【正文】 所以關(guān)于n的圖像是一次函數(shù)圖像的分點(diǎn)表示形式。三 前n項(xiàng)和公式： ………… ① ………… ② …… ③按照序號(hào)順序，使用公式。即首選①公式解題，再選②、③一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的另一個(gè)充要條件：(a，b為常數(shù)，a≠0)，即是關(guān)于n的二次函數(shù)，因?yàn)?，所以關(guān)于n的圖像是二次函數(shù)圖像的分點(diǎn)表示形式。四 性質(zhì)結(jié)論(一)3或4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列求數(shù)值時(shí)應(yīng)按對(duì)稱(chēng)性原則設(shè)置，如：3個(gè)數(shù)ad,a,a+d； 4個(gè)數(shù)a3d,ad,a+d,a+3d(二)與的等差中項(xiàng)；在等差數(shù)列中，若，則；若，則；(三)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且，(四)凡按一定規(guī)律和次序選出的一組一組的和仍然成等差數(shù)列。設(shè)，，則有； (五),則前(m+n為偶數(shù))或(m+n為奇數(shù))最大 第二部分 等比數(shù)列一 定義：成等比數(shù)列。二 通項(xiàng)公式：，數(shù)列{an}是等比數(shù)列的一個(gè)等價(jià)條件是：當(dāng)且時(shí)，關(guān)于n的圖像是指數(shù)函數(shù)圖像的分點(diǎn)表示形式。三 前n項(xiàng)和：；(注意對(duì)公比的討論)四 性質(zhì)結(jié)論：(一)與的等比中項(xiàng)(同號(hào))；(二)在等比數(shù)列中，若，則；若，則；(三)設(shè)，， 則有第三部分 求雜數(shù)列通項(xiàng)公式一 構(gòu)造等比數(shù)列：凡是出現(xiàn)關(guān)于后項(xiàng)和前項(xiàng)的一次遞推式都可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式。第一類(lèi)：是公比為的等比數(shù)列，從而求出。第二類(lèi)： 是公比為3的等比數(shù)列.第三類(lèi)：，系數(shù)之比為1的時(shí)候用疊加法。第四類(lèi)：既有又有利用，將所有S換成a，或者將所有a換成S。第五類(lèi)：關(guān)于與的二次式，或者與的二次式，先因式分解成一次式，再構(gòu)造等比數(shù)列。二 構(gòu)造等差數(shù)列：遞推式不能構(gòu)造等比時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列。第一類(lèi)：凡是出現(xiàn)分式遞推式都可以構(gòu)造等差數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式，例如：，兩邊取倒數(shù)是公差為2的等差數(shù)列，從而求出。第二類(lèi)：是公差為1的等差數(shù)列三 遞推：即按照后項(xiàng)和前項(xiàng)的對(duì)應(yīng)規(guī)律，再往前項(xiàng)推寫(xiě)對(duì)應(yīng)式。例如【注: 】求通項(xiàng)公式的題，不能夠利用構(gòu)造等比或者構(gòu)造等差求的時(shí)候，一般通過(guò)遞推來(lái)求。第四部分 求前n項(xiàng)和一 裂項(xiàng)分組法：、二 錯(cuò)位相減法：凡等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí)用此方法， 求：①②①減②得：從而求出。 錯(cuò)位相減法的步驟：(1)將要求和的雜數(shù)列前后各寫(xiě)出三項(xiàng)，列出①式 (2)將①式左右兩邊都乘以公比q，得到②式 (3)用①②，錯(cuò)位相減 (4)化簡(jiǎn)計(jì)算三 倒序相加法：前兩種方法不行時(shí)考慮倒序相加法1：等差數(shù)列求和： 兩式相加可得：2：，可求得的值為_(kāi)________. ① ②①+②得 ,∴第七章 統(tǒng)計(jì)第一部分 抽樣方法一 總體、個(gè)體、容量一般地，我們把所考查對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合看做總體，構(gòu)成總體的對(duì)象作為個(gè)體，從總體中抽出一部分對(duì)象所組成的集合叫做樣本，樣本中對(duì)象的個(gè)數(shù)稱(chēng)為樣本的容量。二 簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（），如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。：抽簽法(抓鬮法)和隨機(jī)數(shù)表法。，抽出容量為n的樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為。三 系統(tǒng)抽樣，將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本．這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣。：“編號(hào)分段—確定起始的個(gè)體號(hào)——抽取樣本”四步。，如果總體容量N能被樣本容量n整除，則用它們的比值作為分段間隔．如果不是整數(shù)，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除．然后再編號(hào)、分段，確定第一段的起始號(hào)．繼而確定整個(gè)樣本。四 分層抽樣當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，才常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例筋洗凈抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其所分成的各個(gè)部分叫做層。利用分層抽樣抽取樣本，每一層按照它在總體中所占的比例進(jìn)行抽取。注意（1）分層抽樣適用于差異明顯的幾部分組成的情況；（2）在每一層進(jìn)行抽樣時(shí)，在采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣；（3）分層抽樣充分利用已掌握的信息，使樣具有良好的代表性；（4）分層抽樣也是等概率抽樣，而且在每層抽樣時(shí)，可以根據(jù)具體情況采用不同的抽樣方法，因此應(yīng)用較為廣泛。