【導(dǎo)讀】自然界與社會(huì)生活中存在兩類現(xiàn)象：。在一定條件下必然發(fā)生的一類現(xiàn)象，其結(jié)果是確定的。向上拋的物體會(huì)落到地上。蘋果落地；同種電荷相斥，異種電荷相吸。結(jié)果呈現(xiàn)不確定性：如氣象變化、購(gòu)買彩票、成績(jī)分布等。但其中隱藏著一些確定的規(guī)律。在相同條件下，用同一門炮射擊同一目標(biāo)，觀察彈著點(diǎn)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的。隨機(jī)是一種客觀概念的表述，是客觀存在的，不受主觀影響的。如對(duì)青年人屬于哪個(gè)年齡段的判斷，不同人給出的答案是不確定的。隨機(jī)現(xiàn)象是宇宙空間內(nèi)最為廣泛的現(xiàn)象，體現(xiàn)在人們生產(chǎn)。整個(gè)課程共分兩個(gè)部分，48學(xué)時(shí)，共24次課，3個(gè)學(xué)分。算概率論相關(guān)問(wèn)題，構(gòu)成整個(gè)概率論的基礎(chǔ)理論。象，對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出種種的估計(jì)和判斷。盡量交單頁(yè)便于攜帶。將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成一個(gè)集合，稱為E的。樣本空間中的元素，即E的每個(gè)結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。一般的，稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。

　　

【正文】 2?59/69 167。 獨(dú)立性 ? 在條件概率 P(B|A)中，一般情況下，事件 A的發(fā)生對(duì)事件 B的發(fā)生是有影響的，即在很多情況下 P(B|A)≠P(B)，在有些情況下，這種影響是不存在的 ? 即 P(B|A)＝ P(B) ? 這時(shí) P(AB)= P(B|A)P(A)＝ P(B)P(A) ? 這樣的情況用獨(dú)立性這一概念來(lái)描述 ? 定義 設(shè) A， B是兩事件，如果具有等式 ? P(AB)=P(B)P(A) ? 則稱事件 A， B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱 A， B獨(dú)立 ? 例 1： 設(shè)試驗(yàn) E為“拋甲乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況” ? 設(shè)事件 A：甲幣出現(xiàn)正面； 事件 B：乙?guī)懦霈F(xiàn)正面。看一下獨(dú)立性。 ? 分析： ? S={HH， HT， TH， TT}； A={HH， HT } B={ HH， TH } ? ∴ P(A)＝ 1/2 P(B)=1/2 P(AB)=1/4 P(B|A)=1/2 ? ∴ P(B)=P(B|A) P(AB)=P(B)P(A) 事實(shí)上，由對(duì)稱性知，兩次拋幣是互不干涉的，因此甲是否正面和乙是否正面互不影響 60/69 167。 獨(dú)立性 ? 獨(dú)立性的相關(guān)性質(zhì)： ? 若 P(A)0， P(B)0，則 A， B相互獨(dú)立與 A， B互不相容不能同時(shí)成立 ? 因?yàn)槿绻ゲ幌嗳輨t 0＝ P(AB)，如果又滿足相互獨(dú)立則 P(AB)＝P(B)P(A)0。矛盾。 ? 定理一 設(shè) A， B是兩事件，且 P(A)0，若 A， B相互獨(dú)立，則 P(B|A) =P(B)，反之亦然。（由定義可直接證得） ? 定理二 若事件 A， B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立。 A與 ， 與 B， 與 ? 證： A=A(B∪ )=AB∪ A ? ∴ P(A)=P(AB∪ A )= P(AB)+P(A ) ? ∴ P(A )= P(A)－ P(AB)＝ P(A)－ P(B)P(A)＝ P(A)(1－ P(B))＝ P(A)P( ) ? ∴ A與 相互獨(dú)立 ? 又 ? ∴ 與 也相互獨(dú)立 BB AAB BB BBB)()()()(1()())|(1()()|()( BPAPBPAPBPBAPBPBAPBAP ??????A BB61/69 167。 獨(dú)立性 ? 推廣：三個(gè)事件的情況 ? 定義：設(shè) A， B， C是三個(gè)事件，如果滿足等式 ? 則稱事件 A， B， C相互獨(dú)立。 ? 注意：僅滿足前三個(gè)等式的三個(gè)事件稱為 兩兩相互獨(dú)立 見(jiàn)習(xí)題 33 ? 當(dāng)然，如果事件 A， B， C相互獨(dú)立 ? 則 也相互獨(dú)立 ? 推廣到多個(gè)事件 ? 