【正文】 .??????????????????? ??????????? 4 分 （ 2） 解法 1： 由（ 1）知， CO OD? ，如圖，以 O 為原點(diǎn)， OC ， OD 所在的直線分別為 x 軸， y 軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz? ，?????????????????????? 5分 20 / 55 則有 ? ?0,0,0O ， ? ?0, 2,0D ， ? ?2,0,0C ， ? ?0, 2,0B ? ． 設(shè) ? ?00,0,A x z ? ?0 0x ? ，則 ? ?00,0,OA x z? ，? ?0, 2,0OD ? ． ???????????? 6分 又設(shè)面 ABD 的法向量為 ? ?1 1 1,x y z?n ， 則 0,0.OAOD? ????????nn即 0 1 0 110,2 0.x x z zy???????? 所以 1 0y? ，令 10xz? ，則 10zx?? ． 所以 ? ?00,0,zx??n ． ? ???????? 8 分 因?yàn)槠?面 BCD 的一個(gè)法向量為 (0,0,1)?m ， 且 二 面 角 A BD C?? 的 大 小 為120 ， ???????????????????? ???? 9 分 所以 1c o s , c o s 1 2 0 2??mn ，得 2020 3xz ? ． 因?yàn)?2?OA ，所以 22020 ?? zx ． 解得 26,2200 ??? zx． 所以 26, 0,22A???????．???? KKKsss555uuu???????? 10 分 設(shè)平面 ABC 的法向量為 ? ?2 2 2,x y z?l ，因?yàn)? ?26, 2 , , 2 , 2 , 022B A B C??? ? ?????， 則 0,0.BABC? ????????ll，即 2 2 222262 0 ,2 2 0.x y zxy?? ? ? ??????? 令 2 1x? ，則 3,1 22 ??? zy ． 所以(1,1,3)??l ．??????????????????????????????? 12 分 設(shè) 二面角 A BC D??的平面角為 ? ， A B C D O y x z 21 / 55 23 15c os c os ,51 1 ( 3 )? ? ? ? ???lm．????????????????? 13 分 所以 6tan 3?? ． 所以 二面角 A BC D?? 的 正 切 值 為63 ．???? ?????????????????? 14 分 解法 2： 折疊后在△ ABD 中， BD AO? ， 在△ BCD 中， BD CO? ． ?? ????????? 5 分 所以 AOC? 是二面角 A BD C??的平面角， 即 120AOC??． ??????????????? 6 分 在△ AOC 中， 2?? COAO ， 6AC? ． ????????????????? ???????????????? 7 分 如圖， 過點(diǎn) A 作 CO 的垂線交 CO 延長線于點(diǎn) H ， 因?yàn)?BD CO? ， BD AO? ，且 CO AO O? ， 所以 BD? 平面 AOC ．?????????????? KKKsss555uuu???????? 8 分 因?yàn)?AH? 平面 AOC ，所以 BD AH? ． 又 CO AH? ，且 CO BD O? ，所以 AH? 平面BCD．?????????? ???? 9分 過點(diǎn) 作 A 作 AK BC? ，垂足為 K ，連接 HK ， 因?yàn)?BC AH? ， AK AH A? ，所以 BC? 平面 AHK ． ?????????????10分 因?yàn)?HK? 平面 AHK ，所以 BC HK? ． 所以 AKH? 為二面角 A BCD?? 的 平 面角．???????????????????? 11 分 在△ AOH 中， 60AOH??， 2AO? ，則 62AH? ， 22OH? ， 3 222C H C O O H? ? ? ? ?．????????????????????? 12 分 在 Rt △ CHK 中， 45HCK?? ， 所 以232 ?? CHHK??????????????? 13 分 A B C D O H K 22 / 55 在 Rt △ AHK 中， tan AKH??362326??KHAH ． 所以 二面角 A BC D?? 的 正 切 值 為63 ．???? ??? ??????????????? 14 分 19． （本小題滿分 14 分） （ 1）由題設(shè)知 ， 22 ,02aA a???????， ? ?21 2,0Fa?， KKKsss555uuu???????????? 1 分 由 112OF AF??0 ， 得???????? ????? 2222 22 22 aa aa ．?????????????? 3 分 解得 62?a ． 所以 橢圓 M 的 方 程 為126: 22 ?? yxM ．???? ?????????????????? 4 分 （ 2） 方法 1： 設(shè) 圓 ? ? 12: 22 ??? yxN 的圓心為 N ， 則? ? ? ?NPNFNPNEPFPE ????? ? ?????? ????????????????? 6分 ? ? ? ?NF NP NF NP? ? ? ? ??? KKKsss555uuu????????????????? 7分 2 2 2 1NP NF NP? ? ? ?．???????????????????? ???? 8 分 從而 求 PFPE? 的 最 大 值 轉(zhuǎn) 化 為 求 2NP 的 最 大值 ．?????? ? ??????????? 9 分 因?yàn)?P 是 橢 圓 M 上 的 任 意 一 點(diǎn) ， 設(shè)? ?00,yxP ， ??? ???????????????? 10 分 23 / 55 所以 12600??yx ， 即2020 36 yx ?? ．???????????????? ?????? 11 分 因 為 點(diǎn) ? ?2,0N ， 所以? ? ? ? 12122 2020202 ??????? yyxNP ．??????????? 12 分 因?yàn)? 2, 2y ??????，所以 當(dāng) 10 ??y 時(shí)， 2NP 取 得 最大值 12．????? ??????13 分 所以 PFPE? 