【正文】 矩 (力偶矩 )的功率： P ? ? Mz z z 理論力學 45 一、功率：力在單位時間內所作的功（它是衡量機器工作 能力的一個重要指標）。功率是代數量，并有瞬時性。 dW dt P ? 作用力的功率： dt dt dt dt dW dj n? 30 功率的單位：瓦特（ W），千瓦（ kW），１ W=１ J/s 。 我國 1馬力 = kW 167。 124 功率 功率方程 ??P ? P 輸入 ?P 有用 ?P 無用 得 dT ?dW dT 理論力學 46 d 機器穩(wěn)定運行時， T /dt ?0 機械效率 ?100% P 有用 P 輸入 ? ? ?是評定機器質量優(yōu)劣的重要指標之一，一般情況下 ?＜１。 即 即 d ? 0 分析：起動階段（加速）： T dt d d 制動階段（減速）： T ? 0 dt 穩(wěn)定階段（勻速）： T ? 0 dt 即 P 輸入 ? P 有用 ?P 無用 P 輸入 ? P 有用 ?P 無用 P 輸入 ? P 有用 ?P 無用 二、功率方程 由 dT ??dW 的兩邊同除以 dt ? 即 dt dt dt 功率 方程 P 有用 =F ?v ? Fv ? F ? ? 理論力學 47 [例 ]車床電動機的輸入功率 P= 。傳動零件之間的磨擦 損耗功率為輸入功率的 30％。工件的直徑 d=100mm。 求：轉速 n=42r/min 和 n =112 r/min 的允許最大切削力。 解：車床正常工作時，工件勻速旋轉，動能無變化 dT dt =0 P 有用 =P 輸入 － P 無用 P 輸入 = P 無用 =P 輸入 ?30% ? 其中 P 有用 =P 輸入 － P 無用 切削力 F與工件在切削力作用點的速度 v同向 d πn 2 30 P 有用 60 ? dn F 當 n = 42 r/min 時 當 n = 112 r/min 時 ?? 60 π ??42 F ? 60 ? 112 F 理論力學 48 一、勢力場 力場：若質點在某空間內的任何位置都受到一個大小和 方向完全由所在位置確定的力作用，則此空間稱為力場。 勢力場：在力場中，如果作用于質點的場力作功只決定 于質點的始末位置，與運動路徑無關，這種力場稱為勢力場。 重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。 質點在勢力場中受到的場力稱為有勢力 (保守力 )， 如重力、彈力等均為有勢力（保守力）。 167。 125 勢力場、勢能、機械能守恒定律 V ?? F?dr ?? V? kd 2 理論力學 49 二、勢能 在勢力場中，質點從位置 M運動到任選位置 M0，有勢力 所作的功稱為質點在位置 M相對于位置 M0的勢能，用 V表示。 M0 M M0 M Fxdx?Fydy?Fzdz ② 、彈性力場 取彈簧的自然位置為零勢能點 V ? mg(z?z0) ? ?mgh M0作為勢能為零的基準位置，稱為零勢能點。勢能具 有相對性。零勢能點可以任意選取，對于不同的零勢能點， 在勢力場中同一位置具有不同的勢能。 零勢能點的選取 ① 、重力場 取 z0處為零勢能點 1 2 其中 d 為彈簧的變形 平衡時彈簧的初變形為 d0 ? mg A j l 理論力學 50 ③ 、重力－彈性力系統 一般取系統的平衡位置作為系統的零勢點。 置 O為彈簧零勢能點。桿處于 微小擺 角 j時，系統的勢能為 2 V ? k(d0 ?jl)2 ?mg ? kl2j2 ? 2 2 2 8k 選桿水平位置平衡時為系統的零勢能點，桿處于 微小擺角 j時， 系統的勢能為 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 自然位置 平衡位置 B O d0 d 質量為 m，長為 l的均質桿用剛性系數為 k的彈簧吊住于 水平位置平衡。選不同零勢能點列出系統的勢能。 C 2k 選水平位置為重力零勢能點，自然位 V 1 ?? ? W 12 ?? F ?dr ?? F ?dr ?? 理論力學 51 有勢力的功等于質點系在運動的始末位置的勢能之差。 V與積分路徑無關，積分號內必為全微分，即 Fxdx?Fydy ?Fzdz ??dV V ?V(x， y， z) 是坐標的單值連續(xù)函數。 