【正文】 1 ∩ A2={HHH } ? A2－ A1={TTT } ? ={THH， THT， TTH } 21 AA ?nnnnnnnn AAAABABABABA????????????,23/69 167。 頻率與概率 ? 在實際應(yīng)用中我們常希望用一個準(zhǔn)確的數(shù)值來度量在一次試驗中某個事件發(fā)生的可能性的大小。 ? 這種表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)，就稱為概率 ? 為了得到概率，我們先來看一下與其密切相關(guān)的一個概念，頻率 ? （一）頻率 ? 頻數(shù)：設(shè)在相同條件下進(jìn)行了 n次試驗，其中事件 A發(fā)生的次數(shù)(記為 nA)稱為 A發(fā)生的頻數(shù) ? 頻率：比值 nA/n稱為事件 A發(fā)生的頻率，記做 fn(A)，它是一個集合函數(shù)，自變量是集合 ? 反映了事件 A發(fā)生的頻繁程度 24/69 167。 頻率與概率 ? 頻率 fn(A)顯然有以下幾個性質(zhì)： ? 1176。 值域： 0?fn(A)?1 ? 2176。 歸一性： fn(S)＝ 1 ? 3176。 若 A1, A2, … , Ak是兩兩互不相容的事件， AiAj＝ Φ，其中 i≠j，則有 ? fn(A1∪ A2∪ … ∪ Ak)＝ fn(A1)＋ fn(A2)＋ … ＋ fn(Ak) ? 證明：右邊＝ ＝ ＝左邊 頻率是在有限次試驗內(nèi)的統(tǒng)計量 nnnnnn kAAA ??? ...21nnnn kAAA ??? ...2125/69 試驗 序號 n =5 n =50 n =500 nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 表 1 167。 頻率與概率 ? 例：拋硬幣實驗，一枚硬幣拋 5次、 50次、 500次，觀察正面出現(xiàn)的頻率 26/69 實驗者 n nH fn(H) 德 ?摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 K?皮爾遜 12020 6019 K?皮爾遜 24000 12020 表 2 167。 頻率與概率 ? 歷史上的一些有名的實驗 ? 實驗中對于頻率 fn(H)有明顯規(guī)律： ? 頻率有隨機波動性，同樣的 n次試驗，頻率 fn(H)并不同 ? n較小時波動很大， n增大時趨于穩(wěn)定 ? fn(H)在 27/69 167。 頻率與概率 ? 大量的實驗表明，頻率具有如下特點： ? (1) 頻率有隨機波動性 ? (2) 事件 A發(fā)生的頻繁程度越大，頻率也越大，事件 A在一次試驗中出現(xiàn)的可能性也越大。 ? 它說明頻率可在一定程度上反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法準(zhǔn)確表達(dá) ? (3) 試驗次數(shù) n較小時， fn(A)在 0和 1之間隨機波動，波幅較大 ? 因此，此時的頻率值沒有參考價值 ? (4) n增大時， fn(A)逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)，對于每個事件 A都有這樣一個穩(wěn)定的常數(shù) ? 這種頻率的穩(wěn)定性，就是一種隱藏在隨機現(xiàn)象中的統(tǒng)計規(guī)律性，并被人們長期的實踐所證實 28/69 167。 頻率與概率 ? 思考：用頻率的穩(wěn)定值來表示事件發(fā)生的可能性大小是合適的嗎？ ? 第五章將證明，大量試驗所得頻率的穩(wěn)定值用來描述概率是合理的 ? fn(A)|n→∞ =P(A) ? 頻率的穩(wěn)定值如何得到？ ? 大量重復(fù)試驗 ? 精確的結(jié)果 拋硬幣試驗 ? 理論計算 ? 準(zhǔn)確的結(jié)果 對試驗環(huán)境準(zhǔn)確掌握的情況下，古典概型，幾何概型 ? 間接推測或估計 ? 準(zhǔn)確性相對差一些，用于不能理論計算也不能大量試驗時 ? 數(shù)理統(tǒng)計部分解決的問題與此有關(guān) ? 測試生產(chǎn)的燈泡的平均壽命，炮彈的可靠性 ? 總之 頻率穩(wěn)定性常數(shù)和其性質(zhì) 啟發(fā)我們定義度量事件發(fā)生可能性大小的概率 29/69 167。 頻率與概率 ? （二）概率 ? 公理化定義：設(shè) E是隨機試驗， S是 E的樣本空間，對于 E的每一事件 A賦予一個實數(shù)，記為 P(A)，稱為事件 A的概率，如果集合函數(shù) P(?)滿足以下條件： ? 1176。 非負(fù)性：事件 A，有 P(A)?0 ? 2 176。 規(guī)范性：對于必然事件 S，有 P(S)=1。 ? 3 176。 可列可加性：設(shè) A1, A2, … , Ak , … ，是 兩兩互不相容的事件，即對于 i≠j， AiAj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … ，則有P(A1∪ A2∪ …) ＝ P(A1)＋ P(A2)＋ … 30/69 167。 頻率與概率 ? 事件域： ? 樣本空間 S是一次實驗中所有可能結(jié)果的集合 ? 事件是樣本空間 S的一個子集 ? 但一般不把 S的一切子集都作為事件 ? 例如在幾何概率中就不能把不可度量的子集作為事件 ? 只要把具有某些限制而又相當(dāng)廣泛的一類 S的子集作為事件就夠了，這就引出了事件域的概念： 31/69 167。 頻率與概率 ? 定義：設(shè) S是樣本空間， F是由 S的一些子集構(gòu)成的集合，稱 F為事件域，如果它滿足以下條件： ? 1. S?F。 ? 2. 若 A?F，則 A的補集 ?F ? 3. 若對 ? n=1, 2, … , An?F，則 ?F ? 