【正文】 、準則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應自作主張地作出決策。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實了解。經(jīng)過雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標準為：（ 1）是否有利于調(diào)動企業(yè)職工的積極性，（ 2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（ 3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標準的最終確定將由決策者決定。 根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖 。 合理利用企業(yè)利潤 調(diào)動職工積極性 C1 提高企業(yè)技術(shù)水平 C2 改善職工工作生活條件 C3 發(fā)獎金 P1 擴建福利 事業(yè) P2 引進新設(shè)備 P3 目標層 O 準則層 C 措施層 P 圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應由決策者決定。 對于因果關(guān)系較為復雜的問題也可以引進更多的層次。例如，在選購電冰箱時，如以質(zhì)量、外觀、價格、品牌及信譽等為準則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時又可分出若干個不同的子準則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。 建立層次結(jié)構(gòu)模型是進行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進一步分析研究創(chuàng)造了條件。 步 2 構(gòu)造判斷矩陣 層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖 可由準則層中的各準則反映出來。但準則層中的各準則在目標衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。 在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，不僅會讓人感到難以精確回答，而且還會使人感到你書生氣十足，不能勝任這一工作。此外，當影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點，可作如下設(shè)想：將一塊重為 1千克的石塊砸成 n小塊，你可以精確稱出它們的質(zhì)量，設(shè)為 w1,…, w n。現(xiàn)在，請人估計這 n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。 設(shè)現(xiàn)在要比較 n個因子 X = {x1,…, xn}對某因素 Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？ Saaty等人建議可以采取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子 xi和 xj，以 aij表示 xi和 xj對 Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣 A=(aij)n n表示，稱 A為 Z－ X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若 xi和 xj對 Z的影響之比 為 aij，則 xj和 xi對 Z的影響之比應為 。 1jiija a?定義 若矩陣 A=(aij)n n滿足 （ i） aij 0， （ ii） （ i, j = 1,2,…, n）， 則稱之為正互反矩陣（易見 aii =1, i = 1, …, n）。 1ji ija a?關(guān)于如何確定 aij的值， Saaty等建議引用數(shù)字 1~9及其倒數(shù)作為標度。他們認為，人們在成對比較差別時，用 5種判斷級較為合適。即使用相等、較強、強、很強、絕對地強表示差別程度， aij相應地取 1,3,5,7和 9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時， aij可分別取值 8。 從心理學觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。 Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標度下人們判斷結(jié)果的正確性，實驗結(jié)果也表明，采用 1~9標度最為合適。 如果在構(gòu)造成對比較判斷矩陣時，確實感到僅用 1~9及其倒數(shù)還不夠理想時，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，再比較每一類中的元素。 步 3 層次單排序及一致性檢驗 上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣 A的元素還應當滿足： i、 j、 k = 1,2,…, n ,ij ik ika a a??定義 滿足（ ）關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。 如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構(gòu)造出的成對比較判斷矩陣應 當是一個一致矩陣。但構(gòu)造成對比較判斷矩陣 A共計要作 次比較（設(shè)有 n個因素要兩兩比較），保證 A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結(jié)果嚴格滿足一致性，在 n較大時幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時采用了1~9標度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應再要求最終判斷矩陣的嚴格一致性。如何檢驗構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣 A是否嚴重地非一致，以便確定是否接受 A，并用它作為進一步分析研究的工具？ Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣 A中的非一致性是否可以允忍的檢驗方法。 (12nn? ）定理 正互反矩陣 A的最大特征根 λmax必為正實數(shù)，其對應特征向量的所有分量均為正實數(shù)。 