【正文】 本科生必修課：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第一章 概率論的基本概念 主講教師 ：董慶寬 副教授 研究方向 ：密碼學(xué)與信息安全 電子郵件： 個人主頁： 2/69 課程介紹 一、課程解決的問題 二、學(xué)時(shí)安排與課程結(jié)構(gòu) 三、考核方式 四、教材和習(xí)題集 五、學(xué)習(xí)方法 3/69 一、課程解決的問題 ? 自然界與社會生活中存在兩類現(xiàn)象： ? 確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象 ? 確定性現(xiàn)象： ? 在一定條件下必然發(fā)生的一類現(xiàn)象，其結(jié)果是確定的 ? 向上拋的物體會落到地上 ? 蘋果落地；同種電荷相斥，異種電荷相吸 ? 隨機(jī)現(xiàn)象： ? 結(jié)果呈現(xiàn)不確定性：如氣象變化、購買彩票、成績分布等 ? 但其中隱藏著一些確定的規(guī)律 4/69 一、課程解決的問題 ? 在相同條件下，用同一門炮射擊同一目標(biāo)，觀察彈著點(diǎn)的情況 ? 炮彈的彈著點(diǎn)也按一定規(guī)律分布，比如在 100次之后 ? 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性： ? 在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出來的固有規(guī)律性 存 在 固 有 偏 差 ，風(fēng) ， 瞄 準(zhǔn) 精 度 ， 操作 熟 練 度 等精 度 較 好 精 度 較 差5/69 一、課程解決的問題 ? 隨機(jī)現(xiàn)象定義：在個別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象 ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。 ? “ 隨機(jī) ” 與 “ 模糊 ” 兩個概念的區(qū)別： ? 隨機(jī)是一種客觀概念的表述，是客觀存在的，不受主觀影響的 ? 模糊是也是一種不確定性，它是指概念的外延的不確定性，不清晰性，這種不確定性對于個體認(rèn)知及個體之間主觀感受是有差別的，人在認(rèn)識模糊的時(shí)候是有一定的主觀性的。 ? 如對青年人屬于哪個年齡段的判斷，不同人給出的答案是不確定的 ? 隨機(jī)現(xiàn)象是宇宙空間內(nèi)最為廣泛的現(xiàn)象，體現(xiàn)在人們生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域，因而概率論具有廣泛的應(yīng)用 6/69 二、學(xué)時(shí)安排與課程結(jié)構(gòu) ? 整個課程共分兩個部分， 48學(xué)時(shí)，共 24次課， 3個學(xué)分 ? 第一部分： ? 第 1～ 5章，概率論基礎(chǔ)， 32學(xué)時(shí)， 16次課 ? 學(xué)習(xí)如何對隨機(jī)現(xiàn)象建模，通過引入數(shù)學(xué)工具來描述、分析和計(jì)算概率論相關(guān)問題，構(gòu)成整個概率論的基礎(chǔ)理論。 ? 第二部分： ? 第 6， 7， 8（第 5節(jié)）章，數(shù)理統(tǒng)計(jì)， 16學(xué)時(shí)， 8次課 ? 以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)，研究隨機(jī)現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種的估計(jì)和判斷。屬于概率論的應(yīng)用基礎(chǔ)理論知識。 7/69 三、考核方式 ? 筆試成績占 90% ? 平時(shí)成績占 10% ? 作業(yè)：每周交一次，每次交一半 ? 盡量交單頁便于攜帶 ? 整個學(xué)期至少交 80%的作業(yè) ? 數(shù)值實(shí)驗(yàn) (matlab)： ? 上課講解實(shí)驗(yàn)相關(guān)知識，布臵實(shí)驗(yàn)習(xí)題 ? 課后 matlab實(shí)驗(yàn)編程，上交程序和結(jié)果 ? 擬定三次：第 1章一次，第 25章一次， 68章一次 8/69 四、教材和習(xí)題集 ? 教 材： ? 盛驟，謝式千，潘承毅 編 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 》 浙江大學(xué)第四版，高等教育出版社， 2020 ? 習(xí)題集： ? 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題全解指南 》 配浙大四版，高教出版社 ? 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同步輔導(dǎo) 》 配浙大三版，李彩榮、王志平編著，大連理工大學(xué)出版社 ? 后續(xù)課程： ? 本課程是 《 隨機(jī)信號分析 》 及通信等各專業(yè)的必備基礎(chǔ) 9/69 五、學(xué)習(xí)方法 ? 1) 充分理解基本概念，掌握知識點(diǎn)及其物理意義，掌握知識體系框架 ? 2) 背景知識：微積分，排列組合，集合 ? 3) 重點(diǎn)掌握各種概率分布及數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用 ? 