【正文】 應(yīng)的點(diǎn)在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14 / 55 3． 已知向量 ? ?21? ，a ， ? ?2x??，b ，若 a ∥ b ，則 a+ b 等于 A． ? ?2, 1?? B． ? ?2,1 C． ? ?3, 1? D． ? ?3,1? 4．等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，已知 85?a ， 63?S ，則 710 SS ? 的值是 A． 24 B． 48 C． 60 D． 72 5．設(shè)隨機(jī)變量 ? ?2~ 1,5XN ，且 ? ? ? ?02P X P X a? ? ? ?，則實(shí)數(shù) a 的值為 A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 6． 在正四棱錐 V ABCD? 中，底面正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，側(cè)棱長(zhǎng)為 2，則異面直線 VA 與BD 所成角的大小為 A． 6? B． 4? C． 3? D． 2? 7．已知函數(shù) 3( ) s in 2 ( )2f x x x???? ? ????? R， 給出 下面 四個(gè)命題：① 函數(shù) )(xf 的最小正周期為 ? ； ② 函數(shù) )(xf 是 偶 函數(shù) ；③ 函數(shù) )(xf 的圖象關(guān)于直線 4x ?? 對(duì)稱 ；④ 函數(shù) )(xf 在區(qū)間0,2???????上是 增 函數(shù) ，其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) 8． 定義：若函數(shù) )(xf 的圖像經(jīng)過(guò)變換 T 后所得圖像對(duì)應(yīng) 函數(shù) 的值域 與 )(xf 的值域相同，則稱變換 T 是 )(xf 的同值 變換． 下面給出 四個(gè)函數(shù) 及其 對(duì)應(yīng)的變換 T ，其中 T 不屬于 )(xf的同值變換的是 A． 2)1()( ?? xxf ， T 將函數(shù) )(xf 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱 B． 12)( 1 ?? ?xxf ， T 將函數(shù) )(xf 的圖像關(guān)于 x 軸對(duì)稱 KKKsss555uuu C． 32)( ?? xxf ， T 將函數(shù) )(xf 的圖像關(guān)于點(diǎn) ? ?1,1? 對(duì)稱 D． ( ) sin3f x x ?????????， T 將函數(shù) )(xf 的圖像關(guān)于點(diǎn) ? ?1,0? 對(duì)稱 二、填空題：本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分． （一）必做題 （ 9～ 13 題） 9． 52 1?????? ?xx展開(kāi)式中 4x 的系數(shù)為 (用數(shù)字作答 ). 15 / 55 10． 向面積為 S 的三角形 ABC 內(nèi)任投一點(diǎn) P ，則△ PBC 的面積小于 3S 的概率是 ． 11． 已知程序框圖如右，則輸出的 i = ． KKKsss555uuu 12．已知 實(shí)數(shù) yx, 滿足 0,1,2 2 1 0.xyxy??????? ? ??若目標(biāo)函數(shù) yaxz ?? ? ?0?a 取 得 最 小 值時(shí) 的 最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè) ，則 實(shí)數(shù) a 的值為 _____． 13． 已知直線 ? ?2y k x??? ?0k? 與 拋物線 2 8yx? 相交于 A 、 B 兩 點(diǎn)， F 為拋物線的焦點(diǎn)，若 2FA FB? ，則 k 的值為 ． （二）選做題（ 14～ 15 題，考生只能從中選做一題） 14． （幾何證明選講選做題） 如右圖， AB 是圓 O 的直徑，直線 CE 與 圓 O 相切于點(diǎn) C ， AD CE? 于點(diǎn) D ，若圓 O 的面積為 4? ， 30ABC??，則 AD 的長(zhǎng)為 ． 15． （極坐標(biāo)與參數(shù)方程選 做 題） 在極坐標(biāo)系中， 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 2 2,4???????，曲線 C 的方程為 ?? cos2? ， 則 OA （ O 為極點(diǎn)）所在直線被 曲線 C 所截弦的長(zhǎng)度 為 ． 三、解答題： 本大題共 6 小題，共 80 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 16． （本小題滿分 12 分） 如圖， 在 ABC? 中，點(diǎn) D 在 BC 邊上， 33AD? ， 5sin 13BAD??， 3cos 5ADC??． （ 1）求 sin ABD? 的值； （ 2）求 BD 的長(zhǎng)． 17． （本小題滿分 12 分） 某城市為準(zhǔn)備參加“全國(guó)文明城市”的評(píng)選，舉辦了“文明社區(qū)”評(píng)選的活動(dòng)，在第一輪暗訪評(píng)分中，評(píng)委會(huì)對(duì)全市 50 個(gè)社區(qū)分別從“居民素質(zhì)”和“社區(qū)服務(wù)”兩項(xiàng)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分均采用 5 分制，若設(shè)“社區(qū)服務(wù)”得分為 x 分 ，“居民素質(zhì)”得分為 y 分 ，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表： y 社區(qū)數(shù)量 x 居民素質(zhì) 1 分 2 分 3 分 4 分 5 分 社 1 分 1 3 1 0 1 開(kāi) 始1S?結(jié) 束3i?100?S?i輸 出2ii??*S S i?是否A D E C B O A BA CA DA 16 / 55 區(qū) 服 務(wù) 2 分 1 0 7 5 1 3 分 2 1 0 9 3 4 分 a b 6 0 1 5 分 0 0 1 1 3 （ 1） 若“居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務(wù)”得分均不低于 3 分 （即 3x? 且 3y? ） 的社區(qū)可以進(jìn)入第二輪評(píng)比， 現(xiàn)從 50 個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)，求這個(gè) 社區(qū) 能 進(jìn)入第二輪評(píng)比的概率； （ 2） 若在 50 個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)，這個(gè)社區(qū)的 “居民素質(zhì)”得分 y 的 均值（即數(shù)學(xué)期望 ） 為 16750 ，求 a 、 b 的值． 18.（本小題滿 分 14 分） 已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， AC BD O? ． 將正方形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折起，使 AC a? ，得到三棱錐 A BCD? ，如圖所示 ． （ 1）當(dāng) 2a? 時(shí)，求證： AO BCD? 