【正文】 矩 (力偶矩 )的功率： P ? ? Mz z z 理論力學(xué) 45 一、功率：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作 能力的一個(gè)重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。 dW dt P ? 作用力的功率： dt dt dt dt dW dj n? 30 功率的單位：瓦特（ W），千瓦（ kW），１ W=１ J/s 。 我國(guó) 1馬力 = kW 167。 124 功率 功率方程 ??P ? P 輸入 ?P 有用 ?P 無(wú)用 得 dT ?dW dT 理論力學(xué) 46 d 機(jī)器穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)， T /dt ?0 機(jī)械效率 ?100% P 有用 P 輸入 ? ? ?是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)之一，一般情況下 ?＜１。 即 即 d ? 0 分析：起動(dòng)階段（加速）： T dt d d 制動(dòng)階段（減速）： T ? 0 dt 穩(wěn)定階段（勻速）： T ? 0 dt 即 P 輸入 ? P 有用 ?P 無(wú)用 P 輸入 ? P 有用 ?P 無(wú)用 P 輸入 ? P 有用 ?P 無(wú)用 二、功率方程 由 dT ??dW 的兩邊同除以 dt ? 即 dt dt dt 功率 方程 P 有用 =F ?v ? Fv ? F ? ? 理論力學(xué) 47 [例 ]車(chē)床電動(dòng)機(jī)的輸入功率 P= 。傳動(dòng)零件之間的磨擦 損耗功率為輸入功率的 30％。工件的直徑 d=100mm。 求：轉(zhuǎn)速 n=42r/min 和 n =112 r/min 的允許最大切削力。 解：車(chē)床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無(wú)變化 dT dt =0 P 有用 =P 輸入 － P 無(wú)用 P 輸入 = P 無(wú)用 =P 輸入 ?30% ? 其中 P 有用 =P 輸入 － P 無(wú)用 切削力 F與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v同向 d πn 2 30 P 有用 60 ? dn F 當(dāng) n = 42 r/min 時(shí) 當(dāng) n = 112 r/min 時(shí) ?? 60 π ??42 F ? 60 ? 112 F 理論力學(xué) 48 一、勢(shì)力場(chǎng) 力場(chǎng)：若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個(gè)大小和 方向完全由所在位置確定的力作用，則此空間稱(chēng)為力場(chǎng)。 勢(shì)力場(chǎng)：在力場(chǎng)中，如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定 于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)力場(chǎng)。 重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。 質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱(chēng)為有勢(shì)力 (保守力 )， 如重力、彈力等均為有勢(shì)力（保守力）。 167。 125 勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 V ?? F?dr ?? V? kd 2 理論力學(xué) 49 二、勢(shì)能 在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)從位置 M運(yùn)動(dòng)到任選位置 M0，有勢(shì)力 所作的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在位置 M相對(duì)于位置 M0的勢(shì)能，用 V表示。 M0 M M0 M Fxdx?Fydy?Fzdz ② 、彈性力場(chǎng) 取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn) V ? mg(z?z0) ? ?mgh M0作為勢(shì)能為零的基準(zhǔn)位置，稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)。勢(shì)能具 有相對(duì)性。零勢(shì)能點(diǎn)可以任意選取，對(duì)于不同的零勢(shì)能點(diǎn)， 在勢(shì)力場(chǎng)中同一位置具有不同的勢(shì)能。 零勢(shì)能點(diǎn)的選取 ① 、重力場(chǎng) 取 z0處為零勢(shì)能點(diǎn) 1 2 其中 d 為彈簧的變形 平衡時(shí)彈簧的初變形為 d0 ? mg A j l 理論力學(xué) 50 ③ 、重力－彈性力系統(tǒng) 一般取系統(tǒng)的平衡位置作為系統(tǒng)的零勢(shì)點(diǎn)。 置 O為彈簧零勢(shì)能點(diǎn)。桿處于 微小擺 角 j時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為 2 V ? k(d0 ?jl)2 ?mg ? kl2j2 ? 2 2 2 8k 選桿水平位置平衡時(shí)為系統(tǒng)的零勢(shì)能點(diǎn)，桿處于 微小擺角 j時(shí)， 系統(tǒng)的勢(shì)能為 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 自然位置 平衡位置 B O d0 d 質(zhì)量為 m，長(zhǎng)為 l的均質(zhì)桿用剛性系數(shù)為 k的彈簧吊住于 水平位置平衡。選不同零勢(shì)能點(diǎn)列出系統(tǒng)的勢(shì)能。 C 2k 選水平位置為重力零勢(shì)能點(diǎn)，自然位 V 1 ?? ? W 12 ?? F ?dr ?? F ?dr ?? 理論力學(xué) 51 有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的始末位置的勢(shì)能之差。 