4) 結(jié)合作業(yè)和其它習(xí)題加強(qiáng)理解，提高知識運(yùn)用能力 10/69 第一章 概率論的基本概念 ? 167。 隨機(jī)試驗(yàn) ?167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? 167。 頻率與概率 ? 167。 等可能概型（古典概型） ?167。 條件概率 ? 167。 獨(dú)立性 11/69 167。 隨機(jī)試驗(yàn) ? 隨機(jī)試驗(yàn)： ? 包括各種各樣的 科學(xué)試驗(yàn) ，甚至對某一事務(wù)的某一特征的 觀察 ， 記錄 也認(rèn)為是一種試驗(yàn)，且具有以下三個特征： ? （ 1）可以在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行 ? （ 2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 ? （ 3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前，不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn) ? 例子： Random Experimentation ? 拋一枚硬幣，觀察正面 H和反面 T出現(xiàn)的情況； ? 對某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)； ? 對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓； ? 對聽課人數(shù)進(jìn)行一次登記； 最基本的數(shù)學(xué)模型 研究隨機(jī)現(xiàn)象的最基本工具 12/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （一）樣本空間 ? 由隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn) 2可知，每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的。 ? 樣本空間： ? 將隨機(jī)試驗(yàn) E的所有可能結(jié)果組成一個集合，稱為 E的樣本空間，記為 S (Sample space) ? 樣本點(diǎn)： ? 樣本空間中的元素，即 E的每個結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。 13/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? 樣本空間的實(shí)例 ? E1：拋一枚硬幣，觀察正面 H，反面 T出現(xiàn)的情況 ? S1= {H， T} ? E2：將一枚硬幣拋三次，觀察 H， T出現(xiàn)的情況 ? S2= {HHH， HHT， HTH， HTT， THH， THT， TTH， TTT} ? E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù) ? S3= {0， 1， 2， 3} ? E4：記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù) ? S4= {0， 1， 2， 3， …} （可列無窮多個） ? E5：在一批燈泡中任意抽取一次，測試它的壽命 ? S5={t|t≥0} （取值是連續(xù)的） ? E6：記錄某地一晝夜地最高溫度和最低溫度 ? S6={(x, y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示該地區(qū)最低溫， T1表示最高溫 } （取值連續(xù)，樣本點(diǎn)是二維的） 確定樣本空間時(shí)，一定要弄清試驗(yàn)的目的 注意不要遺漏 14/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （二）隨機(jī)事件 ? 在隨機(jī)試驗(yàn)中不是單純的觀察樣本空間的所有元素了事，常常關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)組成的集合 ? 例： 916路公交車在電子科大站候車人數(shù) ? S={0,1,2,3,… N}， N是最大可能上限人數(shù) ? A={至少有 20人候車 }={20,21,22,…N} ? S ? B={恰有 5人或 8人候車 } ={5,8} ? S ? 則 A(或 B)可能發(fā)生，可能不發(fā)生，稱 A (B)為 S的一個隨機(jī)事件 ? 隨機(jī)事件： ? 一般的，稱試驗(yàn) E的樣本空間 S的子集為 E的隨機(jī)事件，簡稱事件。 ? 事件發(fā)生： ? 在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生 15/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? 幾個特殊事件：設(shè)樣本空間 S={s1， s2， … ， sn} ? 1)基本事件 ：由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集 ? 隨機(jī)試驗(yàn)的任一種可能結(jié)果構(gòu)成一個基本事件，比如 A＝ {s5} ? 基本事件的總數(shù)：等于集合 S的基數(shù) ? 注意區(qū)別：樣本點(diǎn)和基本事件，是元素和集合的關(guān)系 ? 