【正文】 的貢獻(xiàn)，他們的工作領(lǐng)先了歐洲數(shù)學(xué)家的工作一千多年。 16， 17世紀(jì)是微積分思想發(fā)展最為活躍的時(shí)期，其杰出的代表有伽利略、開普勒、卡瓦列里、費(fèi)馬、巴羅，等。他們的工作為牛頓、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz 16461716， )創(chuàng)立微積分理論奠定了基礎(chǔ)。 牛頓的微積分 牛頓在 17世紀(jì) 60年代創(chuàng)立了微積分，他稱之為 《 流數(shù)術(shù) 》 ，其基本原理是把數(shù)學(xué)中的量看作是由連續(xù)軌跡運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，不再看作是由無窮小元素構(gòu)成的。牛頓使用了無窮小增量，但對(duì)這個(gè)概念沒有給出明確的規(guī)定和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的證明。 微分與積分 : 無窮級(jí)數(shù)的形式 微積分的應(yīng)用 牛頓求積分 : 二項(xiàng)式定理 ????????86422 111 xxxxx牛頓的微積分 萊布尼茲 的微積分 萊布尼茲于 1684年發(fā)表了微積分成果，他稱之為求差的方法和求和的方法。其基本思想是把一條曲線下面的面積分割成許多小矩形，矩形與曲線之間微小的直角三角形的兩邊分別是曲線的相鄰兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之差，當(dāng)這兩個(gè)差無限減小時(shí)，曲線上相鄰兩點(diǎn)便無限接近。連接這樣的兩點(diǎn)就得出曲線在該點(diǎn)的切線，就是求差的方法。求差的反面就是求和。 萊布尼茲 的微積分 ( ) 39。( )39。( ) ( ) ,( ) ( ) ( )xadf x f x dxF x f xf t dt F x F a?????微分形式：積分形式：若微積分發(fā)明權(quán)之爭(zhēng) 牛頓和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)之爭(zhēng)導(dǎo)致英國(guó)數(shù)學(xué)家與大陸數(shù)學(xué)家之間的對(duì)峙，學(xué)術(shù)上形成門戶之見，嚴(yán)重地妨礙了科學(xué)的進(jìn)步，應(yīng)引以為鑒。 牛頓和萊布尼茲的方法都是建立在一個(gè)未加嚴(yán)格定義的無窮小增量的基礎(chǔ)之上， 盡管該方法在應(yīng)用中非常有效，但其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不牢固，直到 19世紀(jì)法國(guó)柯西（ 1789— 1857）和德國(guó)維爾斯特拉斯（ 1815— 1897）等人給出 “極限”概念，才為微積分奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。 柯西 維爾斯特拉斯 微積分的偉大意義 微積分改變了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、方式和方法，帶來了數(shù)學(xué)空前和持久的繁榮昌盛！顯示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。 推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學(xué)的基本語言。其他如力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)等學(xué)科都得到了無限的推動(dòng)力。 對(duì)人類物質(zhì)文明作出了巨大貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用和更新，通過其他學(xué)科對(duì)人類的進(jìn)步產(chǎn)生了前所未有的作用。 三、概率論的建立 概率論的建立首先是費(fèi)馬和他同時(shí)代的帕斯卡的功績(jī)，他們通過對(duì)游戲和賭博中擲骰子的考察，從大量的偶然性事件中尋求其統(tǒng)計(jì)上的必然性，從而創(chuàng)立了概率論。 四、非歐幾何學(xué)的出現(xiàn) 為了消除歐氏幾何學(xué)第五公設(shè)的 “ 疵點(diǎn) ” ，英國(guó)高斯 、 俄國(guó)人羅巴切夫斯基 、 匈牙利人波耶 、 德國(guó)人黎曼分別創(chuàng)立了非歐幾何學(xué) ，打破了歐氏幾何的一統(tǒng)天下 ， 拓寬和深化了人們對(duì)空間的認(rèn)識(shí) 。 公理體系 一組公理體系應(yīng)當(dāng)具有以下三個(gè)性質(zhì)： （ 1） 完備性：就是說使整個(gè)學(xué)說中要用的一切事物都完全可歸結(jié)到公理 ， 使之不存在任何默許的其他假定 。 （ 2） 相容性：從公理不能推出兩個(gè)互相矛盾的定理 。 （ 3） 獨(dú)立性：任何一個(gè)公理都不是另一個(gè)公理的推論 。 歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里德的 《 集合原本 》中，在 2200年之后，希爾伯特在 《 幾何基礎(chǔ) 》 加以完善。其間，許多數(shù)學(xué)家作了許多公理體系的完備性工作。 然而，令人放心不下的是該公理體系中的第五公理，即平行公理的獨(dú)立性問題。因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)即使歐幾里德本人也盡量避免使用它。所以人們開始從三個(gè)方面研究平行公理。 （ 1）試圖給出新的平行線定義以繞開這個(gè)困難； （ 2）試圖用比平行公理缺點(diǎn)更少的其他公理取代它；（等價(jià)或包含） （ 3）試圖用其他公里推出它。 第三個(gè)問題得到的最多的研究，但是毫無結(jié)果。 α β 第五公設(shè)的證明：非歐幾何的萌芽 ? 在公設(shè)、公理基礎(chǔ)上建立起來的 歐幾里德 幾何學(xué)被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的典范。 ? 但是數(shù)學(xué)家們同時(shí)也感到歐氏幾何中存在著某種瑕疵。其中最讓數(shù)學(xué)家們感到不大舒服的是第五公設(shè)。 ? 第五公設(shè)所說明的事實(shí)不象其他幾條那樣顯而易見，缺少作為一條公設(shè)所必須有的自明性。 ? 人們不懷疑其真實(shí)性，但懷疑其作為公設(shè)的資格。因此許多人試圖來證明第五公設(shè)。 非歐幾何的創(chuàng)立 ? 1792年高斯（ Carl Friedrich Gauss 17771855）十五歲時(shí)就開始考慮第五公設(shè)問題。 ? 1816年左右他已獲得了非歐幾何的基本思想，確信存在一種與歐氏幾何不同的幾何學(xué)。 創(chuàng)始人？ ? 但是高斯有一個(gè)習(xí)慣，在任何情況下，他都把他的結(jié)果保密一段時(shí)間。 ? 所以數(shù)學(xué)史上認(rèn)為首先確立非歐幾何的是另外兩位數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和波耶。 ? 高斯這樣做或許還出于別的考慮，主要是為了少招徠愚蠢的偏見。因?yàn)樗f過，“它的公開將引起愚人的叫喊”。 ? 第一個(gè)公開發(fā)表非歐幾何論文的羅巴切夫斯基的確付出了相當(dāng)大的代價(jià)。 羅巴切夫斯基 ? 羅巴切夫斯基 Nikolai Ivanovich Lobachevskii（ 17931856） 大約在 1815年開始研究第五公設(shè)問題。 ? 羅巴切夫斯基以深刻的洞察力提出了導(dǎo)致幾何學(xué)革命的新思想。他大膽預(yù)言，由第五公設(shè)的否命題出發(fā)而得到的結(jié)果代表著一種新的幾何學(xué)。 非歐幾何的誕生及其阻力 1826年 2月 11日羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系會(huì)議上宣讀了題為 《 幾何學(xué)原理簡(jiǎn)述及平行線定律的嚴(yán)格證明 》 的論文。 在否定第五公理的同時(shí)，假設(shè)其反面之一：“過已知直線外一點(diǎn)，可作多于一條的直線與已知直線平行”，建立了一門新的幾何學(xué)。這是過去 2022年以來的重大突破。 但是在一般人心目中，甚至數(shù)學(xué)家的心目中，歐幾里德堡壘是如此堅(jiān)固。羅巴切夫斯基的工作 得到的是許多數(shù)學(xué)大家的嘲笑、諷刺 。 波耶（ 18021860， J225。nos Bolyai） ? 非歐幾何的另一位創(chuàng)始人是匈牙利數(shù)學(xué)家波耶。 ? 就讀于維也納工學(xué)院的波耶醉心于第五公設(shè)問題。 ? 在 1820年左右他相信建立一套新幾何學(xué)是完全可能的。 ? 波耶和羅巴切夫斯基所描述的非歐幾何習(xí)慣上稱為羅巴切夫斯基幾何或雙曲幾何。 羅巴切夫斯基幾何的基本特征 （ 1）承認(rèn)空間是彎曲的，任何直線都是曲線，任何平面都是曲面； （ 2）其所描述的空間曲率處處等于一個(gè)非零常數(shù)；就是說空間處處一樣彎，并且是均勻的； （ 3）認(rèn)為平面上過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線和一已知直線不相交，它們和已知直線都不能保持同一距離； （ 4）三角形三內(nèi)角之和小于 180度； （ 5）圓的周長(zhǎng)與半徑不成比例，而是比半徑增長(zhǎng)得快。 黎曼 Bernhard Riemann 18261866 非歐幾何在創(chuàng)立后三、四十年間完全被學(xué)術(shù)界忽視，直到十九世紀(jì)中期，黎曼的工作導(dǎo)致了突破。 