【正文】 ? S5={t|t≥0} （取值是連續(xù)的） ? E6：記錄某地一晝夜地最高溫度和最低溫度 ? S6={(x, y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示該地區(qū)最低溫， T1表示最高溫 } （取值連續(xù)，樣本點是二維的） 確定樣本空間時，一定要弄清試驗的目的 注意不要遺漏 14/69 167。 樣本空間、隨機事件 ? （ 3）積事件 ? 事件 A∩B={x|x?A且 x?B},稱為 A與 B的積事件。 頻率與概率 ? 在實際應用中我們常希望用一個準確的數(shù)值來度量在一次試驗中某個事件發(fā)生的可能性的大小。 頻率與概率 ? 大量的實驗表明，頻率具有如下特點： ? (1) 頻率有隨機波動性 ? (2) 事件 A發(fā)生的頻繁程度越大，頻率也越大，事件 A在一次試驗中出現(xiàn)的可能性也越大。 頻率與概率 ? 事件域： ? 樣本空間 S是一次實驗中所有可能結果的集合 ? 事件是樣本空間 S的一個子集 ? 但一般不把 S的一切子集都作為事件 ? 例如在幾何概率中就不能把不可度量的子集作為事件 ? 只要把具有某些限制而又相當廣泛的一類 S的子集作為事件就夠了，這就引出了事件域的概念： 31/69 167。 頻率與概率 ? 性質 iii：滿足包含關系兩事件的概率關系 ? 設 A, B是兩個事件，且 A?B，則有 ? （ 1） P(B－ A)＝ P(B)－ P(A)。 等可能概型（古典概型） ? 例 1．古典概型的一般問題 ? 一枚硬幣拋三次 ? (i) 設事件 A1：恰有一次出現(xiàn)正面，求 P(A1) ? (ii)設事件 A2：至少有一次出現(xiàn)正面，求 P(A2) ? 解：首先正確給出樣本空間 ? S={HHH， HHT， HTH， HTT， THH， THT， TTH， TTT} ? (i) 事件 A1={HTT， THT， TTH } ? 分析： S中只有有限個元素，由對稱性可知 ? 每個基本事件發(fā)生的可能性相同 ―― 等可能概型 ? ∴ P(A1)＝ 3/8 ? (ii)先看 A2的逆事件 ={TTT} ? P(A2)＝ 1－ P( )＝ 1－ 1/8＝ 7/8 2A2A型的判斷可根據(jù)對稱性來考慮一般的排列組合問題都是古典概型 “至少 …” 通常先考察其逆事件 40/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 4 超幾何分布的概率公式 ? 設有 N件產品，其中 D件次品，今從中任取 n件 ? 問其中恰有 k(k?D)件次品的概率是多少？ ? 解： S： N件中任取 n件（不放回抽樣，也不計次序） ? 共有 種取法，每一取法為一基本事件 ? 注意：符號 為組合數(shù)， N， n均為整數(shù)， ? 當 N為實數(shù)時記做 ? A：恰有 k件次品：相當于在 D件次品中任選 k件，并在 N－ D件正品中任選 n－ k件 ? 共有 件 ? ? P(A)= ????????nNnNCnNCkn DND CC ???knkNknDNDCCC ???43/69 167。 條件概率 ? 在 P(B|A)＝ 中， ? 令分子分母同時除以樣本空間中的基本事件數(shù) n，則有一般的 ? P(B|A)＝ = P(BA)/P(A) ? 其中 P(A)0，顯然對于古典概型上式都成立 ? 于是有如下定義： ? 定義：設 A， B是兩事件， 且 P(A)0，則稱 P(B|A)＝ 為在事件 A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的條件概率。 ? 則所求的概率為 P( ) ? 題設條件為 P(A)＝ 1/2， P( )＝ 7/10， P( )＝ 9/10 ? 用乘法定理 ? ? =3/200 ? 也可以先求 由于這三次打破是兩兩互不相容的事件，因此根據(jù)有限可加性 進而由乘法定理展開可得結果 167。解決此類問題可采用貝葉斯 (Bayes)公式 ? 貝葉斯 (Bayes)公式 ? 設 E的樣本空間為 S， A為 E的事件， B1， B2， … ， Bn為 S的一個劃分，且P(A)0， P(Bi)0（ i＝ 1， 2， … ， n），則 ? P(Bi|A)= ， i＝ 1， 2， … ， n ? 證：由條件概率公式 P(Bi|A)＝ P(BiA)P(A)，再用乘法定理和全概率公式對分子分母展開即得所求。 ? 分析： ? S={HH， HT， TH， TT}； A={HH， HT } B={ HH， TH } ? ∴ P(A)＝ 1/2 P(B)=1/2 P(AB)=1/4 P(B|A)=1/2 ? ∴ P(B)=P(B|A) P(AB)=P(B)P(A) 事實上，由對稱性知，兩次拋幣是互不干涉的，因此甲是否正面和乙是否正面互不影響 60/69 167。 ? 包含的等式的個數(shù)： ???????????),()()()(),()()(),()()(),()()(CPBPAPA B CPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBACBACBA ,。 獨立性 ? 例：甲乙丙三人同時對飛機射擊，且相互獨立 ? 甲的擊中概率為 ；乙的擊中概率為 ；丙的擊中概率為 ； ? 飛機被一人擊中而擊落的概率 。 可 列 可 加 性1 176。 古 典 概 型至 少 … 。 