【正文】 tfh d)(1 )(?f? )( hxx ??? ?hxFhxFh)()(lim0????)(lim 0 ?fh ?? )(xf?)( xF?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明 : 1) 定理 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . 2) 變限積分求導 : ? )( d)(dd xa ttfx ? )()]([ xxf ?? ??同時為 通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ? )( )( d)(dd xx ttfx ??)()]([)()]([ xxfxxf ???? ???????????? ?? )()( d)(d)(dd xaax ttfttfx??如： 設 f x( ) 在 [ , ]a b 上 m f x M? ?( ) ，則 m b a f x dx M b aa b( ) ( ) ( )? ? ? ??,1161 4 ?? x?21321 1214 ??? ? dxxTheorem C： Boundedness Property 定積分的性質 (設所列定積分都存在 ) ( k 為常數(shù) ) ??? ??? bababa xxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([.4機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Solution： 求200s i nl i mxt dtxx??. 212s i nl i m)(s i nl i m0200??????????????xxxt d txxx000?x當 極限表達式是 型不定式， 用洛必達法則，得： 200s inlimxt dtxx??Example Example ? ??? 322)( xxt dtex ).(x??設 ，求 ,2xu ? ,3xv ?xvvatxuaut vdteudtex ????????????????????? ? ?? ?? 22)(xvvatxuuat vdteudte ??????????????????? ?? ?? ?? 22xuxv ueve ?????? ??22)()( 23 46 ???? ?? xexe xx46 23 2 xx xeex ?? ??Solution： 令 由復合函數(shù)的求導法則，定積分 的性質 Second Fundamental Theorem )()(d)( aFbFxxfba ??? ( 牛頓 萊布尼茲公式 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數(shù) , 則 )()(d)( aFbFxxfba ??? ( 牛頓 萊布尼茲公式 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證 : 根據(jù)定理 1, 故 CxxfxF xa ?? ? d)()(因此 )()(d)( aFxFxxfxa ???得 記作 函數(shù) , 則 若在 [a , b] 上 0)(1????iinixf ??則 證 : ?? ba xxf d)( 0)(l i m 10 ??? ??? iinixf ??推論 1. 若在 [a , b] 上 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 推論 2. 證 : )( xf? ?? )( xf )( xf?)( ba ?xxfxxfxxf bababa d)(d)(d)( ??? ????即 xxfxxf baba d)(d)( ?? ?設 ,)(m in,)(m a x],[],[ xfmxfM baba ??則 )( ba ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若 f x( ) 在 [ , ]a b 上 ..tc ，則至少 ? 一點],[ ba?? 使得： ? ??ba abfdxxf ))(()( ?證明： m b a f x dx Ma b? ? ??1 ( ) 再由閉區(qū)間上 ..tc 函數(shù)的性質 ， ..],[ tsba?? ? ， ??? ba dxxfabf )(1)( ?Mean Value Theorem 定積分中值定理 任何一個曲邊梯形的面積，總有一個與它是 相同底的矩形與之面積相等．（如下圖） ?幾何上積分中值定理表示： 例 . 計算從 0 秒到 T 秒這段時間內(nèi)自由落體的平均 速度 . 解 : 已知自由落體速度為 tgv ?故所求平均速度 2211 TgT ?? 2Tg?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Definite Integral 證明： 證明：若f x( )在[ , ]? a a上 ..tc ，則 1 ) 當f x( )為偶函數(shù)時，f x dx f x dxaaa( ) ( )? ???20 2 ) 當f x( )為奇函數(shù)時，f x dxaa( ) ???0 1 ) 當 f x( ) 為偶函數(shù)時 因為 ?? ???????? 