2)必然事件 ：樣本空間 S作為一個子集， S?S，作為事件時(shí)總會發(fā)生 ? 3)不可能事件 ：用空集 Φ表示，不包含任何樣本點(diǎn)，也有 Φ ?S，表示每次試驗(yàn)都 不發(fā)生 ? S中不同事件的總數(shù)： ? 當(dāng) S中基本事件數(shù)有限時(shí)，記 S中基本事件的個數(shù)為 |S|，則總數(shù)為 2|S| 16/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? 例 1： ? 隨機(jī)試驗(yàn) E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察其正面和反面出現(xiàn)的情況 ? S2={HHH， HHT， HTH， HTT， THH， THT， TTH， TTT} ? 事件 A1:“第一次出現(xiàn)的是正面 H” ? A1={HHH， HHT， HTH， HTT } ? 事件 A2:“三次出現(xiàn)同一面” ? A2={HHH,TTT} ? 隨機(jī)試驗(yàn) E5： ? 事件 A3：“壽命小于 1000小時(shí)” ? A3={t|0≤t1000} ? 隨機(jī)試驗(yàn) E6： ? 事件 A4：“最高溫與最低溫相差 10度” ? A4={(x, y)|T0≤x≤y≤T1,yx=10} 17/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （三）事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算 ? 事件用集合來描述 ? 事件間的關(guān)系與運(yùn)算－ 集合間的關(guān)系與運(yùn)算 ? 根據(jù)“事件發(fā)生”的含義給出關(guān)系與運(yùn)算在概率論中的含義 ? 設(shè)：試驗(yàn) E的樣本空間為 S， A， B， Ak(k=1,2,..)是 S的子集，看以下幾種常見的關(guān)系和運(yùn)算 ? （ 1）包含關(guān)系，相等關(guān)系 ? 若有關(guān)系 A ? B，則事件 B包含事件 A。 A發(fā)生必然導(dǎo)致 B發(fā)生 ? 例：一枚硬幣拋兩次， A={第一次是正面 }， B={至少有一次正面 } ? 則有 A ? B ? 若有 A ? B且 A?B，則有 A=B，則稱 事件 A與事件 B相等 S A B 事件間關(guān)系的描述方法： 1. 畫韋恩圖 2. 元素考察法 考察每一個元素的歸屬 18/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （ 2）和事件 ? 事件 A∪ B={x|x?A或 x?B}，稱為 A與 B的和事件 ? A和 B中至少有一個發(fā)生時(shí)，事件 A∪ B發(fā)生 ? 多個事件的和事件： ? 為 n個事件 A1,A2,…,A n的和事件 ? 當(dāng) n→∞ 時(shí) 稱為 可列個事件 A1,A2,…… 的和事件 SBA?nkkA1????1k kA19/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （ 3）積事件 ? 事件 A∩B={x|x?A且 x?B},稱為 A與 B的積事件。 ? 當(dāng)且僅當(dāng) A和 B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 A∩B才發(fā)生，也可簡記為 AB ? 多個事件的積事件： ? 為 n個事件 A1,A2,…,A n的積事件 ? 當(dāng) n→∞ 時(shí) 稱為 可列個事件 A1,A2,…… 的積事件 SBA?nk kA1????1kkA20/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （ 4）差事件 ? 事件 A－ B={x|x?A且 x?B},稱為 A與 B的差事件。 ? 當(dāng)且僅當(dāng) A發(fā)生，而 B不發(fā)生時(shí)，事件 A－ B才發(fā)生 ? 差事件的一些等價(jià)表示 ? A－ B= A－ AB=A SBABB21/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （ 5）兩事件互不相容（互斥） ? 若 A∩B=Φ則稱 A與 B互不相容或互斥。 ? A與 B不同時(shí)發(fā)生 ? 基本事件是兩兩互不相容的 ? （ 6）逆事件 (對立事件 ) 補(bǔ)集 ? 若 A∪ B=S且 A∩B=Φ則 A與 B互為逆事件， ? 每次試驗(yàn)事件 A和事件 B有且僅有一個事件發(fā)生。 ? A的逆事件常記為 ( =S－ A) SBASBAA22/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （ 7）事件間的運(yùn)算律 ? 設(shè) A， B， C是三個事件，則有 ? 交換律： A∪ B=B∪ A； A∩B=B∩A ? 結(jié)合律： A∪ (B∪ C)= (A∪ B)∪ C； A∩(B∩C)= (A∩B)∩C ? 分配率： A∪ (B∩C)= (A∪ B)∩(A∪ C)； A∩(B∪ C)= (A∩B)∪ (A∩C) ? 德 ?摩根律： ； ? 例 2： S={HHH， HHT， HTH， HTT， THH， THT， TTH， TTT}及事件 A1={HHH， HHT， HTH， HTT }和事件 A2={HHH,TTT} ? 則有： ? A1∪ A2={HHH， HHT， HTH， HTT， TTT } ? A