的 最 大 值 為11．??????????????????????????? 14 分 方法 2： 設(shè)點(diǎn) 1 1 2 2 0 0( , ) , ( , ) , ( , )E x y F x y P x y， 因?yàn)?,EF 的 中 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 (0,2) ， 所 以21,???? ??? ?????????????????? 6 分 所以0 2 0 1 0 2 0) ( ) ( ) ( )P E P F x x x x y y y y? ? ? ? ? ? ?????????????????? 7 分 1 0 1 0 1 0 1 0( ) ( ) ( ) ( 4 )x x x x y y y y? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 20 1 0 1 1 044x x y y y y? ? ? ? ? ? 2 2 2 20 0 0 1 1 14 ( 4 )x y y x y y? ? ? ? ? ?．??????????????????? 9 分 因?yàn)辄c(diǎn) E 在圓 N 上，所以 2211( 2) 1xy? ? ?，即 221 1 143x y y? ? ? ?．?????????10 分 因?yàn)辄c(diǎn) P 在橢圓 M 上，所以 2202262xy??，即 220223xy?? ．?????????????11 分 EPF?002 4 9yy? ? ? ? 02( 1 ) 11? ? ?．????????????????? 12 分 因?yàn)?0[ 2 , 2 ]y?? ，所以當(dāng) 01y?? 時(shí)，? ?m i n11PE PF??．?????????? ?? 14 分 24 / 55 方法 3 ：① 若 直線 EF 的斜率存在 ，設(shè) EF 的方程為2y kx??，???????????? 6 分 由??? ??? ?? 1)2( 222 yxkxy ， 解得12???kx．?????? ??????????????? 7 分 因?yàn)?P 是橢圓 M 上的任一點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn) ? ?00,yxP ， 所以 12600??yx ， 即2020 36 yx ?? ．?????????????????????? 8 分 所以00221 ,211kP E x ykk??? ? ? ???????，00221 ,211 kP F x ykk??? ? ? ? ? ??????? ???????????????????? 9 分 11)1(21)2(1)2(11 2020202 220220 ???????????????? yyxk kykxPFPE ． ???????????????????? 10 分 因?yàn)? 2 , 2y ??????，所以 當(dāng) 10 ??y 時(shí)， PFPE? 取 得 最大值11．?? ???????? 11 分 ②若 直線 EF 的斜率不存在 ，此時(shí) EF 的方程為 0x? ， 由220( 2) 1xxy??? ? ? ??， 解得 1y? 或 3y? ． 不妨設(shè)， ? ?0,3E ， ? ?0,1F ．????????????? KKKsss555uuu??????? 12 分 因?yàn)?P 是橢圓 M 上的任一點(diǎn)， 設(shè)點(diǎn) ? ?00,yxP ， 所以 126 2020 ?? yx ， 即 2020 36 yx ?? ． 25 / 55 所以 ? ?00,3PE x y? ? ? ， ? ?00,1PF x y? ? ? ． 所以 2 2 20 0 0 04 3 2( 1 ) 11P E P F x y y y? ? ? ? ? ? ? ? ?． 因?yàn)? 2 , 2y ??????，所以 當(dāng) 10 ??y 時(shí)， PFPE? 取 得 最大值11．?????????? 13 分 綜上可知， PFPE? 的最大值為11．???????????????????????? 14 分 20． （本小題滿分 14 分） （ 1） 方法 1： 假設(shè)存在實(shí)數(shù) ? ， 使數(shù)列 ??nb 為等比數(shù)列， 則有13b b?． ①??? ? ?????????? 1 分 由 1 1a? ， 2 3a? ，且 112n n na a a???? ，得 3 5a? ， 4 11a? ． 所以 1 2 13b a a??? ? ? ? ， 2 3 2 53b a a??? ? ? ? ，3 4 3 11 5b a a??? ? ? ?，?????? 2分 所以 ? ? ? ?? ?25 3 3 1 1 5? ? ?? ? ? ?， 解得 1? 或2??? ．??????????????????????????????? 3 分 當(dāng) 1?? 時(shí)， 1n n nb a a???， 11n n nb a a???? ，且 1 2 1 4b a a? ? ? ， 有? ?111 1 12 2n n nn n nn n n n na a ab a ab a a a a??? ? ????? ? ???? ?2n≥ ．?????????????????? 4分 當(dāng) 2??? 時(shí)， 1 2n n nb a a???， 112n n nb a a???? ，且 1 2 121b a a? ? ? ， 有? ?111 1 1222 122n n nn n nn n n n na a ab a ab a a a a??? ? ????? ? ? ???? ?2≥ ．???????????????? 5分 所以存在實(shí)數(shù) ? ，使數(shù)列 ??nb 為等比數(shù)列． 當(dāng) 1?? 時(shí)，數(shù)列 ??nb 為首項(xiàng)是 4 、公比是 2 的等比數(shù)列； 26 / 55 當(dāng) 2??? 時(shí)，數(shù)列 ??nb 為首項(xiàng)是 公比是 1? 的等比數(shù)列．?????????????? 6 分 方法 2： 假設(shè)存在實(shí)數(shù) ? ，使數(shù)列 ??nb 為等比數(shù)列， 設(shè)1nnb qb? ?? ?2n≥ ，???????????????????????????????? 1分 即