【正文】 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?其中 ? ?12121, , ,jsjTij i j i i is ik k jksjbbc b a a a a bb????????? ? ??????????便有 ?????????????????????????????????????????????TmmTTTmTTmnmmAΛ???????????????22112121另外 ：以對(duì)角矩陣 左乘矩陣 時(shí)，把 按行 mΛ nmA? A分塊，有 另外 ：以對(duì)角矩陣 右乘矩陣 時(shí)，把 按列 nΛ nmA? A分塊，有 ? ?????????????????mnnnmΛA????????2121,? ?nn?????? , 2211 ?? 在矩陣?yán)碚摰难芯恐?,矩陣的分塊是一種最基本 ,最重要的計(jì)算技巧與方法 . (1) 加法 (2) 數(shù)乘 (3) 乘法 分塊矩陣之間的運(yùn)算 分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似： 同型矩陣，采同相同的分塊法； 數(shù) 乘矩陣 ，需 乘 的每一個(gè)子塊； k kA A若 與 相乘，需 的列的劃分與 A AB B的行的劃分相一致 . 五、小結(jié) (4) 轉(zhuǎn)置 (5) 分塊對(duì)角陣的行列式與逆陣 (6) 兩種特殊的分塊法：按行分塊與按列分塊 . 1111。sAAA????????????12 。sA A A A?1。nnnsAAA??? ????,0 都是可逆方陣和其中設(shè) CBCDBA ???????., 1?AA 并求可逆證明六、思考題 證 , 可逆由 CB ,0?? CBA有 .可逆得 A,1 ????????YWZXA設(shè) .000 ???????????????????EEYWZXCDB則??????????????.,ECYOCWODYBZEDWBX?????????????????.,1111OWDCBZCYBX.11111???????? ???????CODCBBA因此引例 求解線性方程組 一、消元法解線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 422244 6 2 2 43 6 9 7 9x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?? ④ ① ② ③ 解 ??????? ④ ① ② ③ ?① ② 2?③ 1 2 3 422x x x x? ? ? ?1 2 3 424x x x x? ? ? ?1 2 3 42 3 2x x x x? ? ? ?1 2 3 43 6 9 7 9x x x x? ? ? ?? ?B? ?B ? ?1B??????? ④ ① ② ③ 1 2 3 424x x x x? ? ? ?? ?2B③ ① 2?① 3?④ 2 3 42 2 2 0x x x? ? ?② ?③ 2 3 45 5 3 6xxx? ? ? ? ?2 3 43 3 4 3xxx? ? ? ???????? ④ ① ② ③ 1 2 3 424x x x x? ? ? ?? ?3B③ ② 5?② 3?④ 2 3 4 0x x x? ? ?426x ??4 3x ??② 2???????? ④ ① ② ③ 1 2 3 424x x x x? ? ? ?? ?3B2 3 4 0x x x? ? ?4 3x ??00?③ 2?③ ?④ 1323334433xxxxxxx???????? ???? ???1234xxxxx?????????????即 14131003c? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?其中ｃ為任意常數(shù) . 總結(jié) 上述解方程組的方法稱為 高斯消元法 ． 始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用三種變換 （ 1）交換方程次序； （ 2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程； （ 3）一個(gè)方程的ｋ倍加到另一個(gè)方程． 這三種變換均可逆 . 方程組的變換可以看成矩陣的變換 . 定義 下面三種變換稱為矩陣的 初等行變換 . ji rr ?（ 1）互換兩行： （ 2）數(shù)乘某行： kri ?（ 3）倍加某行： ji krr ?二、矩陣的初等變換 （ Elementary Transformation） 定義 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為矩陣的 初等變換 ． 同理，把 換成 可定義矩陣的 初等列變換 . r cERT ECT ET ji rr ? kri ?。ji rr ?1( )。ir k?ji krr ? .ijr kr?初等變換的逆變換仍為初等變換 , 且變換類型相同． 逆變換 逆變換 逆變換 定義 經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 ， 如果矩陣 A BAB與 等 價(jià)就稱矩陣 ，記作 ~AB等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)： ~。AA~ , ~if A B B A? ；~ , ~ C .if A B B ~ C A?