[理學(xué)]x08-1_2_3一階微分方程-資料下載頁
2025-01-19 14:43本頁面
【正文】 ??? ??? )(1,][ )1()1()( 次積分視nnn CxCxCdxdxxfyn ????? ???? ??? 2211)(次共積分例 xxy ?? si n)4(),()2 yxfy ????解法 : ()( ) , d p xy p x ydx? ????令則這是關(guān)于 p的一階微分方程 , 若能求出 211 ),(),( cdxcxycxp ????? ?則降低了方程的階數(shù) ( , )dp f x pdx?代入原方程()dp xydx?? ?則 例 1 求方程 xy”+y’=1通解 。 解： y’=P(x)， y”=p’(x) xp’+p=1 , ln(1p)=lnx+lnC1 = p=1 C1/x 通解： y =xC1lnx+C2 2 1. 2 ( ) 0 ( 0 ) 1 ( 0 )2y x y y y?? ? ?? ? ? ? ?求方程 滿足 ， 的特解。yP ??解：設(shè) Py ????則02 2 ???? xPP方程變?yōu)閏xyP ???? 21212 ?? xcxxdxxy ?????? ?22ln221212122ln22 1 ???? xx例 2 ),()3 yyfy ????解法 : d p d yyd y d x?? ?是所求通解則 211 ),(1),( cxdycycyp ????? ?降低了方程的階數(shù) ),( ypy ??設(shè)( , )dpp f y pdy ?代入原方程dppdy?.02 的通解求方程 ????? yyy解 ,dydPpy ???則),( ypy ??設(shè)代入原方程得 ,02 ??? PdydPPy ,0)( ??? PdydPyP即，由 0??? PdydPy ,1 yCP ?可得.12 xCeCy ?原方程通解為 ,1 yCdxdy ??例 1 .212yyy ?????求通解例 2 解 .x方程不顯含, dydPPyPy ?????令 代入方程，得 ,212yPdydPP ??,1 12 yCP ??解得，,11 ???? yCP ,11 ??? yCdxdy即故方程的通解為 .12 211CxyCC ????不顯含 x,y，用不顯含 y的方法簡(jiǎn)單。 例 y”+(y’)2=0 解： y’=P(x)， p=y’=1 / (x+C1) y=ln(C1+x)+C2 例 3 已知曲線 ,它的方程 y=f(x)滿足微分方程 12 ????? yyy并且與另一條曲線 y=ex 相切于點(diǎn) (0,1), 求此曲線的方程 . 解 ∵ 曲線滿足初值問題 1,1,1 002 ????????? ?? xx yyyyy1, 2 ??????? pdydpypdydppypy 則令 . 分離變量、積分 1,11,lnln)1l n (211212 ???????? pycpcyp 即∵ 上式中無滿足初始條件的解， cxydxdyp ??????? ,1,1 即∴ 考慮 滿足初始條件的解為 y=1x 12 1 24. ( ) ( 0) ( ) 0 , ( 0) 1 , ( , ),[ 0 ] ( ) , 21 ( )y x x y x y P x yx x sx y y x s s sy y x?? ? ????設(shè) 二階可導(dǎo)，且 過任點(diǎn)作切線及 軸的垂線，上述兩直線與 軸所圍成三角形面積區(qū)間 ， 以 為曲邊曲邊梯形面積記 并設(shè) 恒為，求此曲線 。)( xXyyY ????解：切線yyxXY????? 0yyyyxxys??????21 21)(21?? x dxxys 02 )(? ??? x dxxyyy 021)( 2yyy ???? pdydpy ?ycecpdyy111 ???y?xdx ececy 22 ?? ?xe?xyo xP()y y x?1 .0)4()5( 的通解求方程 ?? yxy解 ),()4( xPy ?設(shè)代入原方程 ,0??? PPxxCP 1?解線性方程 , 得 兩端積分 ,得 原方程通解為 )()5( xPy ??）（ ?P,1)4( xCy ?即,21 221 CxCy ????? ,??,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????54233251 dxdxdxdxdy ?????例 )()( xPy k ?令 ),( )1()()( ?? nkn yyxfy ?一般情況 (5) 湊導(dǎo)數(shù)法 (恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程 ) 例 1 yy”+(y’)2+2x =0 解： (yy’)’= 2x 降階得： yy’= x2 +C1 ydy=( x2 +C1 )dx .02 的通解求方程 ????? yyy解 將方程寫成 ,0)( ??yydxd,1Cyy ??故有 ,1 dxCy dy ?即積分后得通解 .212 CxCy ??例 2
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