【正文】 三點(diǎn)共線甲內(nèi)容提要1. 要證明A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，　　　　　 A?！。　　C。　　　　　　　　　　　常用方法有：①連結(jié)AB，BC證明∠ABC是平角　　　?、谶B結(jié)AB，AC證明AB，AC重合　　　?、圻B結(jié)AB，BC，AC證明　AB＋BC＝AC　　　?、苓B結(jié)并延長AB證明延長線經(jīng)過點(diǎn)C　2. 證明三點(diǎn)共線常用的定理有：① 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行② 經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直③ 三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半④ 梯形中位線平行于兩底并且等于兩底和的一半⑤ 兩圓相切，切點(diǎn)在連心線上⑥ 軸對稱圖形中，若對應(yīng)線段（或延長線）相交，則交點(diǎn)在對稱軸上乙例題：梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)P是形內(nèi)的任一點(diǎn)，PM⊥AB，PN⊥CD求證：M，N，P三點(diǎn)在同一直線上證明：過點(diǎn)P作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　∵PM⊥AB，PN⊥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝90，∠3＝90　　　∴∠1＋∠3＝180　　　　　　　　　　　　　∴　M，N，P三點(diǎn)在同一直線上：平行四邊形一組對邊的中點(diǎn)和兩條對角線的交點(diǎn)，三點(diǎn)在同一直線上　已知：平行四邊形ABCD中，M，N分別是AD和BC的中點(diǎn)，O是AC和BD的交點(diǎn)求證：M，O，N三點(diǎn)在同一直線上 證明一：連結(jié)MO，NO∵M(jìn)O，NO分別是△DAB和△CAB的中位線∴MO∥AB，NO∥AB根據(jù)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行∴　M，O，N三點(diǎn)在同一直線上證明二：連結(jié)MO并延長交BC于N，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵M(jìn)O是△DAB的中位線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴MO∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在△CAB中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AO＝OC，ON，∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　∴BN，＝N，C，即N，是BC的中點(diǎn)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵N也是BC的中點(diǎn)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴點(diǎn)N，和點(diǎn)N重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　M，O，N三點(diǎn)在同一直線上　?。禾菪蜛BCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分別是AB和CD的中點(diǎn)，BC，AD的延長線相交于P求證：M，N，P三點(diǎn)在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　證明：∵∠A＋∠B＝90，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠APB＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　連結(jié)PM，PN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B　　　　　　　　　　　∴PM和PN重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴M，N，P三點(diǎn)在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，點(diǎn)A關(guān)于橫軸的對稱點(diǎn)為B，關(guān)于縱軸的對稱點(diǎn)是C，求證B和C是關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)　　 Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：連結(jié)OA，OB，OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵A，B關(guān)于X軸對稱，　　　　　　　　C　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠COY＋∠BOX＝90　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　X　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴B，O，C　三點(diǎn)在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵OB＝OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　B和C是關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。骸袿1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線EF分別交⊙O1和⊙O2于E，F(xiàn)。求證：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直徑成比例證明：作⊙O1和⊙O2的直徑AM，AN，連結(jié)AB，BM，BN∵AM，AN分別是⊙O1和⊙O2的直徑　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴M，B，N在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠M＝∠E，∠N＝∠F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△AMN∽△AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　丙練習(xí)36　1. 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分別是AD，BC，AC的中點(diǎn)　　求證：M，N，P三點(diǎn)在同一直線上2. 已知：△ABC中，BE，CF是中線，延長BE到G，使EG＝BE，延長CF到H，使FH＝CF，求證：G，A，H三點(diǎn)共線　　　　　　　　　　　　　　　　3. 已知：正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，DE⊥AN于E，求證：點(diǎn)M在DE的延長線上（同33第5）4. 求證：梯形兩腰中點(diǎn)和兩條對角線的中點(diǎn)，四點(diǎn)在同一直線上5. 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分線相交于O，求證：點(diǎn)O在梯形的中位線上6. 已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分別是∠B，∠C的鄰補(bǔ)角，從點(diǎn)A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四個角平分線的垂線段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F(xiàn)，G求證：D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)在同一直線上7. 已知：點(diǎn)P在等邊△ABC外，PA=PB+PC，以PA為一邊作等邊△APQ使點(diǎn)Q和點(diǎn)C在PA的同一側(cè)求證：PQ必過點(diǎn)C8. 