【正文】 二、學(xué)時(shí)安排與課程結(jié)構(gòu) ? 整個(gè)課程共分兩個(gè)部分， 48學(xué)時(shí)，共 24次課， 3個(gè)學(xué)分 ? 第一部分： ? 第 1～ 5章，概率論基礎(chǔ)， 32學(xué)時(shí)， 16次課 ? 學(xué)習(xí)如何對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象建模，通過引入數(shù)學(xué)工具來(lái)描述、分析和計(jì)算概率論相關(guān)問題，構(gòu)成整個(gè)概率論的基礎(chǔ)理論。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （一）樣本空間 ? 由隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn) 2可知，每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的。 ? A與 B不同時(shí)發(fā)生 ? 基本事件是兩兩互不相容的 ? （ 6）逆事件 (對(duì)立事件 ) 補(bǔ)集 ? 若 A∪ B=S且 A∩B=Φ則 A與 B互為逆事件， ? 每次試驗(yàn)事件 A和事件 B有且僅有一個(gè)事件發(fā)生。 規(guī)范性：對(duì)于必然事件 S，有 P(S)=1。 ? 這樣的試驗(yàn)大量存在，稱為 等可能概型 ? 由于它是概率論發(fā)展初期的研究對(duì)象，又叫古典概型。 ? 幾何概型的計(jì)算 ? 設(shè)試驗(yàn)的每個(gè)樣本點(diǎn) 是等可能落入?yún)^(qū)域 Ω上的隨機(jī)點(diǎn) M ，且 D ?Ω，則 M點(diǎn)落入子區(qū)域 D(事件 A)上的概率為 : ? P(A)=m(D)/m(Ω). ? 其中 m(?)為自然測(cè)度 ? 測(cè)度可能是長(zhǎng)度、面積、體積，甚至是質(zhì)量，比如均勻分布 47/69 167。 條件概率 ? 全概率公式：設(shè) E的樣本空間為 S， A為 E的事件， B1， B2， … ， Bn為 S的一個(gè)劃分，且 P(Bi)0（ i＝ 1， 2， … ， n），則 ? P(A)＝ P(A|B1)P(B1)+…+ P(A|Bn)P(Bn)= ? 證： P(A)＝ P(AS)= P(A(B1∪ B2∪ … ∪ Bn)) ? 由分配率 ＝ P(AB1∪ AB2∪ … ∪ ABn) ? 而對(duì)任意的 i≠j， i， j＝ 1， 2， … ， n，有 (ABi)(ABj)= ABiBj=Φ ? 由有限可加性 ＝ P(AB1)+P(AB2)+ …+ P(ABn) ? 又 P(Bi)0，由乘法定理上式展開得 ? ＝ P(A|B1) P(B1)+P(A|B2) P(B2)+ …+ P(A|Bn) P(Bn) ? 在全概率公式中要注意一下幾點(diǎn)： ? 1）條件 P(Bi)0，劃分不能是空集 ? 2） B1， B2， … ， Bn正好覆蓋 S中的所有元素 ? 3）在應(yīng)用上，那些不便直接求某一事件的概 率時(shí)，先找到一個(gè)合適的劃分，再用全概率公式計(jì)算 )()|( i1 iBPBAPni??B2 S A B1 Bn 55/69 * 全概率公式可由以下框圖表示： 設(shè) P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,…, n 易知： 11njjp???S P1 P2 Pn . . . B2 B1 Bn . . . q2 q1 qn A ? ? ? ? ? ?1|n jjjP A P B P A B?? ?167。 A與 ， 與 B， 與 ? 證： A=A(B∪ )=AB∪ A ? ∴ P(A)=P(AB∪ A )= P(AB)+P(A ) ? ∴ P(A )= P(A)－ P(AB)＝ P(A)－ P(B)P(A)＝ P(A)(1－ P(B))＝ P(A)P( ) ? ∴ A與 相互獨(dú)立 ? 又 ? ∴ 與 也相互獨(dú)立 BB AAB BB BBB)()()()(1()())|(1()()|()( BPAPBPAPBPBAPBPBAPBAP ??????A BB61/69 167。摩 根 律( 映 射 )( 取 值 )概 率 空 間 ( 樣 本 空 間 S , 事 件 域 F , 事 件 的 概 率 P )67/69 本章小結(jié)（二） 概 率 的 公 理 化 定 義頻 率 的 穩(wěn) 定 值 ( 伯 努 利 大 數(shù) 定 律 )概 率 的 計(jì) 算1 176。 