具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系就稱為 等價(jià) ． （ 1）反身性： （ 2）對(duì)稱性： （ 3）傳遞性： 利用 初等 行 變換可把矩陣 化為 行階梯形矩陣 . A利用 初等 行 變換，也可把矩陣化為 行最簡(jiǎn)形矩陣 . 定理 利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩 陣化為 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 . 三、矩陣的秩 子陣與 階子式 k將矩陣 ? ? nmijaA ?? 的某些行和列劃去（可以只 劃去某些行或列），剩下的元素按原來的順序構(gòu)成的 新矩陣叫做 矩陣 的子矩陣 . A? ?min{ , } ,k m n?2k中，任取 行 列 A k knm?在 矩陣 位于這些行與列交叉處的 個(gè)元素，依照它們?cè)? A中的位置次序不變而得的 階行列式，稱為矩陣 的一個(gè) k定義 定義 Ak 階子式 . nm? 矩陣共有 個(gè) 階子式 . kkmnCC k1最低階為 階， 最高階為 階 . m in { , }mn如：矩陣 1 3 9 30 1 3 42 3 9 6A?????????????取第 1行、第 3行和第 1列、第 4列交叉處的元素， 1262 31 ??二階子式是 組成的 的最高階子式是 3階，共有 4個(gè) 3階子式 . A易見 而在這個(gè)矩陣中 , ? ?9?130123??????????都是矩陣 的子矩陣 . A1 3 9 30 1 3 4????????矩陣的秩 ,mnin A if?定義 0。rD?? 1 ???（ 1） （ 2） 則 稱為矩陣 的 最高階非零子式 . rD A)(Ar )(AR記為 或 . （ 1） 性質(zhì)： ( ) min { , }R A m n?1()if R A n A ?? ? ?（ 2） ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0TR A R A R k A R A k? ? ?( ) 0RO ?（ 3） （ 4） An階方陣 ， 1( ) ( ) ,R A R A?（ 5） 其中 1AA?0 ( )rif D R A r? ? ? ?0 ( )rif D R A r? ? ? ?（ 6） 最高階非零子式 的階數(shù)稱為 矩陣的 秩 ， 定義 An階方陣 ， 0 ( )if A R A n? ? ?,mnin A ?A為 滿秩陣 . ，則稱 定義 ()if R A m?A，則稱 為 行滿秩陣 ； ()if R A n? A，則稱 為 列滿秩陣 ； ? ? ? ?~ . if A B R A R B??定 理結(jié)論 矩陣的秩 ? 最高階非零子式的 階 數(shù) ? 行階梯形矩陣非零行的行數(shù) ? 行最簡(jiǎn)形矩陣非零行的行數(shù) ? 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中單位矩陣的 階 數(shù) 0 ( )if A R A n? ? ?A，則稱 為 降秩陣 . 例１ 1 3 2 20 2 1 32 0 1 5A????????????已 知 ， 求 秩 ．,0220 31 ???102120231???502320231?解 計(jì)算 A的 3階子式， ,0? ,0?510312223??512310221???,0? ,0?? .? ? .2?? AR 用定義求矩陣的秩并非易事，后面我們將用初等變換法去求矩陣的秩 . 四、應(yīng)用舉例 解 例２ 并求 的一個(gè)最高階非零子式 . A設(shè) 3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4A????????? ?????，求矩陣 的 秩， A把矩陣 用初等行變換變成為行階梯形矩陣： A3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4???????? ?????1 6 4 1 4??3 2 0 5 041 rr ?0 4 3 1 1?? A24rr?413rr?312rr?0 12 9 7 110 16 12 8 12??23 3rr ?24 4rr ?0 0 4 8?0 0 0 4 8?43rr?0 0 0 0B?3)()( ??? BRAR( ) 3 ,RA ?求 的一個(gè)最高階非零子式 A知 的一個(gè)最高階非零子式為３階， AA的 階子式共有 個(gè)， 3 3345 40CC??考察 的行階梯形矩陣 A1 2 3 4 5( , , , , ) ,A a a a a a?記 則在 中找一個(gè)三階非零子式 根據(jù)初等行變換對(duì)應(yīng)到 A中可以找到一個(gè)三階非零子式 易驗(yàn)證 0.? Ａ 的一個(gè)最高 階非零子式 . ),( 54321 ??????B???????????????????00000840001134041461161502623??324rrr1 2 2 1 12 4 8 0 2,2 4 2 3 33 6 0 6 4Ab??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?,R A R B例３ 設(shè) ? ?B A b?其中 求 解 分析：直接將 化為階梯形矩陣即可，故 B1 2 2 1 12 4 8 0 22 4 2 3 33 6 0 6 4B??????????????????????????????????13600512000240011221131222rrrr??14 3rr ??????????????? ??10000500000120011221??