概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)-資料下載頁(yè)
2024-10-21 19:43本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，簡(jiǎn)稱事件，通常用ABC表示。當(dāng)且僅當(dāng)這一子集的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生。B是互不相容事件或互斥事件。AiAj＝Φ,則稱A1，A2，…A，B必有一個(gè)發(fā)生且僅有一個(gè)發(fā)生。頻率具有隨機(jī)波動(dòng)性，即對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)事件來說，在相同。這種隨機(jī)試驗(yàn)就稱為等可能概型，或古典概型。本空間的構(gòu)造必保證其中的每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性都相同。樣本空間是直線或二維、三維空間中的度量有限的區(qū)間或區(qū)域；度，面積或體積等。設(shè)A1，A2，..Am..是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i≠j,AiAj=?
【正文】 0, 則稱)( )(XD XEXX ???為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，顯然，1)(,0)( ?? ?? XDXE 三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差 (1)定義： E{[XE(X)][YE(Y)]}稱為隨機(jī)變量 X與 Y的協(xié)方差，記為 Cov(X，Y)，即 Cov(X， Y)= E{[XE(X)][YE(Y)]}。 離散型：ijii j i pYEyXExYXCo v ???? ? ????? )]([)]([),( 1 1 連續(xù)型：ijii j i pYEyXExYXCo v ???? ? ????? )]([)]([),( 1 1 (2)關(guān)系公式 : i 協(xié)方差與方差的關(guān)系： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X， Y) ii 協(xié)方差與數(shù)學(xué)期望的關(guān)系： Cov(X， Y)= E(XY)E(X)E(Y) iii 若 X， Y 獨(dú)立，則 Cov(X， Y)=0,但反之不成立。 (3)協(xié)方差的性質(zhì) Cov(X， Y)= Cov(Y， X)； Cov(aX， bY)= abCov(X， Y)； Cov(X1+X2， Y)= Cov(X1， Y)+ Cov(X2， Y) 相關(guān)系數(shù) (1)定義：若 Cov(X， Y)存在，并且 D(X)、 D(Y)存在且不為零，則稱 )()( ),( YDXD YXCo vXY ???為隨機(jī)變量 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)。 (2)性質(zhì)： i |ρXY|≦ 1 ii |ρ XY|=1 ? 存在常數(shù) a,b 使 P{Y=aX+b}=1. 利用相關(guān)系數(shù)計(jì)算協(xié)方差 )]()()([21),( YDXDYXDYXC o v ???? )()()( YEXEXYE ??? )()( YDXDXY ??? ? 不相關(guān)：若 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù)ρ XY=0，則稱 X 與 Y 不相關(guān)。假設(shè)隨機(jī)變量 X， Y 的相關(guān)系數(shù)ρ XY存在，當(dāng) X 與 Y 相互獨(dú)立時(shí) ,ρ XY=0,即X 與 Y 不相關(guān)，反之若 X 與 Y不相關(guān)， X 與 Y 卻不一定相互獨(dú)立。 協(xié)方差矩陣 i 定義： 對(duì)于 n 維隨機(jī)向量 (X1,X2,…,Xn),把向量 (X1,X2,…,Xn)用列向量形式表示并記為 X，即 X=(X1,X2,…,Xn)?設(shè) X=(X1,X2,…,Xn)? 為 n 維隨機(jī)向量 ,并記μ i=E(Xi) ? ?njiXXC o vC jiij ,2,1,),( ??? 則稱μ =(μ 1,μ 2,? ,μ n)?為向量 X的數(shù)學(xué)期望或均值，稱矩陣 ???????????????nnnnnnCCCCCCCCCC???????212222111211為向量 X 的協(xié)方差矩陣。 ii 性質(zhì)： (1)協(xié)方差矩陣對(duì)角線上的元素 Cii為 Xi的方差即 Cii=D(Xi) i=1， 2…， n； (2)協(xié)方差矩陣 C為對(duì)稱矩陣 ,即 Cij=Cji ,i， j=1， 2， …， n； (3)C 為非負(fù)定矩陣 ,即對(duì)于任意實(shí)向量 t=(t1， t2， …， tn)?,有 t?Ct≥ 0； 多維正態(tài)分布及其性質(zhì) (1)定義：若 n 維隨機(jī)向量 X=(X1， …， Xn)的概率密度為 ? ? ? ?})(21e x p{||2 1),( 12/12/21 ??? ????? ? xCxCxxxf nn? 其中 X=(X1， …， Xn)?,μ =(μ 1，μ 2， …，μ n)?