【正文】 時(shí)，離虛軸近的一對(duì)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)逐漸向虛軸靠近，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程。 ⑶ 當(dāng) 時(shí)，有閉環(huán)極點(diǎn)落在右半 s平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，階躍響應(yīng)振蕩發(fā)散。 2720 ?? a1272 ?? a1?a二、零度根軌跡 在負(fù)反饋條件下根軌跡方程為 ，相角條件為： 稱相應(yīng)的常規(guī)根軌跡為 根軌跡。 在正反饋條件下，系統(tǒng)特征方程為： 此時(shí)根軌跡方程為 相角條件為 相應(yīng)繪制的根軌跡稱為 根軌跡。 1)()( ??sHsG?,2,1,0)12()()( ?????? kksHsG ?0)()(1)( ??? sHsGsD1)()( ?sHsG?,2,1,02)()( ????? kksHsG ??0?180 需要繪制 根軌跡的來源有二 :一是系統(tǒng)中具有正反饋內(nèi)回路，二是非最小相角系統(tǒng)中包含 s最高次冪的系數(shù)為負(fù)值的因子。 以正反饋內(nèi)回路為例： 系統(tǒng)的根軌跡方程 ?0)()(1)()()(sHsGsGsRsC??1)()( ?sHsG相角條件： 模值條件： 與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比，模值條件沒有變化，因此零度根軌跡的繪制的法則只要考慮相角條件所引起的某些法則的修改。需要修改的根軌跡繪制法則有：法則 法則 法則 6。 ),2,1,0(,20)()(11???????????? ????kkpszsniimjj ????????mjjniizspsK11*44 系統(tǒng)性能的分析 本節(jié)討論如何利用根軌跡分析、估算系統(tǒng)性能，同時(shí)分析附加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡及系統(tǒng)性能的影響。 一、條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析 參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。條件穩(wěn)定系統(tǒng)可以通過根軌跡圖來確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)的取值范圍?，F(xiàn)舉例說明。 例 12 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 試?yán)酶壽E圖討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) 的取值范圍。 由圖可以看出： 系統(tǒng)是穩(wěn)定的 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 這種情況稱為條件穩(wěn) 定系統(tǒng)，通過根軌跡 圖的分析可以確定要求系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。 ))(6)(4()42()(22*???????sssssssKsG*K19564 140 ** ???? KK 和當(dāng)6414 195 ** ??? KK 和當(dāng)二、利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 例 13 在例 9中，在計(jì)算阻尼比 的 值以及相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)的情況下，估算此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 解 根軌跡 如圖 所示。 等阻尼線 OA與 根軌跡的交點(diǎn) 即為相應(yīng)的閉 環(huán)極點(diǎn)，在例 9 中已計(jì)算出 值以及相應(yīng)的閉 環(huán)極點(diǎn)。 ?? *K*K 在所求得的 3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中 ， 至虛軸的距離與 (或 )至虛軸的距離之比為： 是系統(tǒng)的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。于是，該系統(tǒng)可由主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來估算原三階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。原系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡增益為 1，因此相應(yīng)的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ** ??? KKK , , 321 ???????? sjsjs3s1s 2s倍 ?21 ss 、222222121222 ))(( ))((2)(????????????????ssjsjssssssssssnnn????????? 代入公式得將 ?? n%% 22 ??? ????? ee ????)( stns ???? ?? 原系統(tǒng)為 Ⅰ 型系統(tǒng)，系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)計(jì)算如下： 系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為： ))(1(l i m)(l i m00?????????Ksss KsssGKssv ???KKevss三、開環(huán)零、極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響 開環(huán)零、極點(diǎn)的分布決定著系統(tǒng)根軌跡的形狀。如果系統(tǒng)的性能不盡人意，可以通過調(diào)整控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，改變相應(yīng)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布，調(diào)整根軌跡的形狀，改善系統(tǒng)的性能。 1. 增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 例 14 三個(gè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為 試分別繪制三個(gè)系統(tǒng)的根軌跡。 解 三個(gè)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布及根軌跡分別如下圖所示。 )22()2()( )22()3()( )22()( 2*32*22*1 ??????????? ssssKsGssssKsGsssKsG 從圖中可以看出，增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且，開環(huán)負(fù)實(shí)零點(diǎn)離虛軸越近，這種作用越顯著；若增加的開環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近時(shí)，構(gòu)成偶極子，則二者作用相互抵消。因此，可以通過加入開環(huán)零點(diǎn)的方法，抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。 2. 增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 例 15 三個(gè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為 試分別繪制三個(gè)系統(tǒng)的根軌跡。 解 三個(gè)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布及根軌跡分別如下圖所示。 )1()( )2)(1()( )1()( 2*3*2*1 ??????? ssKsGsssKsGssKsG 從圖中可以看出，增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，不利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且，開環(huán)負(fù)實(shí)極點(diǎn)離虛軸越近，這種作用越顯著。 第四章小結(jié) 本章詳細(xì)介紹了根軌跡的基本概念、根軌跡的繪制方法以及根軌跡法在控制系統(tǒng)性能分析中的應(yīng)用。根軌跡法是一種圖解方法，可以避免繁重的計(jì)算工作，工程上使用比較方便。根軌跡法特別適用于分析當(dāng)某一個(gè)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)性能的變化趨勢(shì)。 根軌跡是系統(tǒng)某個(gè)參量從 0→∞ 變化時(shí)閉環(huán)特征根相應(yīng)在 s平面上移動(dòng)描繪出的軌跡。 根軌跡法的基本思路是：在已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布的情況下，依據(jù)繪制根軌跡的基本法則繪出系統(tǒng)的根軌跡；分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)的變化趨勢(shì)；在根軌跡上確定出滿足系統(tǒng)要求的閉環(huán)極點(diǎn)位置，補(bǔ)充閉環(huán)零點(diǎn)；再利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，對(duì)系統(tǒng)控制性能進(jìn)行定性分析和定量估算。 繪制根軌跡是用根軌跡法分析系統(tǒng)的基礎(chǔ)。牢固掌握并熟練應(yīng)用繪制根軌跡的基本法則，就可以快速繪出根軌跡的大致形狀。 在控制系統(tǒng)中適當(dāng)增加一些開環(huán)零、極點(diǎn)，可以改變根軌跡的形狀，從而達(dá)到改善系統(tǒng)性能的目的。一般情況下，增加開環(huán)零點(diǎn)可使根軌跡左移，有利于改善系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能；相反地，單純加入開環(huán)極點(diǎn)，則根軌跡右移，不利于系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能。