【正文】 圖所示，在 ABCD 中 E， F 是對角線 AC 上的兩點(diǎn)，且 AF=EC，求證： DE=BF. 27 分析：證明三角形全等即可，當(dāng)然還可以構(gòu)造平行四邊形證明對邊相等 . 證明 1 ∵ ABCD 中， DC=BA， DC//AB， ∴∠ DCE=∠ BAF， 在 ΔDCE與 ΔBAF中，有 DC=BA， ∠ DCE=∠ BAF， CE=AF， ∴ ΔDCE≌ ΔBAF， ∴ DE=BF. 證明 2 連結(jié) BD 交 AC 于 O 點(diǎn)，連結(jié) DF、 BE，在 ABCD 中， DO=OB， AO=OC， 又 ∵ AF=EC， ∴ AFAO=CEOC 即 OE=OF， ∴ DEBF 是平行四邊形， ∴ DE=BF 說明：證法 2 是應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)與判定定理證出結(jié)論的，它顯得比證法 1 簡捷 .同時，作平行四邊形對角線為輔助線是證題的常用方法，同學(xué)們一定要重視平行四邊形對角線的作用，因?yàn)樗鼈兊拈L短、位置的不同，就會得到不同的特殊平行四邊形 . 例 知：如圖，菱形 ABCD 的邊長為 3，延長 AB 到點(diǎn) E，使 BE＝ 2AB，連結(jié) EC 并延長交 AD 的延長線于點(diǎn) F. 求 AF 的長 . 分析 :有兩組平行線可以得到很多比例線段和三角形相似 . 解： ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴ BC//AD， ∴△ BCE∽△ AFE, ， ∵ AB=BC=3， ∴ BE=2AB=6， AE=9， ∵ ， ∴ AF=. 說明：本例利用菱形的性質(zhì)，綜合了平行線的部分性質(zhì)，使問題得以求解，故解題時要建立起知識間的聯(lián)系 . 例 ABCD 中， M 是 AB 的中點(diǎn)， E 是 AB 延長線上一點(diǎn)， MN⊥ DM 且交 ∠ CBE的平分線于 N（如圖 1 所示） （ 1）求證： MD=MN； （ 2）若將上述條件中的 “M是 AB 中點(diǎn) ”改為 “M 是 AB 上的任意一點(diǎn)， ”其余條件不變（如 28 圖 2）所示，則結(jié)論 “MD=MN”還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由 . 分析 :正方形是很完美的四邊形 ,所謂 ”完美 ”是指正方形有很好 “對稱性 ”,有許多相等的 線段和角，所以構(gòu)造全等的三角形極為簡便 .本題目證明 DM=MN,構(gòu)造全等的方法有： （ 1）取 AD 的中點(diǎn)連結(jié) MF，證明 ΔDFM≌ ΔMBN； （ 2）作 NG⊥ AE 于 G，證明 ΔDAM≌ ΔMGN，如圖 3. 略解（ 1）取 AD 中點(diǎn) F，連結(jié) MF，可證 ΔDFM≌ ΔMBN，從而得出 DM=MN.（第二種方法同學(xué)們自己試試吧） （ 2）結(jié)論： DM=MN 仍成立，在 AD 上截取 AF，使 AF=AM，連結(jié) FM，可證出 ΔDFM≌ΔMBN，從而得出 DM=MN. 說明：這是一例探索性考題，（ 1）的結(jié)果為（ 2）的猜想提供了 借鑒的依據(jù)，又為猜想設(shè)置了障礙，前面的證明思路是后面證明猜想的模式 .這是一類大有發(fā)展前途的考題 . 例 ：如圖，在梯形 ABCD 中， AB//DC，中位線 EF=7cm, 對角線 AC⊥ BD， ∠ BDC=30176。，求梯形的高 AH. 分析：平移對角線可以使條件集中在一起，便于使用 . 解：過 A 作 AM//BD，交 CD 的延長線于 M， ∵ AB//DC ∴ DM=AB, ∠ AMC=∠ BDC=30176。， 又 ∵ 中位線 EF=7cm, ∴ CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm. 又 ∵ AC⊥ BD， ∴ AC⊥ AM， ∴ AC= CM=7cm, 29 ∵ AH⊥ CD,∠ ACD=60176。, ∴ AH=ACsin60176。= (cm). 說明：本例利用已知條件，通過輔助線構(gòu)造直角三角形求解，平移梯形對角線、平移梯形腰等是解梯形問題常用輔助線 . 例 ，有一塊面積為 1 的正方形 ABCD， M、 N 分別為 AD、 BC 邊上的中點(diǎn)，將 C 點(diǎn)折至 MN 上，落在 P 點(diǎn)位置，折痕為 BQ，連結(jié) PQ； （ 1）求 MP； （ 2）求證：以 PQ 為邊長的正方形的面積等于 。 分析：對折的幾何題目有兩點(diǎn)一定要注意： 一是對折的兩個三角形全等，二是求線段的長度或者求角度通常集中到一個直角三角形中完成 . 解：（ 1）連結(jié) BP， ∵ BQ 是 ΔBQC和 ΔBQP的對稱軸， ∴ PB=BC=1， 又 ∵ M、 N 是 AD、 BC 上的中點(diǎn)， BN= ， ∴ PN= ， ∴ MP=1 證明（ 2）：由 （ 1）得 BN= BP， ∴∠ PBN=60176。， 又 ∵ BQ 平分 ∠ PBC， ∴∠ PBQ=30176。， PQ＝ BP＝ ∴ PQ2= . 30 說明：以正方形為背景的折紙問題也是近年來興起的一類新題型，解決這類問題的一般思路是：利用軸對稱圖形的有關(guān)性質(zhì)，尋找對稱線段，進(jìn)而構(gòu)造三角形后再用勾股定理求其解 . 例 ， ΔABC中， BC=a， 若 D E1 分別是 AB、 AC 的中點(diǎn)，則 D1E1= a； 若 D E2 分別是 D1B、 E1C 的中點(diǎn)，則 D2E2= ( +a)= a； 若 D E3 分別是 D2B、 E2C 的中點(diǎn)，則 D3E3= ( a+a)= a； …… 若 Dn、 En 分別是 Dn1B、 En1C 的中點(diǎn)，則 DnEn=_________(n≥1，且 n 為整數(shù)） . 