武漢二中廣雅中學屆九級下第二次月考試卷含答案解析-資料下載頁
2025-01-14 18:25本頁面
【正文】 長為6的等邊三角形，D、E是AB、BC上的動點，且BE=DC，連AD、EC交于點M．（1）求證：△AME∽△ABD；（2）連DE，若BD=2DC，求證：①DE⊥AB；②連BM，求BM的長；（3）當D、E在△ABC的邊BC、AB上運動時，直接寫出△AMC的面積的最大值．【考點】相似形綜合題．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=BC，∠ABD=∠C=60176。，可得△ABD≌△BCE；推出∠BAD=∠CBE，再通過三角形外角性質(zhì)即可求出∠AME的度數(shù)，即可得出結(jié)論．（2）①過點C作CF⊥AB于F，判斷出△BDE∽△BCF，即可得出結(jié)論，②先利用勾股定理求出AD，AM，再用相似得出比例式求出MN，AN最后用勾股定理即可得出BM．（3）先判斷出△ACM面積最大時，點M的位置，最后用圓的性質(zhì)即可求出結(jié)論．【解答】解：：①∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60176。，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．∠BAD=∠CBE，∴∠AME=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60176。=∠B∵∠EAM=∠DAB，∴△AME∽△ABD，（2）如圖1，過點C作CF⊥AB，∴∠BFC=90176?！摺鰽BC是邊長為6的等邊三角形，∴AB=BC=6，BF=AB=3，∵BD=2DC，∴CD=2，BD=4∴BE=CD=2，∵，∴，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BCF，∴∠BED=∠BFC=90176。，∴DE⊥AB，如圖2，過點A作AH⊥BC，∴BH=BC=3，∴DH=BD﹣BH=1，AH=3，根據(jù)勾股定理得，AD==2，由（1）知，△AME∽△ABD，∴，∴，∴AM=在Rt△BDE中，DE==2，過點M作MN⊥AB，∵DE⊥AB，∴DE∥MN，∴=∴，∴MN=，AN=∴BN=AB﹣AN=在Rt△BMN中，BM==．（3）如圖3，由（1）可知∠AME=∠B=60176。，∴∠AMC=120176。，點M的軌跡是一段弧，它所對的弦AC對的圓心角120176。，∴△AMC的AC邊上的高為M到AC的距離，最大距離即為弓形的高IG，在Rt△AOI中，AI=3，∠AOI=∠AOC=60176。，∴OA=2，OI=，∴IG=，∴S△AMC最大=ACIG=6=3． 24．已知如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0）．（1）求b、c的值；（2）如圖，點D與點C關(guān)于點O對稱，過點B的直線交y軸于點N，交拋物線于另一點M．若∠DBM=∠ACO，求的值；（3）如圖，在（2）的條件下，點P是y軸上一點，連PM、PB分別交拋物線于點E、F，探究EF與MB的位置關(guān)系，并說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）取點Q（1，4），P（0，1），如圖1中，作QR⊥y軸于R，連接PQ，則RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，由△POR≌△BPO≌△CAO，推出BQ與y軸的交點是N，與拋物線的交點是M，利用方程組即可解決問題．（3）結(jié)論：EF∥BM或EF與BM重合．設(shè)P（0，m），求出直線PM、PB，再利用方程組求出點E、F坐標，求出直線EF的解析式即可解決問題．【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0），∴有方程組，解得，∴b=﹣2，c=﹣3．（2）∵拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，∴點C坐標（0，﹣3），OA=1，OB=3，OC=3，∵點D與點C關(guān)于點O對稱∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠2+∠4=45176。，取點Q（1，4），P（0，1），如圖1中，作QR⊥y軸于R，連接PQ，則RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，∴△POR≌△BPO≌△CAO，∴∠1=∠2=∠α，PQ=PB，∵∠6+∠2=90176。，∴∠1+∠6=90176。，∴∠5=90176。，∵PQ=PB，∴∠3+∠4=45176。，∵∠2+∠4=45176。，∴∠DBQ=∠3=∠2=∠α=∠ACO，∴由此BQ與y軸的交點是N，與拋物線的交點是M，∵B（3，0），Q（1，4），設(shè)直線BQ為y=kx+n，則，解得，∴直線BN的解析式為y=﹣2x+6，∴N（0，6），由解得或，∵B（3，0），∴M（﹣3，12），作MG⊥y軸于G，∵N（0，6），M（﹣3，12），B（3，0），∴MG=OB=3，NO=NG=6，∴Rt△MNG≌△Rt△BNO，∴MN=NB∴=1．（3）結(jié)論：EF∥BM或EF與BM重合．理由：設(shè)P（0，m），∵M（﹣3，12），B（3，0），∴可得直線PM的解析式為y=x+m，直線PB的解析式為y=﹣x+m，由消去y得3x2+（6﹣m）x﹣3（m+3）=0，[3x﹣（m+3）]（x+3）=0，∴x=﹣3或，x=﹣3時，y=12，x=時，y=，∴方程組的解為或，∴E（，），由解得或，∴F（﹣，），設(shè)直線EF解析式為y=ax+t，則，∴=﹣，∴a=﹣2，∴直線EF的解析式為y=﹣2x+t，∵直線BM的解析式為y=﹣2x+6，∴t≠6時，EF∥MB，t=6時，直線EF與BM重合． 2017年4月18日第33頁（共33頁）
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