全 概 率 公 式( i ) BiBj= Φ ， i ≠ j ， i ， j ＝ 1 ， 2 ， … ， n ；( i i ) B1∪ B2∪ … ∪ Bn= S劃 分P ( A ) ＝ P ( A | B1) P ( B1) + P ( A | B2) P ( B2) + … + P ( A | Bn) P ( Bn)4 176。 定 義P ( B | A ) ＝)()(APAB， P ( A ) 0 ， 相 當 于 樣 本 空 間 為 S A2 176。 加 法 公 式 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A B )1 176。 非 負 性 ； 2 176。 獨立性 ? 例：甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 p，p?1/2，對甲而言，采用三局兩勝制有利，還是采用五局三勝制有利？設各局勝負相互獨立。 獨立性 ? 推廣：三個事件的情況 ? 定義：設 A， B， C是三個事件，如果滿足等式 ? 則稱事件 A， B， C相互獨立。 獨立性 ? 在條件概率 P(B|A)中，一般情況下，事件 A的發(fā)生對事件 B的發(fā)生是有影響的，即在很多情況下 P(B|A)≠P(B)，在有些情況下，這種影響是不存在的 ? 即 P(B|A)＝ P(B) ? 這時 P(AB)= P(B|A)P(A)＝ P(B)P(A) ? 這樣的情況用獨立性這一概念來描述 ? 定義 設 A， B是兩事件，如果具有等式 ? P(AB)=P(B)P(A) ? 則稱事件 A， B相互獨立，簡稱 A， B獨立 ? 例 1： 設試驗 E為“拋甲乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況” ? 設事件 A：甲幣出現(xiàn)正面； 事件 B：乙?guī)懦霈F(xiàn)正面。 條件概率 56/69 167。 條件概率 ? 例 3：袋中裝有 r只紅球、 t只白球，每次從袋中任取一只觀察顏色后放回，再放入 a只與所取球同色的球。 條件概率 ? 條件概率問題是概率論中，內容最為豐富的一個問題，主要考慮： ? 在事件 A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的概率。又樣本空間中的元素有限，由對稱性每個基本事件發(fā)生的可能性相同：等可能概型 ? ①計算 S中元素的個數(shù)：第一次 6球，第二次 6球，由組合乘法原理， ? 共有 6 6＝ 36種 ? ② A：兩次都有 4只白球可取，共有4 4＝ 16種 ? ③ B：兩次都有 2只紅球可取，共有2 2＝ 4種 ? ∴ 由古典概型公式： ? P(A)＝ 16/36=4/9 ? P(B)＝ 4/36=1/9 ? P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)=4/9+1/9=5/9 ? P(C)＝ P( )=1－ P(B)=1－ 1/9=8/9 ? (b)不放回抽樣的情況 ? S： 6 5＝ 30， A: 4 3＝ 12， B：2 1＝ 2 具體步驟（略） 分數(shù)不可隨意化成小數(shù)，除非有保留精度 BB41/69 167。 38/69 167。 頻率與概率 ? 概率基本性質 ? 性質 i：不可能事件 Φ 的概率 ? P(Φ)=0 ? 證明： ? 令 An＝ Φ (n=1,2,…) ? 則 ，并且對于 i≠j， AiAj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … 兩兩互不相容 ? 由可列可加性得 ? P(Φ)= P( )= = =P(Φ)＋ ? ∴ =0 ? 而由定義， P(Φ)?0 ? ∴ 只有 P(Φ)＝ 0 P(A)=0不能 ?A=Φ P(A)=1不能 ?A=S 詳見第 2章 ?????1n nA???1n nA ???1)(nnAP ????1)(nP ????2)(nP??? ?2 )(n P 作業(yè)中的問題： P(ABC)=0不能推出 P(AB)=0 反之由于有 ABC?AB，根據(jù)包含關系由 P(AB)=0? P(ABC)=0 33/69 167。 ? 3 176。 頻率與概率 ? 例：拋硬幣實驗，一枚硬幣拋 5次、 50次、 500次，觀察正面出現(xiàn)的頻率 26/69 實驗者 n nH fn(H) 德 ?摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 K?皮爾遜 12020 6019 K?皮爾遜 24000 12020 表 2 167。 ? A的逆事件常記為 ( =S－ A) SBASBAA22/69 167。 A發(fā)生必然導致 B發(fā)生 ? 例：一枚硬幣拋兩次， A={第一次是正面 }， B={至少有一次正面 } ? 則有 A ? B ? 若有 A ? B且 A?B，則有 A=B，則稱 事件 A與事件 B相等 S A B 事件間關系的描述方法： 1. 畫韋恩圖 2. 元素考察法 考察每一個元素的歸屬 18/69 167。 ? 樣本空間： ? 將隨機試驗 E的所有可能結果組成一個集合，稱為 E的樣本空間，記為 S (Sample space) ? 樣本點： ? 樣本空間中的元素，即 E的每個結果稱為樣本點。 隨機試驗 ?167。 ? “ 隨機 ” 與 “ 模糊 ” 兩個概念的區(qū)別： ? 隨機是一種客觀概念的表述，是客觀存在的，不受主觀影響的 ? 模糊是也是一種不確定性，它是指概念的外延的不確定性，不清晰性，這種不確定性對于個體認知及個體之間主觀感受是有差別的，人在認識模糊的時候是有一定的主觀性的。