【正文】 多個(gè)事件的積事件： ? 為 n個(gè)事件 A1,A2,…,A n的積事件 ? 當(dāng) n→∞ 時(shí) 稱為 可列個(gè)事件 A1,A2,…… 的積事件 SBA?nk kA1????1kkA20/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （三）事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算 ? 事件用集合來描述 ? 事件間的關(guān)系與運(yùn)算－ 集合間的關(guān)系與運(yùn)算 ? 根據(jù)“事件發(fā)生”的含義給出關(guān)系與運(yùn)算在概率論中的含義 ? 設(shè)：試驗(yàn) E的樣本空間為 S， A， B， Ak(k=1,2,..)是 S的子集，看以下幾種常見的關(guān)系和運(yùn)算 ? （ 1）包含關(guān)系，相等關(guān)系 ? 若有關(guān)系 A ? B，則事件 B包含事件 A。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （二）隨機(jī)事件 ? 在隨機(jī)試驗(yàn)中不是單純的觀察樣本空間的所有元素了事，常常關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)組成的集合 ? 例： 916路公交車在電子科大站候車人數(shù) ? S={0,1,2,3,… N}， N是最大可能上限人數(shù) ? A={至少有 20人候車 }={20,21,22,…N} ? S ? B={恰有 5人或 8人候車 } ={5,8} ? S ? 則 A(或 B)可能發(fā)生，可能不發(fā)生，稱 A (B)為 S的一個(gè)隨機(jī)事件 ? 隨機(jī)事件： ? 一般的，稱試驗(yàn) E的樣本空間 S的子集為 E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （一）樣本空間 ? 由隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn) 2可知，每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的。 等可能概型（古典概型） ?167。 7/69 三、考核方式 ? 筆試成績占 90% ? 平時(shí)成績占 10% ? 作業(yè)：每周交一次，每次交一半 ? 盡量交單頁便于攜帶 ? 整個(gè)學(xué)期至少交 80%的作業(yè) ? 數(shù)值實(shí)驗(yàn) (matlab)： ? 上課講解實(shí)驗(yàn)相關(guān)知識(shí)，布臵實(shí)驗(yàn)習(xí)題 ? 課后 matlab實(shí)驗(yàn)編程，上交程序和結(jié)果 ? 擬定三次：第 1章一次，第 25章一次， 68章一次 8/69 四、教材和習(xí)題集 ? 教 材： ? 盛驟，謝式千，潘承毅 編 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 》 浙江大學(xué)第四版，高等教育出版社， 2020 ? 習(xí)題集： ? 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題全解指南 》 配浙大四版，高教出版社 ? 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同步輔導(dǎo) 》 配浙大三版，李彩榮、王志平編著，大連理工大學(xué)出版社 ? 后續(xù)課程： ? 本課程是 《 隨機(jī)信號(hào)分析 》 及通信等各專業(yè)的必備基礎(chǔ) 9/69 五、學(xué)習(xí)方法 ? 1) 充分理解基本概念，掌握知識(shí)點(diǎn)及其物理意義，掌握知識(shí)體系框架 ? 2) 背景知識(shí)：微積分，排列組合，集合 ? 3) 重點(diǎn)掌握各種概率分布及數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用 ? 4) 結(jié)合作業(yè)和其它習(xí)題加強(qiáng)理解，提高知識(shí)運(yùn)用能力 10/69 第一章 概率論的基本概念 ? 167。 ? “ 隨機(jī) ” 與 “ 模糊 ” 兩個(gè)概念的區(qū)別： ? 隨機(jī)是一種客觀概念的表述，是客觀存在的，不受主觀影響的 ? 模糊是也是一種不確定性，它是指概念的外延的不確定性，不清晰性，這種不確定性對(duì)于個(gè)體認(rèn)知及個(gè)體之間主觀感受是有差別的，人在認(rèn)識(shí)模糊的時(shí)候是有一定的主觀性的。 ? 如對(duì)青年人屬于哪個(gè)年齡段的判斷，不同人給出的答案是不確定的 ? 