黎曼空間 ? 黎曼在高斯的指導(dǎo)下進(jìn)行研究。 ? 黎曼認(rèn)為，非歐幾何不僅僅只有一種。他推廣了曲面的高斯曲率，建立起黎曼空間的曲率概念。 ? 在一般黎曼空間中，空間每一點(diǎn)的曲率是不同的，也就是說黎曼空間本質(zhì)上是不均勻的。 黎曼曲率為常數(shù) ? 在黎曼曲率為常數(shù)的特殊情況下，空間分為三種類型： （ 1）零曲率空間，即歐氏幾何空間； （ 2）負(fù)曲率空間，即羅氏幾何空間； （ 3）正曲率空間，即狹義的黎曼幾何空間或稱橢圓幾何空間。 ? 歐氏幾何和羅氏幾何成了更為一般的黎曼幾何的特例。 黎曼幾何的特征 ? 在黎曼幾何中歐幾里德的第五公設(shè)被替換為：通過已知直線外一點(diǎn)，不能畫一條直線與已知直線平行。 ? 作為推論，在黎曼空間中，通過兩點(diǎn)可以畫無窮多條直線； ? 不存在無限長(zhǎng)直線的概念； ? 三角形三內(nèi)角之和總大于 180度。 只有一位聽眾懂 ? 1854年黎曼做了題為 《 關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè) 》 的就職講演，在這個(gè)講演中正式提出和建立了黎曼幾何。講演題目是高斯指定的。 ? 他的聽眾中除了年邁的高斯之外沒有一個(gè)人聽得懂他在說些什么。 ? 黎曼的講演在他死后兩年即 1868年出版。 非歐幾何地位的確立 ? 同一年 (1868)意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米（ Beltrami， 18351899）給出了羅氏幾何的一個(gè)歐幾里德解釋； ? 克萊因（ Klein， 18491925）在 1870年給出了另一個(gè)更直觀的模型，使得原來似乎復(fù)雜和難以接受的思想變得易于理解了。 ? 以貝爾特拉米和克萊因的工作為契機(jī)，非歐幾何在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的地位才牢固地確立起來。 解決了平行公理的獨(dú)立性問題。推動(dòng)了一般公理體系的獨(dú)立性、相容性、完備性問題的研究，促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展。 證明了對(duì)公理方法本身的研究能推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，理性思維和對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯和完美的追求，推動(dòng)了科學(xué)的進(jìn)步。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，各分支紛紛建立了自己的公理體系，包括被公認(rèn)為最困難的概率論也在20世紀(jì) 30年代建立自己的公理體系。實(shí)際上公理化的研究又孕育了 元數(shù)學(xué) 的產(chǎn)生和發(fā)展。 非歐幾何的產(chǎn)生的重大意義 非歐幾何實(shí)際上預(yù)示了相對(duì)論的產(chǎn)生，就象微積分預(yù)示了人造衛(wèi)星一樣。非歐幾何與相對(duì)論和匯合是科學(xué)史上劃時(shí)代的事件。人們都認(rèn)為是愛因斯坦創(chuàng)立了相對(duì)論，但是，也許愛因斯坦更清楚，是他和一批數(shù)學(xué)家等共同的工作。出現(xiàn)動(dòng)鐘延緩，動(dòng)尺縮短，時(shí)空彎曲等現(xiàn)象。這些都是非歐幾何與相對(duì)論的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。 非歐幾何的產(chǎn)生的重大意義 思考題 1. 解析幾何的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)史上有何重大意義？ 2. 牛頓和萊布尼茲各自在建立微積分的過程中分別有什么特點(diǎn)？共同的局限是什么？ 3. 非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立過程中有哪些學(xué)者作出了重要貢獻(xiàn)？ 4. 從非歐幾何學(xué)的發(fā)展中說明科學(xué)發(fā)展的內(nèi)在邏輯。 本節(jié)主要參考書 1.[美 ]克萊因著 《 古今數(shù)學(xué)思想 》 （ 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社 ） 《 數(shù)學(xué) —— 它的內(nèi)容 、 方法和意義 》 （ 科學(xué)出版社 ） 《 微積分概念 —— 對(duì)導(dǎo)數(shù)與積分的歷史性評(píng)述 》 （ 上海人民出版社 ） 、 孔國(guó)平 《 世界數(shù)學(xué)史 》 （ 吉林教育出版社 ）