【正文】 六、圓的內(nèi)接四邊形 多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫這個(gè)多邊形的外接圓 定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 例如圖6—1，連EF后，可得： ∠DEF＝∠B ∠DEF＋∠A＝180176?！唷螦＋∠B＝18ry∴BC∥DA 七、直線和圓的位置關(guān)系 直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫圓的割線 直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。 直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫直線和圓相離。 若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則： 直線和圓相交d＜r；直線和圓相切d＝r；直線和圓相離d＞r；直線和圓相交d＜r 例如：圖6－2中，直線與圓O相割，有：r＞d 圖6－3中，直線與圓O相切，r＝d 圖6－4中，直線與圓O相離，r＜d八、切線的判定和性質(zhì) 切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑推理1：經(jīng)過圓心且垂直干切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推理2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。 例如圖6－5中，O為圓心，AC是切線，D為切點(diǎn)。 ∠B＝90176。 則有BC是切線 OD是半徑 OD⊥AC 九、三角形的內(nèi)切圓 要求會(huì)作圖，使它和己知三角形的各邊都相切 ∵分角線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等?！鄡蓷l分角線的交點(diǎn)就是圓心。 這樣作出的圓是三角形的內(nèi)切圓，其圓心叫內(nèi)心，三角形叫圓的外切三角形。 和多邊形各邊都相切的圓叫多邊形的內(nèi)切圓，多邊形叫圓的外切多邊形。 十、切線長定理 經(jīng)過圓外一點(diǎn)可作圓的兩條切線。在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫這點(diǎn)到圓的切線長。 切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角，如圖6－6 B、C為切點(diǎn)，O為圓心。 AB＝AC，∠1＝∠2 十一、弦切角 頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角。 弦切角定理弦切角等于它所央的弧對(duì)的圓周角。 推理如果兩個(gè)弦切角所央的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。例如圖6－7，AB為切線，則有：∠C＝∠BAE，∠BAE＝∠D∴∠C＝∠D十二、和圓有關(guān)的比例線段 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。 推理：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 推理：從圓外一點(diǎn)引兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等，如圖6－8，若F為切點(diǎn) 則有：AF2=AHAC，AGAB＝AF2 EMMD=BMMG CNNH=DNNE 十三、圓和圓的位置關(guān)系如圖6－9 若連心線長為d，兩圓的半徑分別為R，r，則： 兩圓外離d ＞R＋r； 兩圓外切d = R＋r； 兩圓相交R－r＜d＜R＋r（R＞r） 兩圓內(nèi)切d = R－r；（R＞r） 兩圓內(nèi)含d＜R－r。（R＞r） 定理相交兩圓的連心線垂直平分丙兩圓的公共弦。 如圖6－10，O1，O2為圓心，則有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分 十四、兩圓的公切線 和兩個(gè)圓都相切的直線叫兩圓的公切線，兩圓在公切線同旁時(shí)，叫外公切線，在公切線兩旁時(shí)，叫內(nèi)公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫公切線的長。 如圖6－11，若 A、B、C、D為切點(diǎn)，則AB為內(nèi)公切線長，CD為外公切線長 內(nèi)外公切線中的重要直角三角形，如圖6－12，OO1A為直角三角形。 d2=（R－r）2＋e2為外公切線長， 又如圖 6－13， OO1C為直角三角形。 d2＝（R十r）2＋ e’2為內(nèi)公切線長。 十五、相切在作圖中的應(yīng)用 生活、生產(chǎn)中常常需要由一條線（線段或孤）平滑地渡到另一條線上，通常稱為圓弧連接，簡稱連接，連接時(shí)，線段與圓弧，圓弧與圓弧在連接外相切，如圖 6－ 14 十六、正多邊形和圓 各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。 定理：把圓分成n（n＞3）等分： （l）依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)按正多邊形； （2）經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形。 定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。 正多邊形的外接（或內(nèi)切）圓的圓心叫正多邊形的中心。外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距。 正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫正多邊形的中心角。 正n邊形的每個(gè)中心角等于 正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心。 若n為偶數(shù)，則正n邊形又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。 