【正文】 的貢獻，他們的工作領(lǐng)先了歐洲數(shù)學(xué)家的工作一千多年。 16， 17世紀(jì)是微積分思想發(fā)展最為活躍的時期，其杰出的代表有伽利略、開普勒、卡瓦列里、費馬、巴羅，等。他們的工作為牛頓、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz 16461716， )創(chuàng)立微積分理論奠定了基礎(chǔ)。 牛頓的微積分 牛頓在 17世紀(jì) 60年代創(chuàng)立了微積分，他稱之為 《 流數(shù)術(shù) 》 ，其基本原理是把數(shù)學(xué)中的量看作是由連續(xù)軌跡運動產(chǎn)生的，不再看作是由無窮小元素構(gòu)成的。牛頓使用了無窮小增量，但對這個概念沒有給出明確的規(guī)定和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的證明。 微分與積分 : 無窮級數(shù)的形式 微積分的應(yīng)用 牛頓求積分 : 二項式定理 ????????86422 111 xxxxx牛頓的微積分 萊布尼茲 的微積分 萊布尼茲于 1684年發(fā)表了微積分成果，他稱之為求差的方法和求和的方法。其基本思想是把一條曲線下面的面積分割成許多小矩形，矩形與曲線之間微小的直角三角形的兩邊分別是曲線的相鄰兩點的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之差，當(dāng)這兩個差無限減小時，曲線上相鄰兩點便無限接近。連接這樣的兩點就得出曲線在該點的切線，就是求差的方法。求差的反面就是求和。 萊布尼茲 的微積分 ( ) 39。( )39。( ) ( ) ,( ) ( ) ( )xadf x f x dxF x f xf t dt F x F a?????微分形式：積分形式：若微積分發(fā)明權(quán)之爭 牛頓和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)之爭導(dǎo)致英國數(shù)學(xué)家與大陸數(shù)學(xué)家之間的對峙，學(xué)術(shù)上形成門戶之見，嚴(yán)重地妨礙了科學(xué)的進步，應(yīng)引以為鑒。 牛頓和萊布尼茲的方法都是建立在一個未加嚴(yán)格定義的無窮小增量的基礎(chǔ)之上， 盡管該方法在應(yīng)用中非常有效，但其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不牢固，直到 19世紀(jì)法國柯西（ 1789— 1857）和德國維爾斯特拉斯（ 1815— 1897）等人給出 “極限”概念，才為微積分奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。 柯西 維爾斯特拉斯 微積分的偉大意義 微積分改變了數(shù)學(xué)的研究對象、方式和方法，帶來了數(shù)學(xué)空前和持久的繁榮昌盛！顯示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。 推動了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學(xué)的基本語言。其他如力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)等學(xué)科都得到了無限的推動力。 對人類物質(zhì)文明作出了巨大貢獻。數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用和更新，通過其他學(xué)科對人類的進步產(chǎn)生了前所未有的作用。 三、概率論的建立 概率論的建立首先是費馬和他同時代的帕斯卡的功績，他們通過對游戲和賭博中擲骰子的考察，從大量的偶然性事件中尋求其統(tǒng)計上的必然性，從而創(chuàng)立了概率論。 四、非歐幾何學(xué)的出現(xiàn) 為了消除歐氏幾何學(xué)第五公設(shè)的 “ 疵點 ” ，英國高斯 、 俄國人羅巴切夫斯基 、 匈牙利人波耶 、 德國人黎曼分別創(chuàng)立了非歐幾何學(xué) ，打破了歐氏幾何的一統(tǒng)天下 ， 拓寬和深化了人們對空間的認(rèn)識 。 公理體系 一組公理體系應(yīng)當(dāng)具有以下三個性質(zhì)： （ 1） 完備性：就是說使整個學(xué)說中要用的一切事物都完全可歸結(jié)到公理 ， 使之不存在任何默許的其他假定 。 （ 2） 相容性：從公理不能推出兩個互相矛盾的定理 。 （ 3） 獨立性：任何一個公理都不是另一個公理的推論 。 歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里德的 《 集合原本 》中，在 2200年之后，希爾伯特在 《 幾何基礎(chǔ) 》 加以完善。其間，許多數(shù)學(xué)家作了許多公理體系的完備性工作。 然而，令人放心不下的是該公理體系中的第五公理，即平行公理的獨立性問題。因為人們發(fā)現(xiàn)即使歐幾里德本人也盡量避免使用它。所以人們開始從三個方面研究平行公理。 （ 1）試圖給出新的平行線定義以繞開這個困難； （ 2）試圖用比平行公理缺點更少的其他公理取代它；（等價或包含） （ 3）試圖用其他公里推出它。 第三個問題得到的最多的研究，但是毫無結(jié)果。 α β 第五公設(shè)的證明：非歐幾何的萌芽 ? 在公設(shè)、公理基礎(chǔ)上建立起來的 歐幾里德 幾何學(xué)被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的典范。 ? 但是數(shù)學(xué)家們同時也感到歐氏幾何中存在著某種瑕疵。其中最讓數(shù)學(xué)家們感到不大舒服的是第五公設(shè)。 ? 第五公設(shè)所說明的事實不象其他幾條那樣顯而易見，缺少作為一條公設(shè)所必須有的自明性。 ? 人們不懷疑其真實性，但懷疑其作為公設(shè)的資格。因此許多人試圖來證明第五公設(shè)。 非歐幾何的創(chuàng)立 ? 1792年高斯（ Carl Friedrich Gauss 17771855）十五歲時就開始考慮第五公設(shè)問題。 ? 1816年左右他已獲得了非歐幾何的基本思想，確信存在一種與歐氏幾何不同的幾何學(xué)。 創(chuàng)始人？ ? 但是高斯有一個習(xí)慣，在任何情況下，他都把他的結(jié)果保密一段時間。 ? 所以數(shù)學(xué)史上認(rèn)為首先確立非歐幾何的是另外兩位數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和波耶。 ? 高斯這樣做或許還出于別的考慮，主要是為了少招徠愚蠢的偏見。因為他說過，“它的公開將引起愚人的叫喊”。 ? 第一個公開發(fā)表非歐幾何論文的羅巴切夫斯基的確付出了相當(dāng)大的代價。 羅巴切夫斯基 ? 羅巴切夫斯基 Nikolai Ivanovich Lobachevskii（ 17931856） 大約在 1815年開始研究第五公設(shè)問題。 ? 羅巴切夫斯基以深刻的洞察力提出了導(dǎo)致幾何學(xué)革命的新思想。他大膽預(yù)言，由第五公設(shè)的否命題出發(fā)而得到的結(jié)果代表著一種新的幾何學(xué)。 非歐幾何的誕生及其阻力 1826年 2月 11日羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)物理數(shù)學(xué)系會議上宣讀了題為 《 幾何學(xué)原理簡述及平行線定律的嚴(yán)格證明 》 的論文。 在否定第五公理的同時，假設(shè)其反面之一：“過已知直線外一點，可作多于一條的直線與已知直線平行”，建立了一門新的幾何學(xué)。這是過去 2022年以來的重大突破。 但是在一般人心目中，甚至數(shù)學(xué)家的心目中，歐幾里德堡壘是如此堅固。羅巴切夫斯基的工作 得到的是許多數(shù)學(xué)大家的嘲笑、諷刺 。 波耶（ 18021860， J225。nos Bolyai） ? 非歐幾何的另一位創(chuàng)始人是匈牙利數(shù)學(xué)家波耶。 ? 就讀于維也納工學(xué)院的波耶醉心于第五公設(shè)問題。 ? 在 1820年左右他相信建立一套新幾何學(xué)是完全可能的。 ? 波耶和羅巴切夫斯基所描述的非歐幾何習(xí)慣上稱為羅巴切夫斯基幾何或雙曲幾何。 羅巴切夫斯基幾何的基本特征 （ 1）承認(rèn)空間是彎曲的，任何直線都是曲線，任何平面都是曲面； （ 2）其所描述的空間曲率處處等于一個非零常數(shù)；就是說空間處處一樣彎，并且是均勻的； （ 3）認(rèn)為平面上過一點可以作無數(shù)條直線和一已知直線不相交，它們和已知直線都不能保持同一距離； （ 4）三角形三內(nèi)角之和小于 180度； （ 5）圓的周長與半徑不成比例，而是比半徑增長得快。 黎曼 Bernhard Riemann 18261866 非歐幾何在創(chuàng)立后三、四十年間完全被學(xué)術(shù)界忽視，直到十九世紀(jì)中期，黎曼的工作導(dǎo)致了突破。 