東北三省四市教研聯(lián)合體高考數(shù)學(xué)二模試卷(文)含解析-資料下載頁
2025-01-10 06:40本頁面
【正文】 y=kx+1， 聯(lián)立 ， 得 x2﹣ 4kx﹣ 4=0， 則 ， 切線 PM 的方程為 ， 點(diǎn) P（ x0， y0）代入化簡得 ． 同理得 ， 知 x1， x2 是方程 的兩根， 則 x1x2=4y0=﹣ 4． ∴ y0=﹣ 1，代入圓方程得 x0=0， ∴ 存在點(diǎn) P（ 0，﹣ 1）． 此時(shí)軌跡 E 與直線 PM、 PN 所圍成的圖形的面積： S= =1 ． 21．已知函數(shù) f（ x） =lnx﹣ x． （ I）判斷函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ II）函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) x1， x2，且 x1＜ x2．求證： x1+x2＞ 1． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ Ⅰ ）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； 第 16 頁（共 20 頁） （ Ⅱ ）求出 x1， x2，令 t= ，得到 0＜ t＜ 1，構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 h（ t） ＜ h（ 1），從而證出結(jié)論． 【解答】 解：（ I）因?yàn)楹瘮?shù) f（ x）的定義域?yàn)椋?0， +∞）． … ，． … 令 ，得 0＜ x＜ 1 令 ，得 x＞ 1． … 所以函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ 0， 1）， 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ 1， +∞）． … （ II）證明：根據(jù)題意， ， 因?yàn)?x1， x2 是函數(shù) 的兩個(gè)零點(diǎn)， 所以 ， ． 兩式相減，可得 ， … 即 ，故 ， 那么 ， ． 令 ，其中 0＜ t＜ 1， 則 ． 構(gòu)造函數(shù) ， … 則 ． 因?yàn)?0＜ t＜ 1，所以 h39。（ t） ＞ 0 恒成立， 第 17 頁（共 20 頁） 故 h（ t） ＜ h（ 1），即 ， 可知 ，故 x1+x2＞ 1． … 請考生在 22， 23， 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)，用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑． [選修 41：幾何證明選講 ] 22．已知四邊形 ABCD 為 ⊙ O 的內(nèi)接四邊形，且 BC=CD，其對角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) M．過點(diǎn) B 作 ⊙ O 的切線交 DC 的延長線于點(diǎn) P． （ 1）求證： AB?MD=AD?BM； （ 2）若 CP?MD=CB?BM，求證： AB=BC． 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）利用等腰三角形的性質(zhì)、角分線定理，即可證明結(jié)論； （ 2）證明 ∠ PBC=∠ BCA，利用 ∠ PBC=∠ BAC，證明 ∠ BAC=∠ BCA，即可得出結(jié)論． 【解答】 證明：（ 1）由 BC=CD 可知， ∠ BAC=∠ DAC， 由角分線定理可知， = ，即 AB?MD=AD?BM 得證．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ 2）由 CP?MD=CB?BM， 可知 = ，又因?yàn)?BC=CD，所以 = 所以 PB∥ AC．所以 ∠ PBC=∠ BCA 又因?yàn)?∠ PBC=∠ BAC 所以 ∠ BAC=∠ BCA 所以 AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 23．已知 直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲線 C 的左焦點(diǎn) F 在直線 l 上． （ Ⅰ ）若直線 l 與曲線 C 交于 A、 B 兩點(diǎn)．求 |FA|?|FB|的值； （ Ⅱ ）設(shè)曲線 C 的內(nèi)接矩形的周長為 P，求 P 的最大值． 【考點(diǎn)】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程． 第 18 頁（共 20 頁） 【分析】 （ I）求出曲線 C 的普通方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，將直線 l 的參數(shù)方程代入曲線 C 的普通方程利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義得出； （ II）設(shè)矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， y）， 則根據(jù) x， y 的關(guān)系消元得出 P 關(guān)于 x（或 y）的函數(shù)，求出此函數(shù)的最大值． 【解答】 解：（ I）曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x2+3y2=12，即 ． ∴ 曲線 C 的左焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 F（﹣ 2 ， 0）． ∵ F（﹣ 2 ， 0）在直線 l 上， ∴ 直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）． 將直線 l 的參數(shù)方程代入 x2+3y2=12 得： t2﹣ 2t﹣ 2=0， ∴ |FA|?|FB|=|t1t2|=2． （ II）設(shè)曲線 C 的內(nèi)接矩形的第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)為 M（ x， y）（ 0 ， 0＜ y＜ 2）， 則 x2+3y2=12， ∴ x= ． ∴ P=4x+4y=4 +4y． 令 f（ y） =4 +4y，則 f′（ y） = ． 令 f′（ y） =0 得 y=1， 當(dāng) 0＜ y＜ 1 時(shí)， f′（ y） ＞ 0，當(dāng) 1＜ y＜ 2 時(shí)， f′（ y） ＜ 0． ∴ 當(dāng) y=1 時(shí)， f（ y）取得最大值 16． ∴ P 的最大值為 16． [選修 45：不等式選講 ] 24．已知 ? x0∈ R 使得關(guān)于 x 的不等式 |x﹣ 1|﹣ |x﹣ 2|≥ t 成立． （ Ⅰ ）求滿足條件的實(shí)數(shù) t 集合 T； （ Ⅱ ）若 m＞ 1， n＞ 1，且對于 ? t∈ T，不等式 log3m?log3n≥ t 恒成立，試求 m+n 的最小值． 【考點(diǎn)】 絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式． 【分析】 （ Ⅰ ）根據(jù)絕對值 的幾何意義求出 t 的范圍即可；（ Ⅱ ）根據(jù)級(jí)別不等式的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出 m+n 的最小值即可． 【解答】 解：（ I）令 f（ x） =|x﹣ 1|﹣ |x﹣ 2|≥ |x﹣ 1﹣ x+2|=1≥ t， ∴ T=（﹣ ∞， 1]； （ Ⅱ ）由（ I）知，對于 ? t∈ T， 不等式 ? ≥ t 恒成立， 只需 ? ≥ tmax， 所以 ? ≥ 1， 第 19 頁（共 20 頁） 又因?yàn)?m＞ 1， n＞ 1， 所以 ＞ 0， ＞ 0， 又 1≤ ? ≤ = （ = 時(shí)取 “=”）， 所以 ≥ 4， 所以 ≥ 2， mn≥ 9， 所以 m+n≥ 2 ≥ 6， 即 m+n 的最小值為 6（此時(shí) m=n=3）． 第 20 頁（共 20 頁） 2022 年 8 月 19 日
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