隨機(jī)現(xiàn)象是宇宙空間內(nèi)最為廣泛的現(xiàn)象，體現(xiàn)在人們生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域，因而概率論具有廣泛的應(yīng)用 6/69 二、學(xué)時(shí)安排與課程結(jié)構(gòu) ? 整個(gè)課程共分兩個(gè)部分， 48學(xué)時(shí)，共 24次課， 3個(gè)學(xué)分 ? 第一部分： ? 第 1～ 5章，概率論基礎(chǔ)， 32學(xué)時(shí)， 16次課 ? 學(xué)習(xí)如何對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象建模，通過引入數(shù)學(xué)工具來描述、分析和計(jì)算概率論相關(guān)問題，構(gòu)成整個(gè)概率論的基礎(chǔ)理論。 隨機(jī)試驗(yàn) ?167。 條件概率 ? 167。 ? 樣本空間： ? 將隨機(jī)試驗(yàn) E的所有可能結(jié)果組成一個(gè)集合，稱為 E的樣本空間，記為 S (Sample space) ? 樣本點(diǎn)： ? 樣本空間中的元素，即 E的每個(gè)結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。 ? 事件發(fā)生： ? 在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生 15/69 167。 A發(fā)生必然導(dǎo)致 B發(fā)生 ? 例：一枚硬幣拋兩次， A={第一次是正面 }， B={至少有一次正面 } ? 則有 A ? B ? 若有 A ? B且 A?B，則有 A=B，則稱 事件 A與事件 B相等 S A B 事件間關(guān)系的描述方法： 1. 畫韋恩圖 2. 元素考察法 考察每一個(gè)元素的歸屬 18/69 167。 樣本空間、隨機(jī)事件 ? （ 4）差事件 ? 事件 A－ B={x|x?A且 x?B},稱為 A與 B的差事件。 ? A的逆事件常記為 ( =S－ A) SBASBAA22/69 167。 頻率與概率 ? 頻率 fn(A)顯然有以下幾個(gè)性質(zhì)： ? 1176。 頻率與概率 ? 例：拋硬幣實(shí)驗(yàn)，一枚硬幣拋 5次、 50次、 500次，觀察正面出現(xiàn)的頻率 26/69 實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H) 德 ?摩根 2048 1061 蒲 豐 4040 2048 K?皮爾遜 12020 6019 K?皮爾遜 24000 12020 表 2 167。 頻率與概率 ? 思考：用頻率的穩(wěn)定值來表示事件發(fā)生的可能性大小是合適的嗎？ ? 第五章將證明，大量試驗(yàn)所得頻率的穩(wěn)定值用來描述概率是合理的 ? fn(A)|n→∞ =P(A) ? 頻率的穩(wěn)定值如何得到？ ? 大量重復(fù)試驗(yàn) ? 精確的結(jié)果 拋硬幣試驗(yàn) ? 理論計(jì)算 ? 準(zhǔn)確的結(jié)果 對(duì)試驗(yàn)環(huán)境準(zhǔn)確掌握的情況下，古典概型，幾何概型 ? 間接推測(cè)或估計(jì) ? 準(zhǔn)確性相對(duì)差一些，用于不能理論計(jì)算也不能大量試驗(yàn)時(shí) ? 數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分解決的問題與此有關(guān) ? 測(cè)試生產(chǎn)的燈泡的平均壽命，炮彈的可靠性 ? 總之 頻率穩(wěn)定性常數(shù)和其性質(zhì) 啟發(fā)我們定義度量事件發(fā)生可能性大小的概率 29/69 167。 ? 3 176。 ? 2. 若 A?F，則 A的補(bǔ)集 ?F ? 3. 若對(duì) ? n=1, 2, … , An?F，則 ?F ? 對(duì)于事件域 F，有： ? 1）包含空集； ? 2） F中任意個(gè)事件的積事件還在 F中； ? 3） F中任意兩事件的差事件還在 F中。 頻率與概率 ? 概率基本性質(zhì) ? 性質(zhì) i：不可能事件 Φ 的概率 ? P(Φ)=0 ? 證明： ? 令 An＝ Φ (n=1,2,…) ? 則 ，并且對(duì)于 i≠j， AiAj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … 兩兩互不相容 ? 由可列可加性得 ? P(Φ)= P( )= = =P(Φ)＋ ? ∴ =0 ? 而由定義， P(Φ)?0 ? ∴ 只有 P(Φ)＝ 0 P(A)=0不能 ?A=Φ P(A)=1不能 ?A=S 詳見第 2章 ?????1n nA???1n nA ???1)(nnAP ????1)(nP ????2)(nP??? ?2 )(n P 作業(yè)中的問題： P(ABC)=0不能推出 P(AB)=0 反之由于有 ABC?AB，根據(jù)包含關(guān)系由 P(AB)=0? P(ABC)=0 33/69 167。 