00 )1)(()(aatx dttfdxxf ? ?? a dxxf0 )( ? ??? a dxxf0所以 ? ? ? ? ? ???? ???? aaa a dxxfdxxfdxxf 00 ? ???a dxxf02續(xù) 2 ) 當 f x( ) 為奇函數(shù)時， 因為 ： ?? ???????? 00 )1)(()(aatx dttfdxxf ? ?? a dxxf0 )( ? ???? a dxxf0所以 ： ? ? ? ? ? ???? ???? aaa a dxxfdxxfdxxf 00 ? ? ? ? 00 0 ???? ? ?a a dxxfdxxf此結論廣泛應用于以后的計算中。 設函數(shù)f x( )在[ , ]a b上 ..tc ， ? ?tx ??滿足： 1.? ?( ) , ( )? ?? ?a b。 2 .x t? ? ( )在 ? ??? ,或 ? ??? ,上單值有連續(xù)導數(shù)且其值域不超出 ? ?ba ,； 則有 ： f x dx f t t dtab ( ) ( ( )) ( )? ??? ? ??? 稱為定積分的 換元公式 ． 其中 dxtdxftfba 與與與與 )(),())((, ???? 相對應． 換元積分法 Example 解 : 令 ,12 ?? xt 則 ,dd,2 12ttxtx ???,0 時當 ?x ,4 時?x .3?t∴ 原式 = ttttd231 212? ??tt d)3(21 31 2? ??)331(21 3 tt ?? 13。1?t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 且 解： 求 dxxx? 205 s i nc o s? . 原式 ????? ??? 01 5c o s dttxt ?? 10 5 dtt6161 106 ???????? t另解 原式 ? ?xdx c osc os20 5??? 206c o s61????????? x61?換元換限，不換元則不換限 example Example 解： 求 dxxaa? ?0 22. 設 tax s in? ， 則 t d tadx c o s? ， 且當 0?x 時， 0?t ；當 ax ? 時 ，2??t 原式 dtta ?? 20 22 c o s? ? ?dtta ? ?? 2022c os12?2022s i n212??????? ?? tta42a??Example 計算 .s i ns i n0 53 dxxx? ???????? 2,0? xx c o s|c o s| ??????? ?? ,2|cos| x xcos??解： 由于在 上， ，在 上， ，所以 dxxxdxxx ?? ??? ???2232023)c os(s i nc oss i n?? ?? ???2232023)(s i ns i n)(s i ns i n xxdxdx???2252025s i n52s i n52?????????????? xx????????? 5252 54?原式 ★注意： 如果忽略 xcos?????? ?? ,2在 上為負，而按照 xxxx c oss i ns i ns i n 2353 ?? 來計算，將導致錯誤結果 . ? ( )uv u v u v? ? ? ? ?兩端在 [ , ]a b 上求定積分可得： ? ??ba bauvdxuv )( ?? ???? baba dxvuv dxu?? ????? baba ba v dxuuvdxvubabav dxuuvdxvu ?????? ???? ??:或定積分的分部積分法 解： 求 e dxx01? 令 tx ? ， 則t d tdxtx 2,2 ?? ， 當 1,1。0,0 ???? txtx 時當時 所以原式 ?? 102 dtte t 令 dtedvtu t?? , ， 則 tevdtdu ?? , 從而原式 ? ?? ???? 10102 dtete tt ? ?102 tee ?? ? ? 212 ???? eeExample 無窮限的反常積分 引例 . 曲線 和直線 及 x 軸所圍成的開口曲 邊梯形的面積 21xy ?A1可記作 ? ??? 1 2dx xA其含義可理解為 ????? bb x xA 1 2dl i mbbb x 11l i m ?????? ??????????? ?? ??? bb 11lim 1?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 無界函數(shù)的反常積分 引例 :曲線 所圍成的 與 x 軸 , y 軸和直線 開口曲邊梯形的面積 可記作 其含義可理解為 ???? 10 dl i m ?? xxA ??12lim0x???)1(2l i m0???? ??2?xy1?0Axy?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習 1. 提示 : 令 ,txu ??________d)(si nd d 0 100 ??? ttxx x則 ttxx d)(si n0 100? ? u100sinx100si2. 設 解法 1 )( 3xf?解法 2 對已知等式兩邊求導 , 思考 : 若改題為 提示 : 兩邊求導 , 得 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 得