【正文】 應(yīng)排列組合中的加法，完成一項(xiàng)任務(wù)有多種可能的并行情況，這些情況的數(shù)目的和就是完成該任務(wù)的所有可能情況 ? 對樣本空間適當(dāng)分解的思想，有利于解決稍微復(fù)雜一點(diǎn)的概率問題 ? 首先看一下關(guān)于劃分的概念 ? 定義：設(shè) S為試驗(yàn) E的樣本空間， B1， B2， … ， Bn為 E的一組事件。 條件概率 56/69 167。 條件概率 ? 例 6：對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明： ? 當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí)， 產(chǎn)品合格率為 98％ ? 當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，產(chǎn)品合格率為 55％ ? 每天早上機(jī)器開動時(shí)，調(diào)整良好的概率為 95％ ? 試求：已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格產(chǎn)品時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率？ ? 解：設(shè)事件 A：產(chǎn)品合格 ? 事件 B：機(jī)器調(diào)整良好； ：機(jī)器出現(xiàn)故障 ? 由題意： P(B)＝ 95％， P( )＝ 5％ ? P(A|B)=98％， P(A| )=55％ ? P(B|A)= = ? 注意： P(B)＝ 95％是以往的數(shù)據(jù)分析得到的，稱為先驗(yàn)概率 ? P(B|A)=（第一件產(chǎn)品是合格品）之后再重新加以修正的概率，叫做后驗(yàn)概率。 獨(dú)立性 ? 在條件概率 P(B|A)中，一般情況下，事件 A的發(fā)生對事件 B的發(fā)生是有影響的，即在很多情況下 P(B|A)≠P(B)，在有些情況下，這種影響是不存在的 ? 即 P(B|A)＝ P(B) ? 這時(shí) P(AB)= P(B|A)P(A)＝ P(B)P(A) ? 這樣的情況用獨(dú)立性這一概念來描述 ? 定義 設(shè) A， B是兩事件，如果具有等式 ? P(AB)=P(B)P(A) ? 則稱事件 A， B相互獨(dú)立，簡稱 A， B獨(dú)立 ? 例 1： 設(shè)試驗(yàn) E為“拋甲乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況” ? 設(shè)事件 A：甲幣出現(xiàn)正面； 事件 B：乙?guī)懦霈F(xiàn)正面。矛盾。 獨(dú)立性 ? 推廣：三個(gè)事件的情況 ? 定義：設(shè) A， B， C是三個(gè)事件，如果滿足等式 ? 則稱事件 A， B， C相互獨(dú)立。,。 獨(dú)立性 ? 例：甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 p，p?1/2，對甲而言，采用三局兩勝制有利，還是采用五局三勝制有利？設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立。 飛機(jī)被三人擊中而擊落的概率 1。 非 負(fù) 性 ； 2 176。 有 限 可 加 性 P ( A1∪ A2∪ … ∪ An) ＝ P ( A1) ＋ P ( A2) ＋ … ＋ P ( An) ；3 176。 加 法 公 式 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A B )1 176。 超 幾 何 分 布 。 定 義P ( B | A ) ＝)()(APAB， P ( A ) 0 ， 相 當(dāng) 于 樣 本 空 間 為 S A2 176。 幾 何 概 型68/69 本章作業(yè) ? 第一次： P24 1， 2 ， 3， 4 ? ?第二次： P25 5, 7, 8, 12, 14, 19, 24 ? ? 第三次： P27 27, 29, 30, 31, 35, 37, 40 69/69 謝謝！ 。 全 概 率 公 式( i ) BiBj= Φ ， i ≠ j ， i ， j ＝ 1 ， 2 ， … ， n ；( i i ) B1∪ B2∪ … ∪ Bn= S劃 分P ( A ) ＝ P ( A | B1) P ( B1) + P ( A | B2) P ( B2) + … + P ( A | Bn) P ( Bn)4 176。 生 日 問 題4 176。 古 典 概 型至 少 … 。 P ( A ) ? 1 ； 5 176。 可 列 可 加 性1 176。 ? 這樣相當(dāng)于在 N－ 1個(gè)球＋ n個(gè)標(biāo)記的 N－ 1＋ n個(gè)位臵上任意選 n個(gè)位臵作為標(biāo)記，其余球按升序恰好填滿其它位臵， 1號球總是在第一個(gè)位臵上 nNCn nNC ??166/69 本章小結(jié)（一） 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 性隨 機(jī) 試 驗(yàn)1 . 相 同 條 件 下 可 重 復(fù) 進(jìn) 行 ；2 . 每 次 試 驗(yàn) 可 能 結(jié) 果 不 止 一 個(gè) ， 但 可 以 預(yù) 知 所 有 可 能 結(jié) 果 ；3 . 