【正文】 ，求該人確實患有甲種病的概率。 解： 設(shè) B=“患甲種病”， 未患甲種病?BC=“經(jīng)檢驗認(rèn)為患甲種病 ” 則 %1)|(%,5)|()( ??? BCPBCPBP ?，)|()()|()()|()()|(BCPBPBCPBPBCPBPCBP??%1)(% % ????? ?? ?? ?98 2022/2/9 概率 Chapter 16 注 （ 1）全概率公式用來求較復(fù)雜事件的概率。所謂復(fù)雜，是因為它的發(fā)生是有若干個原因或來源。用全概率公式的關(guān)鍵，就是要找到一個完備事件組，往往就從這些原因或來源中來找。 （ 2）貝葉斯公式用來求后驗概率。后驗概率 P(Am|B)是相對于先驗概率 P(Am)來說的。 P(Am)是試驗前根據(jù)以往經(jīng)驗確定的一種假設(shè)概率， P(Am|B)是在獲知事件 B已經(jīng)發(fā)生這一信息之后，事件 Am發(fā)生的條件概率 。 100 事件的獨(dú)立性 ?一、兩個事件的獨(dú)立性 ?二、多個事件的獨(dú)立性 ?三、可靠性 101 2022/2/9 概率 Chapter 14 一個袋內(nèi)裝有 20個球，其中完全涂成紅色的球 3個，簡稱全紅球，全黃全黑全白色的球分別有 6個、 5個和 4個，另外還有 2個是涂有紅、黃、黑、白四色的彩球，從中任取一球， 記事件 A、 B、 C、 D分別表示取到的球上涂有紅色、黃色、黑色、白色。 求 P(A), P(B), P(C), P(D), P(A|B), P(A|C), P(A|D). 引例 (補(bǔ)充 ) 解： P(A)＝ 5/20=, P(B)=8/20=, P(C)=7/20=, P(D)=6/20=, P(A|B)=2/8=, P(A|C)=2/7=, P(A|D)=2/6= 2 3 6 5 4 102 一、兩個事件的獨(dú)立性 ? 條件概率 P(A|B) 刻畫了事件 B的發(fā)生給事件 A帶來的信息 .其中 ,一種情況是事件 B的發(fā)生并沒有給事件 A帶來新的信息，沒有改變事件 A發(fā)生的概率 ，即： ? 此時，我們稱事件 A獨(dú)立 于事件 B. )1()()|( APBAP ?103 ? 例：某班 50名學(xué)生，女生 20名。第一組 10名，其中 4名女生。從中任選一名， A=“學(xué)生是第一組”， B=“女學(xué)生”，問事件 A、 B是否獨(dú)立？ ? 分析： 顯然 故 A， B獨(dú)立 。 注：若第一組的女生數(shù)量發(fā)生改變，比如有 5名女生，則 A、 B不獨(dú)立。 ,515010)( ??AP ,51204)|( ??BAP)|()( BAPAP ?),|()( BAPAP ?104 ? 根據(jù)條件概率的定義 如果有 等價于： ? （ 2）式是事件 A和事件 B的正式定義，因為： a）與 (1)式相比 ,(2)式包含了 P(B)=0的情況 . b）在 (2)式中 A和 B具有對稱的地位，因此可以稱 A和 B是相互獨(dú)立的 ，或 A和 B是相互獨(dú)立的事件 .下面給出有關(guān)定義 . )()()|(BPABPBAP ?)1()()|( APBAP ?)2()()()( BPAPABP ?105 ? 定義 ：設(shè) A、 B是兩個事件，如果滿足等式 則稱事件 A， B相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立 . ? 人們往往容易從直觀判定獨(dú)立性。例如，在兩個不同的且沒有相互作用的物理過程控制下發(fā)生的兩個事件，我們可以判定它們相互獨(dú)立。如果甲乙兩人向同一目標(biāo)各射一次，我們通常認(rèn)為“甲擊中”和 “乙擊中”是相互獨(dú)立的 . ? 但是 , 樣本空間中的事件的獨(dú)立性往往不能直觀的看出來 . (注意 :與事件的互斥性區(qū)分 .) )()()( BPAPABP ?106 ? 如果兩個事件互不相容，是否可以判定它們相互獨(dú)立？ ? 通常認(rèn)為它們是相互獨(dú)立 .而事實上恰好相反，若事件 A和事件 B互不相容，且 P(A)0,P(B)0,則事件 A和事件 B不可能相互獨(dú)立。 ? 因為 從而 ? 例如事件 A和事件 如果事件 A發(fā)生，就可以確切的告訴我們事件 不會發(fā)生，事件 A發(fā)生與否確實給 的發(fā)生與否帶來了信息 . ,??BA ? )()(0)( BPAPBAP ???,AA A107 ? 例 1 連續(xù)兩次扔一枚均勻的骰子 ,有 36種可能的實驗結(jié)果是等概率的每個實驗結(jié)果的概率為 1/36. (1)事件 是否獨(dú)立 ? 直觀上是獨(dú)立的 解： },{ iA i 第一次得? }{ jB j 第二次得??)( ji BAP ? )},({ jiP 兩次的結(jié)果是361?108 由于 可知 是相互獨(dú)立的 . 總的試驗結(jié)果數(shù)中的試驗結(jié)果數(shù)iiAAP ?)(61366 ??總的試驗結(jié)果數(shù)中的試驗結(jié)果數(shù)jjBBP ?)(61366 ??),()()( jiji BPAPBAP ?? ji BA 與109 (2)事件 是否獨(dú)立 ? 直觀上不明顯 . ? 解： B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, 因為 P(AB)=P(A)P(B),故 A,B獨(dú)立 . },1{ 第一次得?A }7{ 兩次之和為?B?)( BAP ? ?)}6,1({ 兩次的結(jié)果是P361所有可能的試驗結(jié)果數(shù)中的試驗結(jié)果數(shù)AAP ?)(366?所有可能的試驗結(jié)果數(shù)中的試驗結(jié)果數(shù)BBP ?)(366?110 (3) 事件 A={最大數(shù)是 2},B={最小數(shù)是 2}是否獨(dú)立？ 直觀上不獨(dú)立，因為最小數(shù)蘊(yùn)含最大數(shù)的信息，如最小數(shù)是 2，最大數(shù)不可能是 1. 證： 故他們不獨(dú)立 . ?)( BAP ? ?)}2,2({ 兩次的結(jié)果是P361所有可能的試驗結(jié)果數(shù)中的試驗結(jié)果數(shù)AAP ?)(363?所有可能的試驗結(jié)果數(shù)中的試驗結(jié)果數(shù)BBP ?)(369?)(481)()( BAPBPAP ???111 2022/2/9 概率 Chapter 14 ., BA 。 B,A。BA。BA 其余三對也獨(dú)立只要有一對事件獨(dú)立，中與與與與推論 設(shè) A與 B為兩事件，都具有正概率 ,則下列四對事件： ),B(: 其余證明類似獨(dú)立與僅證獨(dú)立與設(shè)證 ABA由定義可知，命題成立。 )()( )B( ABPAPAP ??)B()( )](1)[( )()()(PAPBPAPBPAPAP?????112 二、多個事件的獨(dú)立性 ? 定義 : 設(shè) 為 n個事件 .若對任何 滿足 則稱 為相互獨(dú)立的事件 . ? 從定義可以看出， n個事件相互獨(dú)立需要滿足 個條件 . nAAA , . . . , 21niii k ????? ?211)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ????? ?nAAA , . . . , 211232 ?????? nCCC nnnnn ?113 ? 三個事件 的獨(dú)立性歸結(jié)為下列 4個條件： ? 前面三個等式說明任意兩個事件相互獨(dú)立，這種性質(zhì)稱為兩兩獨(dú)立。 ? 但第四個條件也非常重要，它不是前三個條件的推論 。反過來，第四個條件也不蘊(yùn)含前三個條件 . 321 , AAA兩兩獨(dú)立 )()()( 2121 APAPAAP ??)()()( 3131 APAPAAP ??)()()( 3232 APAPAAP ??)()()()( 321321 APAPAPAAAP ????114 ? 例 2（兩兩獨(dú)立并不包含獨(dú)立） 設(shè)試驗是拋擲兩枚均勻的硬幣 .考慮下列事件： ? 