邊數(shù)相同的正多邊形相似，所以周長的比等于邊長的比，面積的比等于邊長平方的比。 十七、正多邊形的有關(guān)計(jì)算 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。正多邊形的有關(guān)計(jì)算都?xì)w結(jié)為解直角三角形的計(jì)算。 十八、畫正多邊形 用量角器等分圓 用尺規(guī)等分圓 正三、正六、正八、正四及其倍數(shù)（正多邊形）。 正五邊形的近似作法； 二十、圓周長、弧長 圓周長C＝2πR；弧長 二十一、圓扇形，弓形的面積 l、圓面積：； 扇形面積：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。 在半徑為R的圓中，圓心角為n176。的扇形面積S扇形的計(jì)算公式為： 注意：因?yàn)樯刃蔚幕￠L。所以扇形的面積公式又可寫為 （3）弓形的面積 由弦及其所對(duì)的弧組成的圓形叫做弓形。 弓形面積可以在計(jì)算扇形面積和三角形面積的基礎(chǔ)上求得。如果弓形的弧是劣弧，則弓形面積等于扇形面積減去三角形面積。若弓形的弧是優(yōu)弧，則弓形面積等于扇形面積加上三角形面積。 二十二、圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖 圓柱的側(cè)面展開圖 圓柱可以看作是由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如把矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是一個(gè)圓柱。（圖6一16） AB叫圓柱的軸，圓柱側(cè)面上平行軸的線段CD， C’D’，…都叫圓柱的母線。 圓柱的母線長都相等，等于圓柱的高。 圓柱的兩個(gè)底面是平行的。 圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，如圖6－17，其中AB=高，AC=底面圓周長。 ∴S側(cè)面=2πRh 圓柱的軸截面是長方形一邊長為h，一邊長為2R R是圓柱底半徑，h是圓柱的高。見圖6－8 （2）圓錐的側(cè)面展開圖 圓錐可以看作由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到。 如圖6－19，把Rt△OAS繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形就是圓錐。 旋轉(zhuǎn)軸SO叫圓錐的軸，連通過底面圓的圓心，且垂直底面。 連結(jié)圓錐頂點(diǎn)和底面圓的任意一點(diǎn)的SA、SA’、…都叫圓錐的母線，母線長都相等。 圓錐的側(cè)面展開圖如圖6一19是一個(gè)扇形SAB 半徑是母線長，AB是2πR。（底面的周長），所以圓錐側(cè)面積為S側(cè)面=πRL例題： 例AB是⊙O的直徑，AD⊥CD,BC⊥CD,且AD+BC=AB，求證：⊙O與CD相切；若CD=3，求AD?BC.[特色]本題來源于教材，主要考查切線的判定方法及相似三角形的知識(shí).[解答](1)過O點(diǎn)作OE⊥CD于E. ∵ AD⊥CD， BC⊥CD， ∴ AD∥OE∥BC，又∵AO=BO， ∴DE=CE， ∴ OE=(AD+BC). 而AB=AD+BC，∴ OE=OA， 而OE⊥CD， ∴⊙O與CD相切.(2)連結(jié)AE、BE，∵⊙O與CD相切， ∴ OE⊥CD ， ∠ BAE=∠BEC. 而∠ BAE=∠ OEA， ∠ OEA+∠ DEA=90， ∴∠ DEA+∠BEC=90. 又∵AD⊥CD， ∴∠ DEA+∠ DAE=90，∴∠ DAE=∠BEC， ∴ △AED∽△EBC，∴AD?EC=DE?BC， 即AD?BC=DE?EC==. 例AB為⊙O的直徑，D為弦AC的中點(diǎn)，BC=6cm,則OD= .[特色] 以上幾道中考題均為直接運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)解題.[解答]由三角形的中位線定理知OD=BC 例⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C=,AO的延長線交BC于點(diǎn)D,AC=4,CD=1,則⊙O的半徑等于（ ）. A 、 B、 C、 D、[特色]本題考查內(nèi)心的性質(zhì).[解答] 過點(diǎn)O半徑OE,則OE∥CD,AE∶AC=OE∶CD,設(shè)半徑為R,則（4R）∶4=R∶1,解之得R=,選A. 例圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠A、∠B、∠C的度數(shù)的比是1∶2∶3，則這個(gè)四邊形的最大角是 .[特色]運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行簡單計(jì)算.[解答]設(shè)A=x，則∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180， ∴x+3x=180， ∴ x=45.∴∠A=45， ∠ B=90， ∠C=135， ∠ D=90.∴ 最大角為135.例O和O外切于點(diǎn)C，直線AB分別外切⊙O于A，⊙O于B，⊙O的半徑為1，AB=2，則⊙O的半徑是 . [特色]以上各題都是圓與圓的位置關(guān)系中常見的基本題型，著眼于考查學(xué)生對(duì)兩圓的位置關(guān)系的理解及運(yùn)用.[解答] （1）選B，利用兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，再根據(jù)勾股定理可求得.例將兩邊長分別為4cm和6cm的矩形以其一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的表面積為 cm.[特色]考查圓柱的表面積的計(jì)算，著眼于考查學(xué)生思維的全面性.[解答]以邊長為4cm作母線所得到的圓柱的表面積為80；以邊長為6cm作母線所得到的圓柱的表面積為120.例正六邊形內(nèi)接于半徑為1的圓，其中陰影部分的面積是 .[特色]考查學(xué)生對(duì)基本概念的理解以及基本運(yùn)算能力.[解答] 答案：.作半徑，用扇形的面積減去三角形的面積.