一般的，設(shè) A1, A2, … , An為 n個(gè)事件， n?2，如果對(duì)于其中的任意兩個(gè)，任意 3個(gè)， … ，任意 n個(gè)事件的積事件的概率，都等于各事件概率之積，則稱事件 A1, A2, … , An相互獨(dú)立。 ? 包含的等式的個(gè)數(shù)： ???????????),()()()(),()()(),()()(),()()(CPBPAPA B CPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBACBACBA ,。. ..。,。,12)11( 0132 ?????????? nCCCCC nnnnnnnn ?由定義可以得到以下兩點(diǎn)推論： A1, A2, … , An相互獨(dú)立， n?2，則其中任意 k(2?k?n)個(gè)事件也是相互獨(dú)立的。 n個(gè)事件 A1, A2, … , An(n?2)相互獨(dú)立，則將 A1, A2, … , An中任意多個(gè)事件換成他們的對(duì)立事件，所得的 n個(gè)事件仍相互獨(dú)立 在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于事件的獨(dú)立性常常根據(jù)事件的實(shí)際意義來(lái)判斷，如果兩個(gè)事件關(guān)聯(lián)很弱也可以看作是獨(dú)立的。 62/69 167。 獨(dú)立性 ? 例：甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 p，p?1/2，對(duì)甲而言，采用三局兩勝制有利，還是采用五局三勝制有利？設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立。 ? ? ? ? , 1 , 2 , , 5iiA i P A p i? ? ? ?解：設(shè) 第 局甲勝? ?A ?再設(shè) 甲勝? ?? ? ? ? ? ?221 2 1 2 3 1 2 3 1121P A P A A A A A A A A p p p p? ? ? ? ? ? ? 三局二勝制： ? ? ? ?2221 3 1 2 1P P P P P? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 3 4 523 1 3 2 33 4 22 1 1P A P A A A A Ap C p p C p p p? ? ?? ? ? ? ? ?五局三勝制： 前三次有一次輸 前四次有兩次輸21211, 2 1, 2p p pp p p? ?????? ???當(dāng)當(dāng)63/69 167。 獨(dú)立性 ? 例：甲乙丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)射擊，且相互獨(dú)立 ? 甲的擊中概率為 ；乙的擊中概率為 ；丙的擊中概率為 ； ? 飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率 。 飛機(jī)被二人擊中而擊落的概率 。 飛機(jī)被三人擊中而擊落的概率 1。 ? 求飛機(jī)被擊落的概率 ? 解：由題意，令 B0， B1， B2， B3分別為被一人擊中、被兩人擊中、被三人擊中的事件，則關(guān)于三人射擊擊中情況 B0 ， B1， B2， B3構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，事件 A為飛機(jī)被擊落的概率 P(A)，則由全概率公式 ? P(A)＝ P(A|B0) P(B0)+P(A|B1) P(B1)+P(A|B2) P(B2)+P(A|B3) P(B3) ? 現(xiàn)在 P(A|B1)＝ ， P(A|B2)＝ ， P(A|B1)＝ 1，只需求 P(B1)， P(B2)， P(B3) ? B1= 甲乙丙射擊是相互獨(dú)立的，所以 ? P(B1)=P( ) ? = ? 同理可求得 P(B2)， P(B3) )()()( 丙乙甲丙乙甲丙乙甲 ??)()()( 丙乙甲丙乙甲丙乙甲 ??)()()()()()()()()( 丙乙甲丙乙甲丙乙甲 PPPPPPPPP ??64/69 習(xí)題 ? 例：設(shè) A,B為兩個(gè)已知事件， ? 事件 X滿足 =B，求 X ? 解： ? 利用德 ?摩根率，左邊 =(A?X)?(X? ) ? 再利用分配率，左邊 =X?(A? )=X?S=X ? 所以 X=B AXXA ???AA65/69 習(xí)題 ? 例：盒中有 N只從 1到 N進(jìn)行編號(hào)的球，現(xiàn)在有放回的取回 n只球，問(wèn)這 n次取球的號(hào)碼按升序排列的概率是多少？ n?N ? 考慮兩種情況 (i) 嚴(yán)格升序， (ii)非嚴(yán)格升序 ? 解： (i)嚴(yán)格升序 p＝ /Nn ? (ii)非嚴(yán)格升序 ? 