平 面 ； （ 2） 當(dāng)二面角 A BD C??的大小為 120 時(shí)，求二 面角 A BC D??的正切值 ． 19． （本小題滿分 14 分） 設(shè)橢圓 222:12xyM a ??? ?2a?的右焦點(diǎn)為 1F ， 直線2: 22?? aaxl與 x 軸交于點(diǎn) A ，若 112OF AF??0（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）． （ 1）求橢圓 M 的方程； （ 2）設(shè) P 是橢圓 M 上的任 意 一點(diǎn)， EF 為圓 ? ? 12: 22 ??? yxN 的任意一條直徑 （ E 、F 為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)） ，求 PFPE? 的最大值． 20.（本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 2 3a? ，且 112n n na a a???? ? ?2n≥ ． A B C D O 17 / 55 （ 1）設(shè) 1n n nb a a????，是否存在實(shí)數(shù) ? ，使數(shù)列 ??nb 為等比數(shù)列．若 存在，求出 ? 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 2）求數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ． 21． （本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) ? ? 3 2( ) l n 2 1 23xf x a x x a x? ? ? ? ?? ?a?R ． （ 1）若 2x? 為 )(xf 的極值點(diǎn) ， 求 實(shí)數(shù) a 的值 ； （ 2）若 )(xfy? 在 ? ?3,?? 上為增函數(shù) ， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ； （ 3） 當(dāng) 12a?? 時(shí)， 方程 ? ? ? ?311+3x bfx x??? 有實(shí)根 ， 求實(shí)數(shù) b 的 最大值 ． 廣州市 2022 屆高三 年級(jí)調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)（理科）試題參考答 案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 說(shuō)明： 1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)． 2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再 18 / 55 給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累 加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分． 一、選擇題： 本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算． 共 8小題，每小題 5分，滿分 40分 . 二、填空題： 本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算． 本大題共 7 小題， 考生作答 6 小題， 每小題 5 分 ，滿分 30 分 ． 其中 14～ 15題是選做題，考生只能選做一題 ． 9． 10 10． 59 11． 9 12． 1? 13. 22 14． 1 15． 2 三、解答題： 本大題共 6 小題，共 80 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 16． （本小題滿分 12 分） 解： （ 1） 因?yàn)?3cos 5ADC??， 所以24si n 1 c o s5 D C A D C? ? ? ? ?． ???????????????? ?????? 2分 因?yàn)?5sin 13BAD??， 12c o s 1 si n 13B A D B A D? ? ? ? ?． ?????????????????? ???? 4分 因?yàn)?ABD ADC BAD? ? ? ? ?， 所以 ? ?sin sinA B D A D C B A D? ? ? ? ? si n c os c os si nADC BAD ADC BAD? ? ? ? ? ? ??? ????????? 6分 4 1 2 3 5 3 35 1 3 5 1 3 6 5? ? ? ? ?． ? ????????????????????? 8 分 （ 2） 在△ ABD 中 ，由正弦定理，得 s in s inB D A DB A D A B D???，????? ???????10分 所以533sin 13 2533sin65A D B A DBDABD???? ? ?? ．???????????????????? 12分 17． （本小題滿分 12 分） 解： （ 1）從表中可以看出，“居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務(wù)”得分均不低于 3 分 （即 3x?題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B A D C B 19 / 55 且 3y? ） 的社區(qū)數(shù)量為 24 個(gè)．???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?KKKsss555uuu???????????? 2 分 設(shè) 這個(gè) 社區(qū) 能 進(jìn)入第二輪評(píng)比為事件 A ，則 ? ?PA? 24 1250 25? ． 所以 這 個(gè)社區(qū) 能 進(jìn)入第二輪評(píng)比的概率為1225 ． ???????????????????? 4 分 （ 2）由表可知“居民素質(zhì)”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分、 4 分、 5 分， 其對(duì)應(yīng)的社區(qū)個(gè)數(shù)分別 為 ? ?4a? 個(gè) 、 ? ?4b? 個(gè) 、 15 個(gè) 、 15 個(gè) 、 9個(gè) ．?????????????????????? 6 分 所以“居民素質(zhì)”得分 y 的分布列為： y 1 2 3 4 5 p 504?a 504?b 5015 1550 509 ?????????????? 8 分 因?yàn)椤熬用袼刭|(zhì)”得分 y 的 均值（ 數(shù)學(xué)期望 ） 為 16750 ， 所以501675095501545015350 4250 41 ???????????? ba ．????????? ???? 10 分 即 25ab??． 因?yàn)樯鐓^(qū)總數(shù)為 50 個(gè) ，所以 47 50ab? ? ? ． 解得 1a? ，2b? ．??????????????? ? ??????????????? 12 分 18． （本小題滿分 14 分） （ 1） 證明： 根據(jù)題意，在 AOC? 中， 2??aAC ， 2?? COAO ， 所以 2 2 2AC AO C O?? ， 所以COAO? .????????????????????? 2分 因?yàn)?AC BD、 是正方形 ABCD 的對(duì)角線， BD．????????????????????????????????? 3 分 因?yàn)?BD CO O? ， BCD平面.