A的其余特征根的模均嚴格小于 λmax。（證明從略） 現(xiàn)在來考察一致矩陣 A的性質(zhì)，回復到將單位重量的大石塊剖分成重量為 1,…, n的 n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來的一致矩陣為 ? ?1 1 1122 2 21212nnn n nnA? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????????????????????????容易看出，一致矩陣 A具有以下性質(zhì)： 定理 若 A為一致矩陣，則 （ 1） A必為正互反矩陣。 （ 2） A的轉(zhuǎn)置矩陣 AT也是一致矩陣。 （ 3） A的任意兩行成比例，比例因子（即 wi /wj）大于零，從而 rank（ A） =1（同樣， A的任意兩列也成比例）。 （ 4） A的最大特征根 λmax=n，其中 n為矩陣 A的階。 A的其余特征根均為零。 （ 5）若 A的最大特征根 λmax對應的特征向量為 W=（ w1,…, w n） I，則 aij=wi /wj， i,j = 1,2,…, n。 ?（注：（ 1）、（ 2）可由一致矩陣定義得出，（ 3） — （ 5）均容易由線性代數(shù)知識得到，證明從略）。 定理 n階正互反矩陣 A為一致矩陣當且僅當其最大特征根 λmax=n，且當正互反矩陣 A非一致時，必有 λmaxn。 證明： 設(shè)正互反矩陣 A的最大特征根為 λmax， 對應的特征向量為 W=（ w1,…, w n） T。 由定理， λmax0且 wi 0， i=1， … ， n。又由特征根和特征向量的性質(zhì)知， AW=λmax W, 故 ???nijiji waw1m a x? , i = 1,… ,n () （ ）式兩邊同除 wi且關(guān)于 i從 1到 n相加，得到 ? ?? ??ninjijij wwan1 1m a x )/(1?即 ? ??? ??????????????????11 1m a x11 ninijijijijijwwawwan?（ ）式的括號內(nèi)共有 項。 ( 1)2nn?（ ） 現(xiàn)證明必要性，由一致矩陣性質(zhì)（ 5），有 ， 故由（ ）式，得 λmax=n。 jiij wwa ?再證明充分性。由于 21 ??ijijijijwwawwa() 當且僅當 =1（即 ）時（ ）式中的等號成立， 故由（ ）式 λmax=n。因而當 λmax=n時必有 =1， 于是 aijajk=aik i,j,k = 1,2,…, n成立， A為一致矩陣。 ijij wwajiij wwa ?ijij wwa?當 A非一致矩陣時，（ ）式中的等號不能對一切 i， j成立，從而必有λmaxn。 根據(jù)定理 ，我們可以由 λmax是否等于 n來檢驗判斷矩陣 A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于 aij，故 λmax比 n大得越多， A的非一致性程度也就越為嚴重， λmax對應的標準化特征向量也就越不能真實地反映出 X={x1,…, xn}在對因素 Z的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。 為確定多大程度的非一致性是可以允忍的， Saaty等人采用了如下辦法： （ 1）求出 ，稱 CI為 A的一致性指標。 m a x 1 nCI n? ?? ?容易看出，當且僅當 A為一致矩陣時， CI = 0。 CI的值越大， A的非一致性越嚴重。利用線性代數(shù)知識可以證明， A的 n個特征根之和等于其對角線元素之和（即 n）故 CI事實上是 A的除 λmax以外其余 n－ 1個特征根的平均值的絕對值。若 A是一致矩陣，其余 n－ 1個特征根均為零，故CI=0；否則， CI0，其值隨 A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當CI略大于零時（對應地， λmax稍大于 n）， A具有較為滿意的一致性；否則， A的一致性就較差。 （ 2）上面定義的 CI值雖然能反映出非一致性的嚴重程度，但仍未能指明該非一致性是否應當被認為是可以允許的。事實上，我們還需要一個度量標準。為此， Saaty等人又研究了他們認為最不一致的矩陣 —— 用從 1~9及其倒數(shù)中隨機抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值 ， 并定義 max??m a x1nRIn? ? ???稱 RI為平均隨機一致性指標。 對 n =1,…,11, ， Saaty給出了 RI的值，如表 。 表 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 （ 3）將 CI與 RI作比較，定義 CICRRI?稱 CR隨機一致性比率。經(jīng)大量實例比較， Saaty認為，在 CR認為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應當重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步 3中應先求出 A的最大特征根 λmax及 λmax對應的特征向量 W=（ w1,…, w n） T，進行標準化， 使得 。 再對 A作一致性檢驗：計算 ， 查表得到對應于 n的 RI值，求 ， 若 CR，則一致性較為滿意，以 i作為因子 xi在上層因子 Z中所具有的權(quán)值。否則必需重新作比較，修正 A中的元素。只有在一致性較為滿意時， W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重。 11???niiwm a x1nCIn? ???CICRRI??現(xiàn)對本節(jié)例 （即合理利用利潤問題的例子）進行層次單排序。 為求出 C C C3在目標層 A中所占的權(quán)值，構(gòu)造 O－ C層的成對比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對比較判斷知陣 A= 111535 1 31313?????????????? 3 1 1 1 5 3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 0 1313于是經(jīng)計算， A的最大特征根 λmax=， CI=，查表得 RI = ，故 CR = 。因 CR，接受矩陣 A，求出 A對應于 λmax的標準化特征向量 W= ( , ， )T，以 W的分量作為 C C C3在目標 O中所占的權(quán)重。 類似求措施層中的 P P2在 C1中的權(quán)值， P P3在 C2中的權(quán)值及 P P2在 C1中的權(quán)值： 1 P