[理學(xué)]東南大學(xué)高數(shù)習(xí)題-資料下載頁
2024-12-08 00:46本頁面
【正文】 個(gè)關(guān)系式 ① ， 所以可規(guī)定它們?cè)贊M足一個(gè)關(guān)系式。為了使 的表達(dá)式??y 中不出現(xiàn) )( )( 21 xCxC 和 的二階導(dǎo)數(shù)，可設(shè) 0)()()()( 2211 ???? xyxCxyxC ， ④從而 )()()()( 2211 xyxCxyxCy ?????? ， )()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy ??????????????將 ?? ??? yyy , , 代入 方程 )( xfcyybya ?????? ，得 )]()()()[()]()()()([ 11112211 xcyxybxyaxCxyxCxyxCa ???????????)()]()()()[( 2222 xfxcyxybxyaxC ??????? ∴ 0)()()( 111 ?????? xcyxybxya ， 0)()()( 222 ?????? xcyxybxya ， ∴ )(1)()()()( 2211 xfaxyxCxyxC ?????? ， ⑤ ∵ )( ),( 21 xyxy 為 齊次方程 0?????? cyybya 的解， 把 ④式和 ⑤式聯(lián)立得方程組 ???????????????).(1)()()()( ,0)()()()(22112211xfaxyxCxyxCxyxCxyxC 五 .歐拉 (Euler)方程 二階 Euler方程 : )()(22tefcydtdyabdtyda ????)(ln)(39。39。39。 2texxtxfcybx yyax?????或令22222211)1( 1 dtydxdtdyxdtdyxdxddxyddtdyxdxdtdtdydxdy????????)(1 222 dtdydtydx??， 例 1 求下列方程的通解 : xyxyyx ??? 539。339。39。2teydtdydtydydtdydtdydtydxt????????5253 ,ln2222則原方程化為令? ?xxcxcxetctcey tt81))ln2s i n()ln2c o s ((1 812s i n2c o s2121??????? ?解 teYirr81,21 052r *2,12 ??????? 特解形如 )(1)1(11)( xfyayxayxayx nnnnnn ?????? ??? ? ① 的方程稱為 n 階 歐拉方程 ，其中 ) , ,2 ,1( nia i ?? 為常數(shù)。 dtdyxdxdtdtdydxdy 1??? ， = )(1222 dtdydtydx? ， )11(1)(2 2233222333dtydxdtydxxdtdydtydxdxyd ?????)23(1 22333 dtdydtyddtydx???作變換 xtex t ln ?? 或 ，將自變量 tx 換成 ，有 222 2 2 21 1 1 ( )d y d d y d y d yd x d x x d t x d t x d t? ? ? ?利用算子dtdD ? ， ,)1()( )( 222222yDDyDDydtddtddtdydtydyx ??????????則有 ,Dydtdyyx ???,)2)(1()23(23 2322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx ????????????一般地，有 ykDDDDyx kk )1()2)(1()( ????? ? ， 把它們代入歐拉方程①，便得到一個(gè)以 為自變量 t 的常系數(shù)線性微分方程。 在求出這個(gè)常系數(shù)線性微分 方程的解后 ， 把 xt ln 換成 ， 即得原方程的解。 解：作變換 xtex t ln ?? 或 ，原方程化為 tyDyyDD 2)1( ???? ， tyDD 2)12( 2 ??? ， 或 tydtdydtyd2222??? ， （※） 故方程（※）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 tetCCY )( 21 ?? ， 例 2．求歐拉方程 xyyxyx ln22 ?????? 的通解。 2 2 1 0rr? ? ? 121 ?? rr其特征方程為 ，其根為 設(shè)方程（※）的特解為 1AtAy ??? ? ，代入方程（※）得 tAtAA 22 1 ???? ?? ，比較系數(shù)得： ?????????????4202211 AAAAA ??? ，故 42 ??? ty 。 所以方程（※）的通解為 42)( 21 ?????? ? tetCCyYy t 。 再以 xt ln? ， xee xt ?? ln 代入上式， 即得原方程的通解 ： 4ln2)ln( 21 ???? xxxCCy 。 .039。439。39。39。39。39。 23 的通解求 ??? xyyxyx? ?032*04)1()2)(1(:,ln23 ??????????DyyDyDDyyDDyDDDxt即上方程化為令3,1,0 032 :32123???????rrrrrr特征根特征方程為例 3 33213321 :xcxccececcy tt ?????? ?故原方程通解為解
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