五 三種抽樣方法的比較（1）列表比較：類(lèi)別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過(guò)程種每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)均等從總體中逐個(gè)抽取總體種的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體種的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同特點(diǎn)是在抽樣過(guò)程中每一個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等，體現(xiàn)了這些方法的客觀性和公平性，其中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最簡(jiǎn)單和最基本的抽樣方法，在進(jìn)行系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時(shí)都要用到簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，抽樣方法經(jīng)常交叉應(yīng)用，對(duì)于個(gè)體數(shù)量很大的總體，可采用系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)中的每一均衡部分，又可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。六 抽樣方法的選擇 (1)通過(guò)比較三種抽樣方法，可以發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系密切，無(wú)論采取哪一種方法，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是一樣的。 (2)對(duì)于系統(tǒng)抽樣和分層抽樣．如果不是整數(shù)，可采用剔除法，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率不變，如從1003個(gè)總體中抽出容量為l0的樣本，那么每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為(3)通過(guò)分析總體特點(diǎn)，靈活選擇抽樣方法。(4)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是抽樣方法的基礎(chǔ)，是一種等機(jī)會(huì)抽樣，它有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①它要求被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的；②它是從總體中逐個(gè)地抽??；③它是一種不放回抽樣。(5)系統(tǒng)抽樣是在總體個(gè)數(shù)比較多時(shí)采用的抽樣方法。當(dāng)總體個(gè)數(shù)N不能被樣本容量 整除時(shí)，應(yīng)注意如何從總體中剔除一些個(gè)體．（6）分層抽樣適用于總體是由差異明顯的幾部分個(gè)體組成時(shí)的抽樣方法。具體步驟是：①分層；②按比例確定各層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；③各層抽樣；④匯合成樣本。第二部分 用樣本估計(jì)總體一 用樣本估計(jì)總體(1)頻率分布樣本中所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率和樣本容量的比就是該數(shù)據(jù)的頻率，所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布表，頻率分布折線圖．莖葉圖，頻率分布直方圖來(lái)表示．(2)頻率分布折線圖連結(jié)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就可以得到頻率分布折線圖。(3)總體密度曲線 ①如果樣本容量越大，所分組數(shù)越多，圖中表示頻率分布就越接近于總體在各個(gè)小組內(nèi)所取值的個(gè)數(shù)與總數(shù)比值的大?。O(shè)想如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，則頻率分布直方圖實(shí)際上是越來(lái)越接近于總體的分布，它可以用一條光滑曲線來(lái)描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線。 ②總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律．產(chǎn)品尺寸落在(a，b)內(nèi)的百分率就是下圖中帶斜線部分的面積．對(duì)本題來(lái)說(shuō)，總體密度曲線呈中間高兩邊低的“鐘”形分布，總體的數(shù)據(jù)大致呈對(duì)稱(chēng)分布，并且大部分?jǐn)?shù)據(jù)都集中在靠近中間的區(qū)間內(nèi)。(4)莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突的優(yōu)點(diǎn)其一是統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)的損失，所有信息可以從這個(gè)莖葉圖中得到，其二是在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄于表示。二 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1) 一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。(2)一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。(3)如果有幾個(gè)數(shù)那么叫做這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。如果在幾個(gè)數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，（這里)，那么 叫做這幾個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)。(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，其中表示方差而s表示標(biāo)準(zhǔn)差。三 頻率分布圖(表)和頻率分布直方圖(1)頻數(shù)分布圖(表)能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)；而頻率分布圖(表)則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律．它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布。(2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差，即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差。