每 次 試 驗(yàn) 前 不 能 預(yù) 知 哪 一 個(gè) 結(jié) 果 出 現(xiàn)樣 本 空 間S隨 機(jī) 變 量X總 體N( 最 基 本 的 概 念 )( 單 值 實(shí) 值 函 數(shù) ) ( 取 自 X 的 全 部 可 能 試 驗(yàn) 觀 察 值 )隨 機(jī) 事 件( 子 集 ， f ， S ， 基 本 事 件 )隨 機(jī) 事 件( 子 集 )部 分 個(gè) 體( 簡 單 隨 機(jī) 樣 本 )事 件 間 的 關(guān)系 和 運(yùn) 算關(guān) 系 ： 包 含 ， 相 等 ， 和 事 件 ， 積 事 件 ， 差 事 件 ， 互 不 相 容 ， 逆 事 件 ( 對 立 事 件 )描 述 ： 元 素 考 察 法 ； 韋 恩 圖 法運(yùn) 算 ： 交 換 律 ； 結(jié) 合 律 ； 分 配 律 ； 德 獨(dú)立性 ? 例：甲乙丙三人同時(shí)對飛機(jī)射擊，且相互獨(dú)立 ? 甲的擊中概率為 ；乙的擊中概率為 ；丙的擊中概率為 ； ? 飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率 。 n個(gè)事件 A1, A2, … , An(n?2)相互獨(dú)立，則將 A1, A2, … , An中任意多個(gè)事件換成他們的對立事件，所得的 n個(gè)事件仍相互獨(dú)立 在實(shí)際應(yīng)用中，對于事件的獨(dú)立性常常根據(jù)事件的實(shí)際意義來判斷，如果兩個(gè)事件關(guān)聯(lián)很弱也可以看作是獨(dú)立的。 ? 包含的等式的個(gè)數(shù)： ???????????),()()()(),()()(),()()(),()()(CPBPAPA B CPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBACBACBA ,。（由定義可直接證得） ? 定理二 若事件 A， B相互獨(dú)立，則下列各對事件也相互獨(dú)立。 ? 分析： ? S={HH， HT， TH， TT}； A={HH， HT } B={ HH， TH } ? ∴ P(A)＝ 1/2 P(B)=1/2 P(AB)=1/4 P(B|A)=1/2 ? ∴ P(B)=P(B|A) P(AB)=P(B)P(A) 事實(shí)上，由對稱性知，兩次拋幣是互不干涉的，因此甲是否正面和乙是否正面互不影響 60/69 167。 條件概率 ? 例：習(xí)題 38 ? 袋中裝有 m只正品硬幣， n只次品硬幣，次品硬幣系指兩面均印有國徽。解決此類問題可采用貝葉斯 (Bayes)公式 ? 貝葉斯 (Bayes)公式 ? 設(shè) E的樣本空間為 S， A為 E的事件， B1， B2， … ， Bn為 S的一個(gè)劃分，且P(A)0， P(Bi)0（ i＝ 1， 2， … ， n），則 ? P(Bi|A)= ， i＝ 1， 2， … ， n ? 證：由條件概率公式 P(Bi|A)＝ P(BiA)P(A)，再用乘法定理和全概率公式對分子分母展開即得所求。 ? ※ 每次試驗(yàn)，事件 B1， B2， … ， Bn中有且僅有一個(gè)發(fā)生 ? 例： S={1， 2， 3， 4， 5， 6}則劃分正確的是 ? B1＝ {1， 2， 3} B2＝ {4， 5} B3＝ {6} √ ? B1＝ {1， 2， 3} B2＝ {3， 4} B3＝ {5， 6} B1 B2 Bn S … 54/69 167。 ? 則所求的概率為 P( ) ? 題設(shè)條件為 P(A)＝ 1/2， P( )＝ 7/10， P( )＝ 9/10 ? 用乘法定理 ? ? =3/200 ? 也可以先求 由于這三次打破是兩兩互不相容的事件，因此根據(jù)有限可加性 進(jìn)而由乘法定理展開可得結(jié)果 167。 求解 P(B|A) ? 解 : S:36 A： 6 B： 11 AB： 2 ? 所以所求的條件概率 P(B|A)＝ ＝ ＝ 1/3 ? 或由條件概率的含義直接有 2/6=1/3 第 2 顆第 1 顆1 2 3 4 5 6123456( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 ))()(APABP)()(APABP 36/6 36/250/69 167。 條件概率 ? 在 P(B|A)＝ 中， ? 令分子分母同時(shí)除以樣本空間中的基本事件數(shù) n，則有一般的 ? P(B|A)＝ = P(BA)/P(A) ? 其中 P(A)0，顯然對于古典概型上式都成立 ? 于是有如下定義： ? 定義：設(shè) A， B是兩事件， 且 P(A)0，則稱 P(B|A)＝ 為在事件 A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的條件概率。 等可能概型（古典概型） ? 幾何概型（概率的幾何定義） ? 定義： 若試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特征： ? (1) 樣本空間的元素有無限個(gè)； ? (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生具有某種等可能性 . ? 則稱此試驗(yàn)為 幾何概型試驗(yàn) 。 等可能概型（古典概型） ? 例 4 超幾何分布的概率公式 ? 設(shè)有 N件產(chǎn)品，其中 D件次品，今從中任取 n件 ? 問其中恰有 k(k?D)件次品的概率是多少？ ? 解： S： N件中任取 n件（不放回抽樣，也不計(jì)次序） ? 共有 種取法，每一取法為一基本事件 ? 注意：符號 為組合數(shù)， N， n均為整數(shù)， ? 當(dāng) N為實(shí)數(shù)時(shí)記做 ? A：恰有 k件次品：相當(dāng)于在 D件次品中任選 k件，并在 N－ D件正品中任選 n－ k件 ? 共有 件 ? ? P(A)= ????????nNnNCnNCkn DND CC ???knkNknDNDCCC ???43/69 167。 事件 B：取到的兩只都是紅球 。 等可能概型（古典概型） ? 例 1．古典概型的一般問題 ? 一枚硬幣拋三次 ? (i) 設(shè)事件 A1：恰有一次出現(xiàn)正面，求 P(A1)