析解：這是一道探索規(guī)律型的考題，題中多次涉及到利用三角形、梯形中位線定理解題的思路 . 依據(jù)三角形中位線定理，有 D1E1= a= a； 依據(jù)梯形中位線定理，有 D2E2= ( +a)= a= a； 同理， D3E3= ( a+a)= a= a； 依次類推可有 DnEn= a，其中 n≥1且 n 為整數(shù) . 例 ，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角 A、 B、 C、 D 處均種有一棵大核桃樹 .田村準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴(kuò)大一倍，又想保持該核桃樹不動，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形形狀，請問田村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請你設(shè)計并畫出圖形；若不能，請說明 理由（畫圖要保留痕跡，不寫畫法） 析解：這是一道考查學(xué)生動手作圖的能力設(shè)計題，題中要求擴(kuò)建后的池塘：面積擴(kuò)大一倍，形狀成平行四邊形，且核桃樹不動 . 這樣的圖形設(shè)計方案，只能連結(jié) AC 與 BD 交于 O 點(diǎn)，將原池塘分割成四塊，分別以 AB、BC、 CD、 DA 為對角線，向外作 AOBE、 BOCF、 CODG、 DOAH. 31 連結(jié) EF、 FG、 HE，就可得到 EFGH. 如圖，依據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)，其設(shè)計合乎題設(shè)要求 . 例 ：如圖，把矩形紙片 OABC 放入直角坐標(biāo)系 xOy 中 ，使 OA、 OC 分別落在 x 軸、y 軸的正半軸，連結(jié) AC，將 ΔABC沿 AC 翻折，點(diǎn) B 落在該坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)這個落點(diǎn)為 D， CD 交 x 軸于點(diǎn) E，如果 CE=5，OC、 OE 的長是關(guān)于 x 的方程 x2+(m1)x+12=0 的兩根，并且 OCOE. （ 1）求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（ 2）如果點(diǎn) F 是 AC 的中點(diǎn)，判斷點(diǎn) (8,20)是否在過 D、 F 兩點(diǎn)的直線上，并說明理由 . 分析：畫出符合題意的示意圖 （ 1）由根與系數(shù)的關(guān)系可知 OCOE=12，又因 CE=5， OCOE， 在 RtΔCOE中，結(jié)合勾股定理得 OC=4， OE=3， 由矩形性質(zhì)及翻折圖形全等，可知 DA=AB=OC=4， 過點(diǎn) D 作 DM⊥ OA 于 M，易證 ΔOCE∽ ΔMDE∽ ΔMAD， 利用線段的比例關(guān)系，可得： DM= OE= 3= ， EM= OE= ∴ OM=OE+EM=3+ = ∴ 第四象限內(nèi)的點(diǎn) D 為 ( , ). （ 2）由 ΔOCE∽ ΔMAD，故 AM= OC= 4= ，所以 OA=OM+MA= =8， 則 A， C 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (8,0)， (0,4)，利用三角形中位線性質(zhì)可求出 F 點(diǎn)坐標(biāo)為 (4,2)， 又知點(diǎn) D 坐標(biāo) ( , )，于是可得直線 DF 的解析式為 y= x+24. 32 當(dāng) x=8 時， 8+24=20=（ 8，－ 20）在過 D、 F 兩點(diǎn)的直線上 . 函數(shù)總復(fù)習(xí)（－） 函數(shù)研究的是變量數(shù)學(xué)，它較之常量數(shù)學(xué)能更深刻地反映客觀世界中量與形的關(guān)系，從而使函數(shù)成為近代數(shù)學(xué)中很多分支的基礎(chǔ)；函數(shù)與代數(shù)中的代數(shù)式、方程、 不等式等基礎(chǔ)知識有密切的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)能更透徹地理解和靈活地運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識；函數(shù)的內(nèi)容中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想因素，有利于培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn)。 一、用函數(shù)概念與性質(zhì)解題： 用函數(shù)概念與性質(zhì)解題 例 1．已知一次函數(shù) y=(3a2)x+(1b)，求字母 a, b 的取值范圍，使得： （ 1） y 隨 x 的增大而增大； （ 2）函數(shù)圖象與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸的下方； （ 3）函數(shù)的圖象過第 4 象限。 解： a、 b 的取值范圍應(yīng)分別滿足： （ 1）由一次函數(shù) y=kx+b(k≠0)的性質(zhì)可知： 當(dāng) k0 時，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大，即 3a20, ∴ a , 且 b 取任何實(shí)數(shù)。 （ 2）函數(shù)圖象與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0,1b）， ∵ 交點(diǎn)在 x 軸的下方， ∴ 即 a≠ , b1 （ 3）函數(shù)圖象過第 4 象限，則必須滿足 說