【正文】 關(guān)于二階線性方程解的結(jié)構(gòu)的理論推廣到 n階線性方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?12121 2n n nnny p x y p x yp x y p x y f x???? ? ? ? ? ? ?? ??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 其中 p1(x)、 p2(x)、 … 、 pn(x)都是某區(qū)間 I上的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)自由項(xiàng) f(x)≡0時，稱為 n階線性齊次方程 ，否則稱為 n階線性非齊次方程 。 下頁 上頁 結(jié)束 首頁 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 在討論非齊次方程 (1)的解的結(jié)構(gòu)之前，先弄清對應(yīng)齊次方程 ? ? ? ? ? ?0 3y p x y q x y?? ?? ? ?的解的結(jié)構(gòu)。 根據(jù)方程 (3)是線性的又是齊次的這兩個特點(diǎn)，容易驗(yàn)證下例性質(zhì)： 1176。 如果 y1是方程 (3)的一個解，則 Cy1也是方解 (3)的解 2176。 如果 y1和 y2都是方程 (3)的解，則 y1+y2也是方程 (3)的解 下頁 上頁 結(jié)束 首頁 定理 1 設(shè) y1(x)、 y2(x)是二階線性齊次方程 (3)的兩個特解。則 y=C1y1+C2y2也是方程 (3)的解，這里 C C2是任意常數(shù)。 如果兩個函數(shù) y1(x)和 y2(x) 之比是一個常數(shù)，即 則稱 y1(x)和 y2(x) 是 線性相 關(guān) 的，否則稱 y1(x)和y2(x)為 線性無關(guān) 的（或 線性獨(dú)立 的）。例如 ex與 2ex是線性相關(guān)的，而 sin x與 cos x以及 ex與 ex都是線性無關(guān)的。 ? ?? ?21,yx kyx ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 定理 2 如果 y1(x)與 y2(x)是方程 (3)的兩個線性無關(guān)的特解，則 y=C1y1+C2y2就是該方程的通解，這里 C C2是兩個任意常數(shù)。 例 1 求方程 的通解。 ? ?10x y x y y?? ?? ? ? ?解 由于方程的系數(shù)是 x的多項(xiàng)式，可能具有多項(xiàng)式的特解，經(jīng)驗(yàn)證 y1=x是它的一個特解，又由于 的系數(shù)之和為零，故必有 y2=ex這個特解，事實(shí)上，由于 代入方程 因?yàn)?x與 ex是線性無關(guān)的，所以，由定理 2知，所求方程的通解為 y y y? ??、 、e xyy??? ? ?1 e e e 0 .x x xxx? ? ? ?12 e xy C x C??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 例 2 求方程 的通解。 2 0x y x y y?? ?? ? ? 解 與例 1相仿，它有特解 y1=x，但沒有 ekx形式的 特解。經(jīng)驗(yàn)證 是它的另一個特解，且 y1與 y2 是線性無關(guān)的。因此方程 的通解為 21yx?21 Cy C xx?? 從例 2來看，特解 y1=x是容易觀察到的，而另一個與它線性無關(guān)的特解 是不容易觀察到的。 21yx?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 定理 3 設(shè) y1(x)是方程 ? ? ? ? 0y p x y q x y?? ?? ? ?的一個特解，則另一個與 y1(x)線性無關(guān)的特解為 ? ? ? ? ? ? ? ?d2 1 211 e d 4()p x xy x y x xyx? ?? ?式 (4)稱為 劉維爾公式 證 設(shè) y2 (x)=v (x)y1 (x),其中 v (x)為特定函數(shù)，若能求得 v (x)，也就求得 y2 (x)。由于 2 1 12 1 1 12y y v y vy y v y v y v? ? ????? ?? ? ? ??? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 將它們代入方程，得 ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 120y v y v y v p x y v y v q x y v?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1y v y p x y v y p x y q x y v?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?因?yàn)?y1(x)是方程的解，故得待定函數(shù) v(x)滿足的方程為 ? ?1 1 120y v y p x y v?? ? ?? ? ?????這是一個可降階的二階微分方程。令 則 于是有 , vz?? ddzv x?? ?? ?1 1 1d 20d zy y p x y zx ?? ? ?????積分后得 ? ? ? ?112d d211eeyp x x p x xyvy??????? ???? ?? ??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 再積分得 ? ? ? ? d211 e p x xvxy? ?? ?最后得 ? ? ? ? d21 211 edp x xy x y xy? ?? ?由于 常數(shù)，故 y2是與 y1線性無關(guān)的另一個特解 ? ?21y vxy ??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 1dln2 22311e d e d11 d2xxxy x x x xxxxxxx?????? ? ????于是方程的通解為 1212y C x C x???? ? ?????21Cy C xx??2212CC???即 其中 回到例 2, 已經(jīng)觀察到方程 的一個特 解 y1=x,現(xiàn)在可用劉維爾公式來求 y2，這時 ? ? 1 :pxx?2 0x y x y y?? ?? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 例 3 求解方程 ? ? ? ?1 2 2 2 3 0 .x y y x y?? ?? ? ? ? ?解 由觀察得方程的一個特解 y1=，另一個線性無關(guān)的特解為 ? ?? ?? ?? ?2dl n 1 2221222222e e e d e e e d e e 1 2 d11 e e 1 2 e22 e e exxx x x xxxxx x xx x xy x xxxxxx?????????????????? ? ? ??????????所以原方程的通解為 12eexxy C C x ???下頁 上頁 結(jié)束 首頁 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 定理 4 如果 Y是方程 (1)所對應(yīng)的齊次方程 (3)的通解，又 y*是方程 (1)的一個特解，則 y=Y+y*是方程 (1)的通解。 證 由于 Y是 (3)的通解，故有 ? ? ? ? 0Y p x Y q x Y?? ?? ? ?又由于 y*是 (1)的特解，故有 ? ? ? ? ? ?* * *y p x y q x y f x?? ?? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 兩式相加，得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?* * *Y y p x Y y q x Y y f x?? ?? ? ? ? ? ?故 y=Y+y*是方程 (1)的解。由于 Y是 (3)的通解，其中含有兩個 (獨(dú)立的 )任意常數(shù)，故 y=Y+y* 是方程 (1)的通解。 下頁 上頁 結(jié)束 首頁 例 4 求方程 的通解。 22 3x y x y y x?? ?? ? ?解 由例 2知對應(yīng)齊次方程的通解為 21CY C xx??再來求非齊次方程的一個特解 y*。由于方程左邊的系數(shù)和右邊自由項(xiàng)都是多項(xiàng)式，經(jīng)觀察（或待定系數(shù)法）得y*= *2 21Cy Y y C x xx? ? ? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 觀察非齊次方程 (1)的特解 y*一般來說是比較困難的，因此就產(chǎn)生這樣的問題：在求得對應(yīng)齊次方程 (3)的通解Y=C1y1+C2y2的情況下，如何來求非齊次方程 (1)的通解呢？這個問題的解決將借助于常數(shù)變易法。 與第 ，設(shè)方程 (3)的通解為 1 1 2 2Y C y C y??其中 y y2是方程 (3)的兩個線性無關(guān)的特解， C C2為任意常數(shù)。顯然 Y不可能滿足非齊次方程 (1)。常數(shù)變易法就是變動 Y中的常數(shù) C C2，把它們作為 x的函數(shù)，然后令 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 5y C x y C x y??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 使它滿足方程 (1)，并由此確定函數(shù) C1(x)和 C2(x)，從而求得方程 (1)的通解。 由于式 (5)中有兩個待定函數(shù) C1(x)、 C2(x)，若將式(5)代入方程 (1)只能得到關(guān)于 C1(x)和 C2(x)的一個方程，不能求出兩個未知函數(shù)，為此我們需要補(bǔ)充另外條件，補(bǔ)充的原則是能較方便地確定函數(shù) C1(x)和 C2(x)。 將式 (5)求導(dǎo)得 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2y C x y C x y C x y C x y? ? ? ? ?? ? ? ?設(shè) ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 0 6C x y C x y????下頁 上頁 結(jié)束 首頁 這是一個補(bǔ)充條件。于是有 ? ? ? ?1 1 2 2y C x y C x y? ? ???再求導(dǎo)得 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2y C x y C x y C x y C x y?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ?將 代入方程 (1)，并注意到 y y2是齊次方程 (3)的兩個特解，經(jīng)整理后得 y y y? ??、 、? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 7C x y C x y f x? ? ? ???(6)、 (7)兩式就是 C1(x)和 C2(x)應(yīng)滿足的條件，由此求得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 22112 , 8 y y y yy y y yy f x y f xC x C x? ? ? ???? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 其中 及 f (x)都是已知函數(shù)。由此分別積分得 1 2 1 2y y y y??、 、 、? ?? ?? ?? ?12121212211122d ( 9)d yyyyyyyyy f x xC x Cy f x xC x C????? ? ?????其中 C C2為任意常數(shù)。將式 (9)代入式 (5)即得非齊次方程的通解。 下頁 上頁 結(jié)束 首頁 需要指出的是：在 (6)、 (7)兩式中求解 和 時要求行例式 ? ?1Cx? ? ?2Cx?? ?1212 1 2 2 1 1 0yyyy y y y y?? ????? ? ? ?121212, 1 1yyyyW y y ???不等于零。由于 而 y y2是齊次方 程 (3)的兩個線性無關(guān)的解，所以行列式（ 10）確實(shí)不等于零。行列式 (10)稱為函數(shù) y y2的 朗斯基行列式 ，并記為 2 21 2 2 1 11,yy y y y yy??????? ????下頁 上頁 結(jié)束 首頁 ? ?? ?112222 22