為 n維實(shí)向量， C為 n階正定對(duì)稱矩陣，則稱向量 X=(X1， …，Xn)?服從 n維正態(tài)分布，記為 X～ N(181。,C) .對(duì)于 n維正態(tài)分布 X～ N(181。,C) ，X 的期望為 181。， X 的協(xié)方差矩陣為 C。 (2) 性質(zhì) n 維正態(tài)分布具有下述性質(zhì)： I n 維隨機(jī)向量 (X1， …， Xn)服從 n 維正態(tài)分布的充要條件是 X1， …， Xn的任意線性組合 l1X1+l2X2+…+lnXn (l1,l2,…,ln不全為 0 )服從一維正態(tài)分布。 Ii 若 X=(X1,…,Xn)?～ N(181。,C)，設(shè) Y=(Y1,Y2,…,Ym)?=AX,即 Yi為 Xj(j=1， 2， …，n)的線性函數(shù) ,i=1， 2， …， m，則 Y～ N(A?181。， ACA?)，其中 A 為－ m 行n 列且秩為 m 的矩陣。 iii 設(shè) (X1， …， Xn)服從 n 維正態(tài)分布，則 “X1， …， Xn相互獨(dú)立 ”與 “X1， …，Xn 兩兩不相關(guān) ”是等價(jià)的。 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 一、大數(shù)定律： 定義 1：設(shè) X1,X2,…,Xn,…為一隨機(jī)變量序列 ,如果對(duì)于任意正整數(shù) k(k≥ 2)及任意 k 個(gè)隨機(jī)變量kiii XXX ?, 21相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立。 定義 2：設(shè) {Xn}是一隨機(jī)變量序列，若對(duì)任意 ε0，有 則稱隨機(jī)變量序列 {Xn}依概率收斂于隨機(jī)變量 X。常記為 定義 3 設(shè) {Xn} 為一隨機(jī)變量序列 ,E(Xn) 存在，若依概率收斂于零，即對(duì)任意 ε 0，有 則稱隨機(jī)變量序列 {Xn}服從（弱）大數(shù)定律。 幾個(gè)常見的大數(shù)定理： 定理 1（契比雪夫大數(shù)定律）設(shè) X1,X2, …是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，? ?lim 1,nn P X X ???? ???.PnXX???? ?1111 1 , 2,nniiiiX E X nnn??? ? ?????? ?1111l i m 1 ,nniin iiP X E Xnn ?? ? ? ????? ? ???????且有常數(shù) C，使得即 D(Xi) ≤C， i=1,2, …，則 {Xn}服從大數(shù)定律。即對(duì)任意 ε 0，有 ? ?? ??? ???nini iin XEnXnP 1 1 1}|)(11{|lim ? 推論（契比雪夫大數(shù)定律的特殊情況）設(shè) X1,X2, …Xn， … 獨(dú)立同分布，且 E(Xi) = ? ， D(Xi)= 2? ， i=1,2,…, 則對(duì)任給 ? 0, 1}|1{|lim 1 ??????? ??ni in XnP c 定理 2 貝努利大數(shù)定律 (貝努利定理 ) 設(shè) nA是 n 重貝努利試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)， p 是事件 A 發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 ε 0，有 貝努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù) n 充分大時(shí)，事件 A 發(fā)生的頻率 nA/n 與事件 A 的概率 p 有較大偏差的概率很小 。 二、中心極限定理 定理 1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理 / LevyLindberg ） 設(shè) X1,X2, …是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且 E(Xi)= ? ， D(Xi)= 2? ，i=1,2,…，則 dtex t? ?? ?? 2221? 定理 2 (棣莫佛－拉普拉斯定理） 設(shè)隨機(jī)變量 nY 服從參數(shù) n, p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意 x，有 })1({lim xpnp npYP nn ????? dtext????? 2221? 中心極限定理中典型的問題 (1) 設(shè)隨機(jī)變量 X1， X2， …,相互獨(dú)立同分布， E(Xk)=181。， D(Xk)=? 2≠2211lim 2 xn xin iXP x e d xn ??? ???? ? ? ???? ??????? ?li m nPpn ?? ?? ??? ? ?????0,(k=1,2,…),由定理 1，當(dāng) n 充分大時(shí)，??nnXnk k???1 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 (2) 設(shè)η n?b(n,p), 由定理 2, 當(dāng) n 充分大時(shí)， ? ?pnp npn ??1?近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
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