【正文】 1. 幾個(gè)概念 非圓截面桿受扭時(shí) , 橫截面會(huì)發(fā)生扭曲 ,平面假設(shè)不成立 ， 基于 圓桿扭轉(zhuǎn) 的應(yīng)力 、 變形 計(jì)算公式不可用 。 (1) 約束扭轉(zhuǎn) 非圓截面桿受扭時(shí) ,既然橫截面要發(fā)生翹曲 ,因此 ，如果翹曲受到牽制 , 例如桿件是 變截面 的 ， 或者 桿端面受到外部約束 而不能自由翹曲 ， 那么桿的 橫截面上除了有切應(yīng)力 ， 還有正應(yīng)力 。 這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn) 。 (2) 自由扭轉(zhuǎn) 橫截面翹曲不受牽制的扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。 要使非圓截面桿受扭時(shí)橫截面上 只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力 ， 桿件須為等截面 ，且 只在兩端受外力偶作用 ，同時(shí) 端面能自由翹曲 。 本節(jié)主要介紹矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)的情況。 2. 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn) 對(duì)矩形截面桿進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計(jì)算 根據(jù)彈性力學(xué)分析結(jié)果，矩形截面桿受扭時(shí)橫截面上最大的剪應(yīng)力在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，其算式為 單位長(zhǎng)度桿的扭轉(zhuǎn)角： Wt —— 抗扭截面模量 It —— 相當(dāng)極慣性矩 m a x / tTWt ?t/T GIq ? GIt—— 桿的抗扭剛度 It 和 Wt 在量綱上與圓截面的 Ip 和 Wp 相同 ， 但幾何意義不同 。 其中 ?和 b由表 8 1查得，此系數(shù)隨 m=h/b的比值而變。其中 h為長(zhǎng)邊尺寸， b為短邊尺寸。 矩形截面： 43ttIbWb?b? ??????則強(qiáng)度條件 ][,][ m a xm a x ttt ??tWT剛度條件 ][,][ m a xm a x qqq ??tGIT彈性力學(xué)結(jié)果 由彈性力學(xué)分析： Tmax—— 長(zhǎng)邊中點(diǎn) 切應(yīng)力分布圖 : m axtut ??hmaxt短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力： 在橫截面上周邊上各點(diǎn)處不可能有垂直于周邊的切應(yīng)力分量。 矩形截面上 , 頂點(diǎn)處的切應(yīng)力必等于零。 由切應(yīng)力互等定理： 矩形截面周邊上各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向必與周邊相切 。 hmaxt彈性力學(xué)的分析結(jié)果還表明 : 狹長(zhǎng) 矩形截面的 It 和 Wt 有 切應(yīng)力在沿長(zhǎng)邊各點(diǎn)處的方向均與長(zhǎng)邊相切 , 在靠近頂點(diǎn)處以外均相等 th tIhtWhtI ttt /3/,3/23 ???h/t10 狹長(zhǎng) 一矩形截面等直鋼桿 ， 其橫截面尺寸為h =100 mm, b=50 mm,長(zhǎng)度 l =2 m， 在桿的兩端作用一對(duì)矩為 T的扭轉(zhuǎn)力偶 。 已知 T=4000 Nm， 鋼的允許切應(yīng)力 [ t ]=100MPa， G = 8 104 MPa , [q ]=1o /m, 試校核桿的強(qiáng)度和剛度 。 解： mN40 00 ??T / 1 0 0 / 5 0 2hb ??, ?b? ＝查表得：36333t)1050(????????? bW b于是：例題 811 已知 以上結(jié)果表明，此桿滿足強(qiáng)度和剛度條件的要求。 4 3 4 8 4t 0 . 4 5 7 ( 5 0 1 0 ) 2 8 6 1 0 mIb ? ??? ? ? ? ? ? ?6m a x t/ 4 0 0 0 / ( 6 1 . 6 1 0 ) 6 5 M P a 1 0 0 M P aTWt ?? ? ? ? ?10 8t/ 4 0 0 0 /( 8 1 0 2 8 6 1 0 )0 .0 1 8 4 5 r a d /m1 /m[]T G Iqq?? ? ? ? ????例題 811 1. 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 小結(jié) (091111) 2. 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 (1) 橫截面上的應(yīng)力 20(1) 2 πMTrt ?? ??—— 材料的剪切胡克定律 ( 2 ) Gt??—— Ｅ 、 Ｇ 、 n三者之間的關(guān)系 (3 ) 2 (1 )EG u? ? (a) 幾何關(guān)系 (b) 物理關(guān)系 (c) 靜力學(xué)關(guān)系 )dd( x?r? r ?rr ?t ?? GxG dd ?rtr ?? ??? A AM dT rt r? ?? A AxGM ddd 2T r?(d) 極慣性矩和抗扭截面模量 實(shí)心圓截面 代入 Ip得 pTddGIMx ??TpTm a xT, MWMIr tt ??32/π 4p dI ?16/π 3T dW ?空心圓截面 扭轉(zhuǎn)角 斜截面上的應(yīng)力 )(32π 44p dDI ??)(16 π 44T dDDW ??xGIMll dd 0pT?? ?? ??pTGIlM???ts 2s i n??α?tt 2c o s??αy a b c d e n x ?? t t 矩形截面桿扭轉(zhuǎn) 截面翹屈不滿足平面假設(shè) ，有限元 、 彈性力學(xué)求解 { ?{ ?{ ?{ ? { ?{ ? { ?k kwk N m/ m i nk N m mP m9 . 5 5rNTnTLGI??????????? ??桿扭轉(zhuǎn)小結(jié) 幾何方程 T ρA dMArt? ? ??ρ ρGt??ρdd x??r?靜力學(xué)方程 物理方程 導(dǎo)出方程 2PA dIAr? ?TPddMx G I? ?TρP?= ρτ MITm axTτ = MWPT IW= D /2平面假設(shè)、線彈性、圓截面， t分布規(guī)律 2(1 )EGn? ?TPMLGI? ?si n 2c os 2??s t ?t t ????? ???斜截面應(yīng)力 強(qiáng)度 剛度條件 m axm axom ax[][ ] /mltt?qq???? ??????????2ep122eMlUMGI?? ? ? ?應(yīng)變能 代表單元 ?r定義 可能變形 軸向拉壓 彎 曲 扭 轉(zhuǎn) 直桿變形 扭 轉(zhuǎn) 彎 曲 軸向拉壓 內(nèi)力 符號(hào) 類型 載荷 符號(hào) 扭矩 彎矩 軸力 剪力 T,MT FN,N M Fs 拉壓力 外力偶矩 集中外力偶矩 集中力、分布力 F,P Me Me F、 q 教材中的內(nèi)力符號(hào) 作業(yè) 9， 10， 11， 13