②決定組距與組數(shù)．將數(shù)據(jù)分組時(shí)，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚的呈現(xiàn)出來(lái)。這時(shí)應(yīng)注意：a．一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；b．為方便起見(jiàn)，組距的選擇應(yīng)力求“取整”；c．當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5組～l2組．③將數(shù)據(jù)分組．④計(jì)算各小組的頻率，作頻率分布表。．⑤畫(huà)頻率分布直方圖。(3)總體密度曲線是頻率分布折線的一條極限曲線，隨著樣本容量不斷增加，分組的不斷加密，頻率分布折線就會(huì)越來(lái)越光滑，最終形成總體密度曲線．總體密度曲線反映的是總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，實(shí)際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但只能用樣本的頻率分布對(duì)它估計(jì)，一般來(lái)說(shuō)，樣本容量越大，這種估計(jì)就越準(zhǔn)確．四 莖葉圖的應(yīng)用(1)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過(guò)莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)。在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就閑的不太方便了。五 標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系及計(jì)算(1)標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，即（2）方差的計(jì)算①基本公式②簡(jiǎn)化計(jì)算公式，或?qū)懗伞＜捶讲畹扔跀?shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均是的平方。③簡(jiǎn)化計(jì)算公式當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時(shí)，可仿照簡(jiǎn)化平均是的據(jù)算方法，將每個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)與它們的平均是接近的常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)那么也可以寫(xiě)成。即方差等于新數(shù)據(jù)的平方平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。④原數(shù)據(jù)的方差與新數(shù)據(jù)的方差相等。即的方差等于原數(shù)據(jù)的方差。（3）方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)，常數(shù)來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。方差較大的波動(dòng)較大，方差較小的波動(dòng)較小，方差的單位是原數(shù)據(jù)的單位的平方，標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏寫(xiě)單位。圓錐曲線一 橢圓方程（一） 橢圓的定義：方程為橢圓；無(wú)軌跡；以為端點(diǎn)的線段。（二） 橢圓的方程:①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：.ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：. ②一般方程：.③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為 （三）橢圓的幾何性質(zhì)：①頂點(diǎn)：A,B,C和D.②軸：對(duì)稱(chēng)軸：x軸，軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=.③焦點(diǎn)：, ④焦距：，.⑤離心率：. 二 雙曲線方程（一）雙曲線的定義：（二）雙曲線的方程①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：. ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：②一般方程：.③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為 （三）雙曲線的幾何性質(zhì)①i. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：；焦點(diǎn)：；漸近線方程：或ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：；焦點(diǎn)：；漸近線方程：或，②軸：為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a, 虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c. ③離心率. ④ 參數(shù)關(guān)系. （四）常見(jiàn)的特殊雙曲線：①等軸雙曲線：雙曲線稱(chēng)為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.②共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，它們具有共同的漸近線：.③共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.例如：若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.（五）直線與雙曲線的位置關(guān)系：如下圖.區(qū)域①：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、4條. 三 拋物線方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類(lèi)型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對(duì)稱(chēng)軸軸軸頂點(diǎn)(0，0)離心率焦半徑注：①頂點(diǎn).②則焦點(diǎn)半徑。則焦點(diǎn)半徑為.③通徑為2p，這是過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的.④(或)的參數(shù)方程為(或)(為參數(shù)).