頻率與概率 ? 性質(zhì) iv：事件概率的上界 ? 對(duì)于任意事件 A, P(A)?1 ? 證： ? 由性質(zhì) iii，及 A?S，得 P(A)?P(S)=1 ? 性質(zhì) v：逆事件的概率 ? 對(duì)于任意事件 A， P( )=1－ P(A) ? 證： ? ＝ S－ A ? 而 A?S ? 所以有 P( )=P(S－ A)= P(S)－ P(A)＝ 1－ P(A) ? 或 S=A∪ ， A ＝ Φ， P(S)＝ P(A∪ )＝ P(A)＋ P( )＝ 1 AAAAAAA36/69 167。 38/69 167。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)取一只， 考慮兩種取球方式： ? 放回抽樣：第一次取一只球，觀察顏色后放回袋中，攪勻后再取一只 ? 不放回抽樣：第一次取一只球不放回袋中，第二次從剩余球中再取一只 ? 分別就以上兩種方式求： ? (i)取到的兩只球都是白球的概率； ? (ii)取到的兩只球顏色相同的概率； ? (iii)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。又樣本空間中的元素有限，由對(duì)稱性每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同：等可能概型 ? ①計(jì)算 S中元素的個(gè)數(shù)：第一次 6球，第二次 6球，由組合乘法原理， ? 共有 6 6＝ 36種 ? ② A：兩次都有 4只白球可取，共有4 4＝ 16種 ? ③ B：兩次都有 2只紅球可取，共有2 2＝ 4種 ? ∴ 由古典概型公式： ? P(A)＝ 16/36=4/9 ? P(B)＝ 4/36=1/9 ? P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)=4/9+1/9=5/9 ? P(C)＝ P( )=1－ P(B)=1－ 1/9=8/9 ? (b)不放回抽樣的情況 ? S： 6 5＝ 30， A: 4 3＝ 12， B：2 1＝ 2 具體步驟（略） 分?jǐn)?shù)不可隨意化成小數(shù)，除非有保留精度 BB41/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 一道作業(yè)題 ? 從 5雙不同的鞋子中，任取 4只，這 4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？ ? 解：古典概型 ? 為方便分析，先求 4只都不配成雙的概率 p ? S：共有 種不同的取法 ? 4只都不配成雙的概率： ? 5雙鞋中先任選 4雙，然后每雙鞋中任選一只 ? ? 所以 p＝ ? 所以至少兩只配成雙的概率為 1－ p＝ 1－ ? 或直接求： ? 有 1雙配成雙： 有兩雙配成雙 ? 所以 P(B)= 410C1212121245 CCCCC ????4104542CC4104542CC）（ 12122415 CCCC ??? 25C4102512122415 / CCCCCC ））（（ ????45/69 167。 條件概率 ? 條件概率問題是概率論中，內(nèi)容最為豐富的一個(gè)問題，主要考慮： ? 在事件 A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的概率。 ? 3）可列可加性：設(shè) B1, B2, … , Bk是兩兩互 不相容的事件，即對(duì)于 i≠j， BiBj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … ，則有 P( |A)＝ 中的基本事件數(shù)中的基本事件數(shù)AAB中的基本事件數(shù)中的基本事件數(shù) 中的基本事件數(shù)中的基本事件數(shù) SA SAB / /)()(APABP???1i iB ???1)|(i iABP一般的概率的性質(zhì)都適合于條件概率，區(qū)別是必須加上條件，例如： 設(shè) A， B， C是三事件， 若 B?C，則有 P(C－ B)=P(C)－ P(B) 同樣的有 P((C－ B)|A)=P(C|A)－ P(B|A) 又 P(C∪ B)＝ P(C)＋ P(B)－ P(CB) 則 P(C∪ B|A)＝ P(C|A)＋ P(B|A)－ P(CB|A) 條件概率也可稱為后驗(yàn)概率，普通的概率稱為先驗(yàn)概率，是根據(jù)以往實(shí)驗(yàn)得到的 49/69 167。 條件概率 ? 例 3：袋中裝有 r只紅球、 t只白球，每次從袋中任取一只觀察顏色后放回，再放入 a只與所取球同色的球。 條件概率 ? (三 ) 全概率公式和貝葉斯公式 ? (1) 全概率公式： ? 對(duì)