U = 題號(hào) 結(jié)束 841 設(shè)電勢(shì)沿 x 軸的變化 曲 線如圖所 示。試對(duì)所示各區(qū)間（忽略區(qū)間端點(diǎn)的情況） 確定電場(chǎng)強(qiáng)度的 x分量，并作出 Ex 對(duì) x 的關(guān) 系圖線。 a g f h e c b d 5 5 6 12 12 6 V/V x/m o 題號(hào) 結(jié)束 5 7 x 5 2 x 2 2 x 2 x x 7 x U Δ Ex = x Δ = = 6V/m 120 4+6 Ex = =12V/m 60 Ex =0 Ex =0 Ex = =3V/m 012 2+2 解： Ex = =+ 5 5 6 12 12 6 U/V x/m o a g f h e c b d 題號(hào) 結(jié)束 842一半徑 R = 8cm的圓盤，其上均勻 帶有面密度為 s = 2 105C/m2 的電荷， 求： （ 1）軸線上任一點(diǎn)的電勢(shì)（用該點(diǎn)與盤 心的距離 x 來表示）； （ 2）從場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的關(guān)系求該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)； （ 3）計(jì)算 x = 6cm處的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)。 R s . P x 題號(hào) 結(jié)束 π ζ 2 r = d r d q ε π 4 0 = d U + x 2 r 2 π ζ 2 r d r ε 2 0 = + x 2 r 2 ζ r d r ? R 0 U ε 2 0 = + x 2 r 2 ζ r d r x ( ) ε 2 0 = + R 2 r 2 ζ . P x R s r d r x 已知： R、 ζ 。 求： (1)U,(2)E 解： (1) = 104V = 105 2 1012 ()2 +()2 102 102 題號(hào) 結(jié)束 = Ex d U d x x ε 2 0 = + R 2 r 2 ζ 1 = 105V/m = 105 2 1012 ()2 +()2 102 1 102 題號(hào) 結(jié)束 843 在 xy平面上，各點(diǎn)的電勢(shì)滿足下式 式中 x 和 y 為任一點(diǎn)的坐標(biāo)， a 和 b為常量。 求任一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的 Ex和 Ey兩個(gè)分量。 ax U x y b 2 ( ) = + + 2 x y 2 + 2 2 1 題號(hào) 結(jié)束 U x ? Ex = ? = x ? ? ax x y b 2 ( ) + + 2 x y 2 + 2 2 1 2 + ( ) = a x y 2 ( ) + + 2 x y 2 + 2 2 3 ax?2x x y 2 + 2 b?2x ( ) 2 = x y 2 + 2 ( ) 2 1 + + ( ) ( ) x y 2 + 2 x y 2 + 2 2 1 a 2ax 2 bx = x y 2 + 2 ( ) 2 1 + ( ) ( ) x y 2 2 x y 2 + 2 2 1 a bx 已知： ax U x y b 2 ( ) = + + 2 x y 2 + 2 2 1 求 ： Ex 、 Ey 題號(hào) 結(jié)束 U y ? Ey = ? = y ? ? ax x y b 2 ( ) + + 2 x y 2 + 2 2 1 = ( ) + x y 2 + 2 2 3 ax?2y x y 2 + 2 by ( ) 2 = x y 2 + 2 ( ) 2 y + ( ) x y 2 + 2 2 1 2ax b 題號(hào) 結(jié)束 844 一帶電粒于經(jīng)過加速電壓加速后， 其速度增大，已知電子的質(zhì)量 m = I031kg，電荷量絕對(duì)值 I019C。 （ 1）假設(shè)電子質(zhì)量與速度無關(guān)，把靜止 電子加速到光速要多高的電壓？ （ 2）若考慮電子質(zhì)量隨速度而變化，那 么靜止電子經(jīng)過上述電壓加速后，其速度是 多少？它是光速 c 的百分之幾？ 題號(hào) 結(jié)束 1 2 U m e c 2 0 = 2 U m e c 2 0 = = 105 V 1031 = 2 1019 (3 108 )2 + ( ) m c 2 0 = 1 v c 2 U m e c 2 0 = 3 5 c = 1 9 4 c + m c 2 0 = 1 c m c 2 0 1 2 m c 2 0 v 已知 ： m,e。求 : (1)U, (2)v 解 ： (1)設(shè)電子初動(dòng)能為零 (2) + m c 2 0 = 1 v c 2 U m e c 2 0 2 2 題號(hào) 結(jié)束 845 設(shè) X 射線管中的一個(gè)電子，通過 180kV 加速電壓從陰極飛向陽(yáng)極 。