按升序的含義，重復(fù)的球是連續(xù)出現(xiàn)的，從 1到 N這 N個(gè)球按升序排放后，每取一個(gè)球在該球后面放一個(gè)標(biāo)記，如果是重復(fù) t次選取就在該球后放 t個(gè)標(biāo)記，這樣相當(dāng)于在 N個(gè)球后面共插入 n個(gè)標(biāo)記。 ? 這樣相當(dāng)于在 N－ 1個(gè)球＋ n個(gè)標(biāo)記的 N－ 1＋ n個(gè)位臵上任意選 n個(gè)位臵作為標(biāo)記，其余球按升序恰好填滿其它位臵， 1號(hào)球總是在第一個(gè)位臵上 nNCn nNC ??166/69 本章小結(jié)（一） 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 性隨 機(jī) 試 驗(yàn)1 . 相 同 條 件 下 可 重 復(fù) 進(jìn) 行 ；2 . 每 次 試 驗(yàn) 可 能 結(jié) 果 不 止 一 個(gè) ， 但 可 以 預(yù) 知 所 有 可 能 結(jié) 果 ；3 . 每 次 試 驗(yàn) 前 不 能 預(yù) 知 哪 一 個(gè) 結(jié) 果 出 現(xiàn)樣 本 空 間S隨 機(jī) 變 量X總 體N( 最 基 本 的 概 念 )( 單 值 實(shí) 值 函 數(shù) ) ( 取 自 X 的 全 部 可 能 試 驗(yàn) 觀 察 值 )隨 機(jī) 事 件( 子 集 ， f ， S ， 基 本 事 件 )隨 機(jī) 事 件( 子 集 )部 分 個(gè) 體( 簡(jiǎn) 單 隨 機(jī) 樣 本 )事 件 間 的 關(guān)系 和 運(yùn) 算關(guān) 系 ： 包 含 ， 相 等 ， 和 事 件 ， 積 事 件 ， 差 事 件 ， 互 不 相 容 ， 逆 事 件 ( 對(duì) 立 事 件 )描 述 ： 元 素 考 察 法 ； 韋 恩 圖 法運(yùn) 算 ： 交 換 律 ； 結(jié) 合 律 ； 分 配 律 ； 德 摩 根 律( 映 射 )( 取 值 )概 率 空 間 ( 樣 本 空 間 S , 事 件 域 F , 事 件 的 概 率 P )67/69 本章小結(jié)（二） 概 率 的 公 理 化 定 義頻 率 的 穩(wěn) 定 值 ( 伯 努 利 大 數(shù) 定 律 )概 率 的 計(jì) 算1 176。 非 負(fù) 性 ； 2 176。 規(guī) 范 性 ； 3 176。 可 列 可 加 性1 176。 P ( Φ ) = 0 ； 2 176。 有 限 可 加 性 P ( A1∪ A2∪ … ∪ An) ＝ P ( A1) ＋ P ( A2) ＋ … ＋ P ( An) ；3 176。 包 含 關(guān) 系 P ( B － A ) ＝ P ( B ) － P ( A ) ， P ( B ) ? P ( A ) ；4 176。 P ( A ) ? 1 ； 5 176。 P ( ) = 1 － P ( A ) ；6 176。 加 法 公 式 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A B )1 176。 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布2 176。 古 典 概 型至 少 … 。 放 回 和 不 放 回 抽 樣 。 超 幾 何 分 布 。 抽 簽 問(wèn) 題 。 生 日 問(wèn) 題4 176。 小 概 率 事 件 和 實(shí) 際 推 斷 原 理 參 數(shù) 估 計(jì) 和 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 等 的 原 理?xiàng)l 件 概 率1 176。 定 義P ( B | A ) ＝)()(APAB， P ( A ) 0 ， 相 當(dāng) 于 樣 本 空 間 為 S A2 176。 乘 法 定 理設(shè) P ( A ) 0 ， 則 有 P ( A B ) = P ( A ) P ( B | A )3 176。 全 概 率 公 式( i ) BiBj= Φ ， i ≠ j ， i ， j ＝ 1 ， 2 ， … ， n ；( i i ) B1∪ B2∪ … ∪ Bn= S劃 分P ( A ) ＝ P ( A | B1) P ( B1) + P ( A | B2) P ( B2) + … + P ( A | Bn) P ( Bn)4 176。 貝 葉 斯 公 式 后 驗(yàn) 概 率P ( Bi| A ) = ， i ＝ 1 ， 2 ， … ， n??niiiiiBPBAPBPBAP1)()|()()|(獨(dú) 立 性 ， n 個(gè) 事 件 的 獨(dú) 立 性 和 兩 兩 相 互 獨(dú) 立3 176。 幾 何 概 型68/69 本章作業(yè) ? 第一次： P24 1， 2 ， 3， 4 ? ?第二次： P25 5, 7, 8, 12, 14, 19, 24 ? ? 第三次： P27 27, 29, 30, 31, 35, 37, 40 69/69 謝謝！