對于事件域 F，有： ? 1）包含空集； ? 2） F中任意個事件的積事件還在 F中； ? 3） F中任意兩事件的差事件還在 F中。 ? F中任意事件 A的概率記作 P(A)。 ? 概率空間：則三元有序總體 {S,F,P}就稱為概率空間。 ???1nnAA32/69 167。 頻率與概率 ? 概率基本性質(zhì) ? 性質(zhì) i：不可能事件 Φ 的概率 ? P(Φ)=0 ? 證明： ? 令 An＝ Φ (n=1,2,…) ? 則 ，并且對于 i≠j， AiAj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … 兩兩互不相容 ? 由可列可加性得 ? P(Φ)= P( )= = =P(Φ)＋ ? ∴ =0 ? 而由定義， P(Φ)?0 ? ∴ 只有 P(Φ)＝ 0 P(A)=0不能 ?A=Φ P(A)=1不能 ?A=S 詳見第 2章 ?????1n nA???1n nA ???1)(nnAP ????1)(nP ????2)(nP??? ?2 )(n P 作業(yè)中的問題： P(ABC)=0不能推出 P(AB)=0 反之由于有 ABC?AB，根據(jù)包含關(guān)系由 P(AB)=0? P(ABC)=0 33/69 167。 頻率與概率 ? 性質(zhì) ii：有限可加性 ? 若 A1, A2, … , An兩兩互不相容，則有 ? P(A1∪ A2∪ … ∪ An)＝ P(A1)＋ P(A2)＋ … ＋ P(An) ? 證：令 An＋ 1＝ An＋ 2＝ … ＝ Φ, ? 則有對于 i≠j， AiAj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … ，及 ，由可列可加性 ? P(A1∪ A2∪ … ∪ An)＝ P(( )∪ ( )) ? ＝ P( )＝ ? ＝ ＋ 0＝ P(A1)＋ P(A2)＋ … ＋ P(An) ??????1nkkA?nkkA1????? 1nkkA???1kkA ???1)(kkAP??nkkAP1)(34/69 167。 頻率與概率 ? 性質(zhì) iii：滿足包含關(guān)系兩事件的概率關(guān)系 ? 設(shè) A, B是兩個事件，且 A?B，則有 ? （ 1） P(B－ A)＝ P(B)－ P(A)。 （ 2） P(B)?P(A) ? 證：構(gòu)造法 ? 由 A?B知， B=A∪ (BA),且顯然有 A(BA)=Φ ? 由有限可加性得 P(B)＝ P(A∪ (BA))＝ P(A)＋ P(B－ A) ? ∴ P(B－ A)＝ P(B)－ P(A) ? 又由概率的性質(zhì)知 P(B－ A)?0，所以 P(B)－ P(A)?0，即P(B)?P(A) 35/69 167。 頻率與概率 ? 性質(zhì) iv：事件概率的上界 ? 對于任意事件 A, P(A)?1 ? 證： ? 由性質(zhì) iii，及 A?S，得 P(A)?P(S)=1 ? 性質(zhì) v：逆事件的概率 ? 對于任意事件 A， P( )=1－ P(A) ? 證： ? ＝ S－ A ? 而 A?S ? 所以有 P( )=P(S－ A)= P(S)－ P(A)＝ 1－ P(A) ? 或 S=A∪ ， A ＝ Φ， P(S)＝ P(A∪ )＝ P(A)＋ P( )＝ 1 AAAAAAA36/69 167。 頻率與概率 ? 性質(zhì) vi：加法公式 ? 對于任意的兩事件 A, B，有 P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB) ? 證：由圖知 A∪ B＝ A∪ (B－ AB)，而 A(B－ AB)＝ Φ ? 由有限可加性的 P(A∪ B)＝ P(A∪ (B－ AB))＝ P(A)＋ P(B－ AB) ? 又顯然有 AB?B，由性質(zhì) iii 右邊＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB) ? 性質(zhì) vi的推廣 ? 若 A1, A2, A3為任意三個事件，則有 ? P(A1∪ A2∪ A3)＝ P(A1)＋ P(A2)＋ P(A3)－ P(A1A2)－ P(A2A3)－ P(A1A3) ＋ P(A1A2A3) ? 一般的對于 n個事件， A1, A2, … , An可用歸納法證得 ? P(A1∪ A2∪ … ∪ An)= － ＋ ＋ … ＋ (－ 1)n－ 1P(A1A2… An) SBA??niiAP1)( ???? nji jiAAP1)( ? ???? nkji kji AAAP1 )(37/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 從本節(jié)開始，學(xué)習(xí)古典概率計算，定理和公式，本節(jié)探討最普通的一種情況 ? 先看兩個試驗： ? 拋一枚硬幣，觀察其 H， T出現(xiàn)的情況； S={H， T} ? 拋一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)； S＝ {1， 2， 3， 4， 5， 6} ? 這些試驗有兩個明顯特點： ? （ 1） S中的元素只有有限個； ? （ 2）試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。 ? 這樣的試驗大量存在，稱為 等可能概型 ? 由于它是概率論發(fā)展初期的研究對象，又叫古典概型。 38/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 古典概型試驗中事件發(fā)生的概率計算公式： ? 設(shè)試驗 E的樣本空間為 S＝ {e1,e2,…, en}，由于每個基本事件發(fā)生的可能性相同，即有 ? P({e1})＝ P({e2})＝ … ＝ P({en})