已知：△ABC中，AB=AC，直線AP∥BC，點(diǎn)D和點(diǎn)C是關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)求證：點(diǎn)D和點(diǎn)B是關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)返回目錄 　參考答案　 初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(37)不等關(guān)系甲內(nèi)容提要1. 不等式三個基本性質(zhì)：① 不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。② 不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。③ 不等式兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。2. 一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集。 設(shè)ab,不等式組的解集是xa 的解集是xb的解集是 bxa 的解集是空集3. 幾何中證明線段或角的不等關(guān)系常用以下定理① 三角形任意邊兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。② 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和。③ 在一個三角形中，大邊對大角，大角對大邊。直角三角形中，斜邊大于任一直角邊。④ 有兩組邊對應(yīng)相等的兩個三角形中 如果這兩邊的夾角大，那么第三邊也大；如果第三邊大，那么它所對的角也大。⑤任意多邊形的每一邊都小于其他各邊的和乙例題例1. 已知：x≤2，求下列代數(shù)式的取值范圍：①7－3x,　?、诮猓孩佟選≤2，　∴兩邊乘以－3，得　－3x≥－6　兩邊加上7，　得　7－3x≥7－6∴7－3x≥1②設(shè)＝y(tǒng), x+1=xy, (y－1)x=1　　x=≤2，在兩邊乘以y－1時，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2和3，得不等式組：　　或　　　　　或∴y≥　或y1即≥＜1,b滿足不等式＜，試決定a,b的符號。(1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解：∵不等式兩邊都是非負(fù)數(shù)，∴兩邊平方不等號方向不變兩邊平方得，a2－2(a+b)+(a+b)2a2－2a(a+b)+(a+b)2化簡，得（a+b）a， 可知　a≠0，a+b≠0兩邊除以得，a+b顯然不等式要成立，只有， 故a0由此得a+b－， 顯然只有a+b0,又∵a0,　　 故b0∴a,b的符號是：a0, b0：O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)求證：＜＜1分析：本題實質(zhì)是要證明2（OA＋OA＋OC）＞AB＋BC＋CA①且OA＋OB＋OC＜AB＋BC＋CA②　　　　　　　　　　　　　　　　　證明：①∵OA＋OB＞AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　OB＋OC＞BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　OC＋OA＞CA　　　　　　　　∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?、谘娱LBO交AC于D，∵AB＋AD＞OB＋OD，　OD＋DC＞OC∴AB＋AC＞OB＋OC，同理AB＋BC＞OA＋OC，BC＋CA＞OA＋OB即2（AB＋BC＋CA）＞2（OA＋OB＋OC）　∴＜＜1，小于斜邊與斜邊上的高的和已知：△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于D求證：CA＋CB＜AB＋CD證明：設(shè)CD＝h,　a,b,c是∠A，∠B，∠C的對邊根據(jù)勾股定理，a2+b2=c2,　　∴a2+b2＜c2＋h2 ①根據(jù)三角形面積公式ab=ch ∴2ab＝2ch ② 　①＋②：?。╝+b）2(c+h)2 ∵a+b0, c+h0 ∴a+bc+h 又證明：（用求差法）假設(shè)同上 　由ab=ch,得 h= (a+b)－(c+h)=a+b －c－ ＝ ＝ ∵c0, a－c0, c－b0 (直角三角形中斜邊大于任一直角邊)∴ (a+b)－(c+h)＜0∴ (a+b)＜(c+h) 再證明：學(xué)完四點(diǎn)共圓后，可證CA－CD＜AB－CB在AB上截取BE＝BC，在AC上取CF＝CD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　兩等腰△BCE和△CDF頂角∠B=∠DCF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴底角∠2＝∠1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴四邊形CDEF是圓內(nèi)接四邊形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠EFA＝∠CDE＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AFAE ，即AF－CFAB－BE ， AC－CDAB－CB∴CA＋CB＜AB＋CD　：△ABC中，D，E分別在BC，AC上，∠B＝∠1＝∠2　如果△ABC，△ADC，△EBD的周長依次為m,n,p求證：　（1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）證明：設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵∠1＝∠2　，　∴DE∥AC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△ABC∽△EBD∽△DAC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴，即DC＝　　　　　　　　　　　　　　BD＝BC－DC＝a－=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　，　　∴－＋≤：△ABC中，AB＝AC，D是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，∠ADB＞∠ADC求證：∠DBC＞∠DCB分析：為使已知條件∠ADB＞∠ADC集中在一起，把△ABD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AB和AC重合，即作△ABD的全等三角形ACE證明：作∠CAE＝∠ABD，使AE＝AD，連結(jié)CE，DE那么△ACE≌△ABD，　　　　　　　　　　　　A　　　　∴CE＝BD，∠ACE＝∠ADB＞∠ADC　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵∠ADE＝∠AED，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠DEC＞∠EDC，　　　　　　　　　　　　　D　　　E　　　　　∴DC＞CE，即DC＞BD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠DBC＞∠DCB　　　　　　　　　　　B　　　　　　C　　丙練習(xí)371. 已知a≥，那么　9－6a　的值是＿＿＿＿2. 已知b= , 當(dāng)a≥3時，b的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿3. 已知a0,　且 ＞ 則x的取值范圍是＿＿＿＿（1991泉州市初中數(shù)學(xué)雙基賽題），AB=2，BC=4，CD=7，則AD的適合范圍是＿＿＿＿△ABC的邊長為1，點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)＜PA＋PB＋PC＜2　?。?989年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題），AB∥CD，ADBC， 求證 ∠A∠B△ABC中，三條角平分線AD，BE，CF相交于一點(diǎn)O，作OH⊥BC于H， 求證 ∠COH∠CAO：AD，BE，CF三條高相交于一點(diǎn)H，求證：：△ABC中，∠A90，ABAC，邊AB，AC的中垂線，分別交BC于D和E求證：BDCE10四邊形ABCD中，AB=CD，∠C∠B，則∠A∠D△ABC中，① 若AD是中線，則∠DACDAB② 若AD是角平分線，則AB+