M2 M1 M0 M1 M2 M0 F ?dr ? ?W 10 ?W20 ?V1 ?V2 M1→ M2： M0 M1 F ?dr ?W 10 M0 M2 在 M2位置： V2 ? F ?dr ?W20 三、有勢力的功 在 M1位置： x y z O M1 M2 M0 質點系的勢能： V(x1 1 1， ???) ??? ， y， z ， Fy z ? ? ?V 理論力學 52 則 T2 ?T 1 ?W 12 ?V1 ?V2 — 機械能守恒定律 ? T 1 ?V1 ?T2 ?V2 ?常量 ? 四、機械能守恒定律 機械能：系統的動能與勢能的代數和。 設質點系只受到有勢力 (或同時受到不作功的非有勢力 )作用， 這樣的系統稱為保守系統。 對非保守系統，設非保守力的功為 W1239。，則有 (T2?V2)?(T1?V1)?W12 等勢面：質點位于該面上任何地方，勢能都相等。 dz ?V ?z dy? ?V ?y dx? ?V ?x dV ? ?Fx ? ? ?V ?x ?y ?V ?z ?? ， F Mio Mi (Fxidxi ?Fyidyi ?Fzidzi) l 1 1 l ? ml ? ? m y ?mg( ? y) 將 ? ?? 6gcos2? (1?sin?) 6gcos2? 1?3cos ? 2 1?3cos ? ? ? 2 2 2 2 24 2 2 代入上式，化簡后得 2 y lcos? 由機械能守恒定律： 0?mg ? ? y ? y ? 2 ? l ? 2 理論力學 2 C y l 2 53 ? [例 ]長為 l，質量為 m的均質直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初 速度地傾倒后，求質心的速度（用桿的傾角 ?和質心的位置表達）。 解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質心 C只能鉛垂下降。 約束力不作功，主動力為有勢力，因此可用機械能守恒定律求解。 l ? ? ? ? 任一瞬時： y = ? ? T2 ? JCw2 ? mvC ? ml2?2? m y2 V2 ? mg( ? y) ? mg 2 2 24 2 2 2 理論力學 54 動力學普遍定理 動量定理 動量矩定理 動能定理 矢量形式，投影求解。 標量形式 綜合應用 ① 根據問題的已知條件和待求量，選擇適當的定理 求解，包括各種守恒定理的應用。 ②比較復雜的問題，根據需要選用兩、三個定理聯 合求解。一般可用動能定理求運動有關的量（速度、 加速度），用質心運動定理或對定軸的動量矩定理、 對質心的動量矩定理求力。 求解過程中，往往要正 確進行運動分析，提供 正確的運動學補充方程。 平面運動速度和 加速度的分析。 167。 126 動力學普遍定理及綜合應用 T1 ? 0 T2 ? 1?1 Pl2w2?2 ? 1 Pl2w2 vC ?lw ?T2? vC ?W 12 ? P? 2?2 ? Ph vC?0?Ph 理論力學 55 動力學普遍定理的綜合應用 [例 ]置于光滑水平面上的兩均質桿 AC和 BC各重為 P，長為 l，在 C處光滑鉸 C A h B C 接，初始靜止， C點高度為 h，求鉸 C到達地面時的速度。 解：整體分析受力如圖。因為 ?Fx(e) ? 0 ， 且初始靜止，所以水平方向質心位置守恒。 動量守恒定理＋動能定理求解。 計算動能時，利用平面運動的運動學關系。 h 2 3 g 3 g 代入動能定理： 1P 2 3g ?vC? 3gh 1P 2 3g P P FNA vC FNB w w w2 ? T2 ? lw ? vB 1 1 P 2 2 1 1 P 1 P P ?3P 2 ? ? ? v ? vB B B v 理論力學 56 解：（ 1）取圓盤在任意位置為研究對象 B ?M (F)?0 ； JBaB ?0 ? aB ?0 wB ?w0 ?0 圓盤運動始終為平移！ B Fy P2 aB Fx [例 ]重 P1=60N、長 24cm的均質桿 AB與重 P2=150N的均質圓盤在 B處用鉸 鏈連接。系統由圖示位置無初速地釋放。求系統經過最低位置時 B的速 度及支座 A處的約束力。 A B B 600 （ 2）用動能定理求速度。 取系統研究。初始時 T1=0，最低位置時： vB w JA vB 2 2 g 2 2 2 3 g 2 g 6g 1 l l 0 0 P