小 概 率 事 件 和 實(shí) 際 推 斷 原 理 參 數(shù) 估 計(jì) 和 假 設(shè) 檢 驗(yàn) 等 的 原 理?xiàng)l 件 概 率1 176。 放 回 和 不 放 回 抽 樣 。 飛機(jī)被二人擊中而擊落的概率 。 獨(dú)立性 ? 獨(dú)立性的相關(guān)性質(zhì)： ? 若 P(A)0， P(B)0，則 A， B相互獨(dú)立與 A， B互不相容不能同時(shí)成立 ? 因?yàn)槿绻ゲ幌嗳輨t 0＝ P(AB)，如果又滿足相互獨(dú)立則 P(AB)＝P(B)P(A)0。 條件概率 CBAAB| BAC|)|()|()()( BACPABPAPCBAP ?))|(1)(|(1)((1( BACPABPAP ????CBABAAD ???)()()()( CBAPBAPAPDP ???53/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 5 抽簽問題 ? 袋中有 a只白球， b只紅球， k個(gè)人依次在袋中取一只球，分別采用放回抽樣和不放回抽樣的方式，求第 i個(gè)人取到白球的概率 (ka+b,i?k),記為 P(B) ? 解： (1)放回抽樣時(shí) ? 第 i個(gè)人取球不受前 i－ 1個(gè)人的影響，因此概率等于白球的個(gè)數(shù)比上球總數(shù) ? 即 P(B)＝ ? (2)不放回抽樣的情況 ? 第 i個(gè)人取到白球的取法總數(shù)比上總?cè)》〝?shù)，其中總?cè)》〝?shù)如下： ? S：總的取法， k個(gè)人各取一只球，每種取法為一個(gè)基本事件 ? 共有 (a+b) (a+b－ 1) … ( a+b－ k+1)= 種取法 ? 事件 B發(fā)生時(shí)，第 i個(gè)人應(yīng)取到白球，可以是 a只中的任意一只，共有 a種情況，對(duì)于每一種情況來(lái)說，其余 k－ 1個(gè)人是從其余 a+b－ 1個(gè)球中任取 k－ 1只，由于是不放回抽樣，共有 種， ? 所以事件 B發(fā)生時(shí)可能的取法總數(shù)為 a ? P(B)＝ ? 可見概率與 i無(wú)關(guān)，即 k個(gè)人每人取到白球的概率與取球的先后次序，取球的方式 (是否放回抽樣 )無(wú)關(guān)，它們機(jī)會(huì)均等 baa?k baA?1 1???k baA1 1???k baAbaaAAak bak ba??? ?? ?? 1 144/69 167。 （ 2） P(B)?P(A) ? 證：構(gòu)造法 ? 由 A?B知， B=A∪ (BA),且顯然有 A(BA)=Φ ? 由有限可加性得 P(B)＝ P(A∪ (BA))＝ P(A)＋ P(B－ A) ? ∴ P(B－ A)＝ P(B)－ P(A) ? 又由概率的性質(zhì)知 P(B－ A)?0，所以 P(B)－ P(A)?0，即P(B)?P(A) 35/69 167。 ? 它說明頻率可在一定程度上反映事件發(fā)生的可能性大小，但無(wú)法準(zhǔn)確表達(dá) ? (3) 試驗(yàn)次數(shù) n較小時(shí)， fn(A)在 0和 1之間隨機(jī)波動(dòng)，波幅較大 ? 因此，此時(shí)的頻率值沒有參考價(jià)值 ? (4) n增大時(shí)， fn(A)逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，對(duì)于每個(gè)事件 A都有這樣一個(gè)穩(wěn)定的常數(shù) ? 這種頻率的穩(wěn)定性，就是一種隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，并被人們長(zhǎng)期的實(shí)踐所證實(shí) 28/69 167。 ? 當(dāng)且僅當(dāng) A和 B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 A∩B才發(fā)生，也可簡(jiǎn)記為 AB ? 多個(gè)事件的積事件： ? 為 n個(gè)事件 A1,A2,…,A n的積事件 ? 當(dāng) n→∞ 時(shí) 稱為 可列個(gè)事件 A1,A2,…… 的積事件 SBA?nk kA1????1kkA20/69 167。 等可能概型（古典概型） ?167。 隨機(jī)試驗(yàn) ?167。 A發(fā)生必然導(dǎo)致 B發(fā)生 ? 例：一枚硬幣拋兩次， A={第一次是正面 }， B={至少有一次正面 } ? 則有 A ? B ? 