如果電 子離開陰極時(shí)初速為零。試求電子到達(dá)陽(yáng)極 時(shí)的 （ 1）動(dòng)能及總能量； （ 2）速度； （ 3）按經(jīng)典理論計(jì)算的速度。 題號(hào) 結(jié)束 = 1031 9 1016+8 104 1019 = 1013 J + m c 2 0 = 1 c m c 2 0 1 2 m c 2 0 v = = 108 m/s 解： (1)Ek =eU=1 180000(eV) + ( ) m c 2 0 = 1 v c 2 U m e c 2 0 + m c 2 0 = 1 v c 2 U m e c 2 0 2 2 Ek + m c 2 0 E = (2) (3) 題號(hào) 結(jié)束 = 108 m/s 0 1 2 U m e v 2 = 2 U m e v = 0 2 18 104 1019 1031 = 若按經(jīng)典理論： 題號(hào) 結(jié)束 846 一電偶極子放在均勻電場(chǎng)中，其電 偶極矩與場(chǎng)強(qiáng)成 30o角，場(chǎng)強(qiáng)的大小為 2 103V／ m，作用在電偶極子上的力偶矩為 102 Nm。試計(jì)算其電偶極矩和電勢(shì) 能。 題號(hào) 結(jié)束 = 105 q E M p sin = = 102 103 = 2 3 E p = 2 3 105 103 = 102 J q E M p sin = (1) 300 W E p cos = (2) 已知： E = 103 V/m, q =300 , M = 102 求： (1) p, (2) W 題號(hào) 結(jié)束 847 一電偶極予原來與一均勻電場(chǎng)平行， 將它轉(zhuǎn)到與電場(chǎng)反平行時(shí)，外力作功 。 問當(dāng)此電偶極子與場(chǎng)強(qiáng)成 45O時(shí)，作用于它 的力偶矩有多大？ 題號(hào) 結(jié)束 = q E M p sin = 2 A E p = 45 0 E p sin = = 45 0 sin = 102 已知 ： A=， q =450 求 ： M π q A M 0 d = ? q E p sin = q d π 0 ? 2 = E p 題號(hào) 結(jié)束 848 一靜電加速器中粒子柬流的強(qiáng)度為 106 A，用 它 轟擊一靶，使 靶 的 溫 度按 5K／ min的速率升高，靶的質(zhì)量為 10g，比 熱容為 102 J／ (kgK)。試求 （ 1）加速器的加速電壓； （ 2）每秒轟擊靶的粒子數(shù) ( 每一粒子的 電荷量為 1019 C ) ； （ 3）如果粒子的質(zhì)量為 1027 kg， 求粒子轟擊靶面時(shí)的速度。 題號(hào) 結(jié)束 = 102 V 60 T d = t d I = 106A U mc = I T d t d 10 103 102 = 1 106 60 U c = 102J/ 求 ： (1)U, (2)dn/dt, (3)v U mc = I T d t d (1) 已知： m = 10 103kg 題號(hào) 結(jié)束 = I q d t d = n d t d q 0 = I n d t d q 0 = 1019 1 106 = 1012個(gè) /秒 (2)設(shè)每個(gè)粒子帶電量為 q0,， 每秒轟擊靶 的粒子數(shù)為 dn/dt 題號(hào) 結(jié)束 2 1019 105 1027 = = 106 m/s = q 0 I 0 1 2 m v 2 . 2 U m v = q 0 0 1 2 U m I v 2 = n d t d . (3) 題號(hào) 結(jié)束 題號(hào) 結(jié)束 849 有一瓦楞狀直長(zhǎng)均勻帶電薄板，面 電荷密度為 ζ ,瓦楞的圓半徑為 a 試求：軸 線中部一點(diǎn) P 處的電場(chǎng)強(qiáng)度。 a L P . 題號(hào) 結(jié)束 q x y o d E d q q a a L l d P . r E l ε π 2 0 = 解： d E d a l ε π 2 0 = L d q = d l ζ = d s ζ = d l L d E d a l ε π 2 0 = a ε π 2 0 = ζ d l = d l ζ d l ∴ L d l ζ d q 題號(hào) 結(jié)束 q x y o d E d q q a d E d a l ε π 2 0 = a ε π 2 0 = ζ d l Ey =0 由電荷分布的對(duì)稱性： ? Ex = d E q sin = ? E d a ε π 2 0 = ζ d l q sin ? a ε π 2 0 = ζ q sin ? a q d π 0 ε