由定義知 和 是相互獨(dú)立的 ,現(xiàn)證明 和 B相互獨(dú)立 : ? 由于 ? 可知 和 B是相互獨(dú)立的。同樣可證 和 B相互獨(dú)立 ? 但 ? 所以三個事件是 不獨(dú)立的 },{1 第一次扔得正面?A },{2 第二次扔得正面?A},{ 兩次的結(jié)果不同?B1A 2A 1A)(212/1 4/1)( )()|(111 BPAPBAPABP ???? ?1A 2A)()()(2121210)( 2121 BPAPAPBAAP ???????115 例 3(等式 不包含獨(dú)立 ) 設(shè)試驗是拋擲兩個均勻的骰子，記： 則 這三個事件是不獨(dú)立的 . 但下面等式成立 )()()()( 321321 APAPAPAAAP ???}32,1{1 或第一次得?A }65,4{2 或第二次得?A}9{3 兩次點數(shù)之和為?A)()(36421361)( 3131 APAPAAP ?????)()(36421121)( 3232 APAPAAP ?????)()()(3642121361)( 321321 APAPAPAAAP ???????116 三、可靠性 ? 若系統(tǒng)是由一組原件組成 ,對于任一元件 ,它能正常工作的概率稱為該 元件的可靠性 .系統(tǒng)正常工作的概率稱為該 系統(tǒng)的可靠性 . ? 在由多個元件組合成的一個復(fù)雜系統(tǒng)中 ,通常假定各個元件的表現(xiàn)是 相互獨(dú)立的 .在這樣的假定下 ,系統(tǒng)可靠性的計算和分析將變得十分簡單 . ? 一個復(fù)雜的系統(tǒng)通常能夠分解成若干子系統(tǒng)，而每個子系統(tǒng)又有若干元件組成 ,這些元件可以以串聯(lián)方式或并聯(lián)方式相互連接 . 117 設(shè)系統(tǒng)由 m個元件組成， 為第 i個元件有效（運(yùn)行）的概率 . (1)串連系統(tǒng) : 串聯(lián)系統(tǒng)只有在所有元件均有效的情況下才有效，即： (2)并聯(lián)系統(tǒng) : 并聯(lián)系統(tǒng)中只需諸元件中有一個元件有效，系統(tǒng)就有效 ,即： iPmpppP . ..( 21?串聯(lián)系統(tǒng)有效）并聯(lián)系統(tǒng)失效）并聯(lián)系統(tǒng)有效） (1( PP ??)1) . .. (1)(1(1 21 mppp ?????118 例 4(網(wǎng)絡(luò)連接 ) 下圖 A、 B之間通過節(jié)點 C、 D、 E、 F相互連接 ,兩個節(jié)點之間的數(shù)字是節(jié)點之間連接概率。假定各節(jié)點之間連接與否相互獨(dú)立，問 A、 B之間的連接概率有多大？ 解： A B D C E F )( BCP ?)),(1))(,(1(1 BFFCPBEECP ????????)1)(1(1 FBCFEBCE PPPP ????))((1 ???????119 )()(),( BCPCAPBCCAP ????? ???)()(),( BDPDAPBDDAP ????? ???A B D C E F 最后 ?? )( BAP )),(1))(,(1(1 BDDAPBCCAP ???????))((1 ?????120 例 每個元件的可靠性為 r，求下列系統(tǒng)的可靠性 . 1 2 3 4 5 解 :設(shè) 5,...,1, ?iAi表示第 i個元件正常工作 系統(tǒng)的可靠性為： )( 2345315421 AAAAAAAAAAP ???)()()()( 2345315421 AAAPAAAPAAPAAP ????))(())(())()(( 23421531215421 AAAAAPAAAAAPAAAAP ??? ???))()(())()(())()(( 2345312345453154 AAAAAAPAAAAAPAAAAAP ??? ???))()()(())()()(( 2345315423453121 AAAAAAAAPAAAAAAAAP ???? ??))()()(())()()(( 23454215315421 AAAAAAAPAAAAAAAP ????