黎曼空間 ? 黎曼在高斯的指導(dǎo)下進行研究。 ? 黎曼認(rèn)為，非歐幾何不僅僅只有一種。他推廣了曲面的高斯曲率，建立起黎曼空間的曲率概念。 ? 在一般黎曼空間中，空間每一點的曲率是不同的，也就是說黎曼空間本質(zhì)上是不均勻的。 黎曼曲率為常數(shù) ? 在黎曼曲率為常數(shù)的特殊情況下，空間分為三種類型： （ 1）零曲率空間，即歐氏幾何空間； （ 2）負(fù)曲率空間，即羅氏幾何空間； （ 3）正曲率空間，即狹義的黎曼幾何空間或稱橢圓幾何空間。 ? 歐氏幾何和羅氏幾何成了更為一般的黎曼幾何的特例。 黎曼幾何的特征 ? 在黎曼幾何中歐幾里德的第五公設(shè)被替換為：通過已知直線外一點，不能畫一條直線與已知直線平行。 ? 作為推論，在黎曼空間中，通過兩點可以畫無窮多條直線； ? 不存在無限長直線的概念； ? 三角形三內(nèi)角之和總大于 180度。 只有一位聽眾懂 ? 1854年黎曼做了題為 《 關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè) 》 的就職講演，在這個講演中正式提出和建立了黎曼幾何。講演題目是高斯指定的。 ? 他的聽眾中除了年邁的高斯之外沒有一個人聽得懂他在說些什么。 ? 黎曼的講演在他死后兩年即 1868年出版。 非歐幾何地位的確立 ? 同一年 (1868)意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米（ Beltrami， 18351899）給出了羅氏幾何的一個歐幾里德解釋； ? 克萊因（ Klein， 18491925）在 1870年給出了另一個更直觀的模型，使得原來似乎復(fù)雜和難以接受的思想變得易于理解了。 ? 以貝爾特拉米和克萊因的工作為契機，非歐幾何在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的地位才牢固地確立起來。 解決了平行公理的獨立性問題。推動了一般公理體系的獨立性、相容性、完備性問題的研究，促進了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展。 證明了對公理方法本身的研究能推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，理性思維和對嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯和完美的追求，推動了科學(xué)的進步。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，各分支紛紛建立了自己的公理體系，包括被公認(rèn)為最困難的概率論也在20世紀(jì) 30年代建立自己的公理體系。實際上公理化的研究又孕育了 元數(shù)學(xué) 的產(chǎn)生和發(fā)展。 非歐幾何的產(chǎn)生的重大意義 非歐幾何實際上預(yù)示了相對論的產(chǎn)生，就象微積分預(yù)示了人造衛(wèi)星一樣。非歐幾何與相對論和匯合是科學(xué)史上劃時代的事件。人們都認(rèn)為是愛因斯坦創(chuàng)立了相對論，但是，也許愛因斯坦更清楚，是他和一批數(shù)學(xué)家等共同的工作。出現(xiàn)動鐘延緩，動尺縮短，時空彎曲等現(xiàn)象。這些都是非歐幾何與相對論的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。 非歐幾何的產(chǎn)生的重大意義 思考題 1. 解析幾何的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)史上有何重大意義？ 2. 牛頓和萊布尼茲各自在建立微積分的過程中分別有什么特點？共同的局限是什么？ 3. 非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立過程中有哪些學(xué)者作出了重要貢獻？ 4. 從非歐幾何學(xué)的發(fā)展中說明科學(xué)發(fā)展的內(nèi)在邏輯。 本節(jié)主要參考書 1.[美 ]克萊因著 《 古今數(shù)學(xué)思想 》 （ 上海科學(xué)技術(shù)出版社 ） 《 數(shù)學(xué) —— 它的內(nèi)容 、 方法和意義 》 （ 科學(xué)出版社 ） 《 微積分概念 —— 對導(dǎo)數(shù)與積分的歷史性評述 》 （ 上海人民出版社 ） 、 孔國平 《 世界數(shù)學(xué)史 》 （ 吉林教育出版社 ）