若有 A ? B且 A?B，則有 A=B，則稱 事件 A與事件 B相等 S A B 事件間關(guān)系的描述方法： 1. 畫韋恩圖 2. 元素考察法 考察每一個(gè)元素的歸屬 18/69 167。 頻率與概率 ? 例：拋硬幣實(shí)驗(yàn)，一枚硬幣拋 5次、 50次、 500次，觀察正面出現(xiàn)的頻率 26/69 實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H) 德 ?摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 K?皮爾遜 12020 6019 K?皮爾遜 24000 12020 表 2 167。 頻率與概率 ? 概率基本性質(zhì) ? 性質(zhì) i：不可能事件 Φ 的概率 ? P(Φ)=0 ? 證明： ? 令 An＝ Φ (n=1,2,…) ? 則 ，并且對(duì)于 i≠j， AiAj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … 兩兩互不相容 ? 由可列可加性得 ? P(Φ)= P( )= = =P(Φ)＋ ? ∴ =0 ? 而由定義， P(Φ)?0 ? ∴ 只有 P(Φ)＝ 0 P(A)=0不能 ?A=Φ P(A)=1不能 ?A=S 詳見第 2章 ?????1n nA???1n nA ???1)(nnAP ????1)(nP ????2)(nP??? ?2 )(n P 作業(yè)中的問題： P(ABC)=0不能推出 P(AB)=0 反之由于有 ABC?AB，根據(jù)包含關(guān)系由 P(AB)=0? P(ABC)=0 33/69 167。又樣本空間中的元素有限，由對(duì)稱性每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同：等可能概型 ? ①計(jì)算 S中元素的個(gè)數(shù)：第一次 6球，第二次 6球，由組合乘法原理， ? 共有 6 6＝ 36種 ? ② A：兩次都有 4只白球可取，共有4 4＝ 16種 ? ③ B：兩次都有 2只紅球可取，共有2 2＝ 4種 ? ∴ 由古典概型公式： ? P(A)＝ 16/36=4/9 ? P(B)＝ 4/36=1/9 ? P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)=4/9+1/9=5/9 ? P(C)＝ P( )=1－ P(B)=1－ 1/9=8/9 ? (b)不放回抽樣的情況 ? S： 6 5＝ 30， A: 4 3＝ 12， B：2 1＝ 2 具體步驟（略） 分?jǐn)?shù)不可隨意化成小數(shù)，除非有保留精度 BB41/69 167。 條件概率 ? 例 3：袋中裝有 r只紅球、 t只白球，每次從袋中任取一只觀察顏色后放回，再放入 a只與所取球同色的球。 獨(dú)立性 ? 在條件概率 P(B|A)中，一般情況下，事件 A的發(fā)生對(duì)事件 B的發(fā)生是有影響的，即在很多情況下 P(B|A)≠P(B)，在有些情況下，這種影響是不存在的 ? 即 P(B|A)＝ P(B) ? 這時(shí) P(AB)= P(B|A)P(A)＝ P(B)P(A) ? 這樣的情況用獨(dú)立性這一概念來(lái)描述 ? 定義 設(shè) A， B是兩事件，如果具有等式 ? P(AB)=P(B)P(A) ? 則稱事件 A， B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱 A， B獨(dú)立 ? 例 1： 設(shè)試驗(yàn) E為“拋甲乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況” ? 設(shè)事件 A：甲幣出現(xiàn)正面； 事件 B：乙?guī)懦霈F(xiàn)正面。 獨(dú)立性 ? 例：甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 p，p?1/2，對(duì)甲而言，采用三局兩勝制有利，還是采用五局三勝制有利？設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立。 加 法 公 式 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A B )1 176。 全 概 率 公 式( i ) BiBj= Φ ， i ≠ j ， i ， j ＝ 1 ， 2 ， … ， n ；( i i ) B1∪ B2∪ … ∪ Bn= S劃 分P ( A ) ＝ P ( A | B1) P ( B1) + P ( A | B2) P ( B2) + …