V與積分路徑無(wú)關(guān)，積分號(hào)內(nèi)必為全微分，即 Fxdx?Fydy ?Fzdz ??dV V ?V(x， y， z) 是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。 M2 M1 M0 M1 M2 M0 F ?dr ? ?W 10 ?W20 ?V1 ?V2 M1→ M2： M0 M1 F ?dr ?W 10 M0 M2 在 M2位置： V2 ? F ?dr ?W20 三、有勢(shì)力的功 在 M1位置： x y z O M1 M2 M0 質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能： V(x1 1 1， ???) ??? ， y， z ， Fy z ? ? ?V 理論力學(xué) 52 則 T2 ?T 1 ?W 12 ?V1 ?V2 — 機(jī)械能守恒定律 ? T 1 ?V1 ?T2 ?V2 ?常量 ? 四、機(jī)械能守恒定律 機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有勢(shì)力 (或同時(shí)受到不作功的非有勢(shì)力 )作用， 這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為保守系統(tǒng)。 對(duì)非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為 W1239。，則有 (T2?V2)?(T1?V1)?W12 等勢(shì)面：質(zhì)點(diǎn)位于該面上任何地方，勢(shì)能都相等。 dz ?V ?z dy? ?V ?y dx? ?V ?x dV ? ?Fx ? ? ?V ?x ?y ?V ?z ?? ， F Mio Mi (Fxidxi ?Fyidyi ?Fzidzi) l 1 1 l ? ml ? ? m y ?mg( ? y) 將 ? ?? 6gcos2? (1?sin?) 6gcos2? 1?3cos ? 2 1?3cos ? ? ? 2 2 2 2 24 2 2 代入上式，化簡(jiǎn)后得 2 y lcos? 由機(jī)械能守恒定律： 0?mg ? ? y ? y ? 2 ? l ? 2 理論力學(xué) 2 C y l 2 53 ? [例 ]長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初 速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角 ?和質(zhì)心的位置表達(dá)）。 解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心 C只能鉛垂下降。 約束力不作功，主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。 l ? ? ? ? 任一瞬時(shí)： y = ? ? T2 ? JCw2 ? mvC ? ml2?2? m y2 V2 ? mg( ? y) ? mg 2 2 24 2 2 2 理論力學(xué) 54 動(dòng)力學(xué)普遍定理 動(dòng)量定理 動(dòng)量矩定理 動(dòng)能定理 矢量形式，投影求解。 標(biāo)量形式 綜合應(yīng)用 ① 根據(jù)問(wèn)題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ? 求解，包括各種守恒定理的應(yīng)用。 ②比較復(fù)雜的問(wèn)題，根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián) 合求解。一般可用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)有關(guān)的量（速度、 加速度），用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理或?qū)ΧㄝS的動(dòng)量矩定理、 對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理求力。 求解過(guò)程中，往往要正 確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，提供 正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。 平面運(yùn)動(dòng)速度和 加速度的分析。 167。 126 動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用 T1 ? 0 T2 ? 1?1 Pl2w2?2 ? 1 Pl2w2 vC ?lw ?T2? vC ?W 12 ? P? 2?2 ? Ph vC?0?Ph 理論力學(xué) 55 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 [例 ]置于光滑水平面上的兩均質(zhì)桿 AC和 BC各重為 P，長(zhǎng)為 l，在 C處光滑鉸 C A h B C 接，初始靜止， C點(diǎn)高度為 h，求鉸 C到達(dá)地面時(shí)的速度。 解：整體分析受力如圖。因?yàn)? ?Fx(e) ? 0 ， 且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。 動(dòng)量守恒定理＋動(dòng)能定理求解。 計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。 h 2 3 g 3 g 代入動(dòng)能定理： 1P 2 3g ?vC? 3gh 1P 2 3g P P FNA vC FNB w w w2 ? T2 ? lw ? vB 1 1 P 2 2 1 1 P 1 P P ?3P 2 ? ? ? v ? vB B B v 理論力學(xué) 56 解：（ 1）取圓盤(pán)在任意位置為研究對(duì)象 B ?M (F)?0 ； JBaB ?0 ? aB ?0 wB ?w0 ?0 圓盤(pán)運(yùn)動(dòng)始終為平移！ B Fy P2 aB Fx [例 ]重 P1=60N、長(zhǎng) 24cm的均質(zhì)桿 AB與重 P2=150N的均質(zhì)圓盤(pán)在 B處用鉸 鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置時(shí) B的速 度及支座 A處的約束力。 A B B 600 （ 2）用動(dòng)能定理求速度。 取系統(tǒng)研究。初始時(shí) T1=0，最低位置時(shí)： vB w JA vB 2 2 g 2 2 2 3 g 2 g 6g 1 l l 0 0 P