東北三省四市教研聯(lián)合體高考數(shù)學(xué)二模試卷(文)含解析-全文預(yù)覽
【正文】 】 （ I）連接 ED，由中位線性質(zhì)得 MN∥ ED，故 MN∥ 平面 EFDA； （ II）由平面 EFCB⊥ 平面 EFDA 可知 CF⊥ 平面 EFDA，由 M 為 EC 中點(diǎn)得棱錐 M﹣ EFDA的高為 CF 的一半． 【解答】 證明：（ Ⅰ ）連接 ED， ∵ M， N 分別是 EC， CD 的中點(diǎn)， ∴ MN∥ ED，又 MN?平面 EFDA， ED? 平面 EFDA ∴ MN∥ 平面 EFDA． （ Ⅱ ） ∵ 平面 EFDA⊥ 平面 EFCB，平面 EFDA∩平面 EFCB=EF， CF⊥ EF， CF? 平面 EFCB， ∴ CF⊥ 平面 EFDA， ∵ M 是 EC 的中點(diǎn)， ∴ M 到平面 EFDA 的距離 h= CF= ． ∴ VM﹣ EFDA= = =2． 20．曲線 上任意一點(diǎn)為 A，點(diǎn) B（ 2， 0）為線段 AC 的中點(diǎn)． （ Ⅰ ）求動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡 f（ x）的方程； （ Ⅱ ）過軌跡 E 的焦 點(diǎn) F 作直線交軌跡 E 于 M、 N 兩點(diǎn)，在圓 x2+y2=1 上是否存在一點(diǎn) P，使得 PM、 PN 分別為軌跡 E 的切線？若存在，求出軌跡 E 與直線 PM、 PN 所圍成的圖形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題． 【分析】 （ Ⅰ ）設(shè)出 C， A 的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把 A 的坐標(biāo)用 C 的坐標(biāo)表示，然后代入曲線方程求得動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡方程； （ Ⅱ ）假設(shè)存在點(diǎn) P（ x0， y0），使得 PM、 PN 分別為軌跡 E 的切線，設(shè)出 M， N 的坐標(biāo)及直線 MN 的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到 M， N 的橫坐標(biāo)的和與積，然后分別寫出過 M， N 的切線 方程，知 x1， x2 是方程 的兩根，進(jìn)一步求得 P 的坐標(biāo)，則可求得軌跡 E 與直線 PM、 PN 所圍成的圖形的面積． 第 15 頁（共 20 頁） 【解答】 解：（ Ⅰ ）設(shè) C（ x， y）， A（ m， n），則 ， ∴ ， 又 ， ∴ 所求方程為 x2=4y； （ Ⅱ ）假設(shè)存在點(diǎn) P（ x0， y0），使得 PM、 PN 分別為軌跡 E 的切線， 設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2），直線 MN 的方程為 y=kx+1， 聯(lián)立 ， 得 x2﹣ 4kx﹣ 4=0， 則 ， 切線 PM 的方程為 ， 點(diǎn) P（ x0， y0）代入化簡得 ． 同理得 ， 知 x1， x2 是方程 的兩根， 則 x1x2=4y0=﹣ 4． ∴ y0=﹣ 1，代入圓方程得 x0=0， ∴ 存在點(diǎn) P（ 0，﹣ 1）． 此時(shí)軌跡 E 與直線 PM、 PN 所圍成的圖形的面積： S= =1 ． 21．已知函數(shù) f（ x） =lnx﹣ x． （ I）判斷函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ II）函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn) x1， x2，且 x1＜ x2．求證： x1+x2＞ 1． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ Ⅰ ）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； 第 16 頁（共 20 頁） （ Ⅱ ）求出 x1， x2，令 t= ，得到 0＜ t＜ 1，構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 h（ t） ＜ h（ 1），從而證出結(jié)論． 【解答】 解：（ I）因?yàn)楹瘮?shù) f（ x）的定義域?yàn)椋?0， +∞）． … ，． … 令 ，得 0＜ x＜ 1 令 ，得 x＞ 1． … 所以函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ 0， 1）， 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ 1， +∞）． … （ II）證明：根據(jù)題意， ， 因?yàn)?x1， x2 是函數(shù) 的兩個(gè)零點(diǎn)， 所以 ， ． 兩式相減，可得 ， … 即 ，故 ， 那么 ， ． 令 ，其中 0＜ t＜ 1， 則 ． 構(gòu)造函數(shù) ， … 則 ． 因?yàn)?0＜ t＜ 1，所以 h39。設(shè) △ ABC 的外接圓半徑為 R， 則由正弦定理可得 2R= = ，解得 R=1， 故 △ ABC 的外接圓面積 S=πR2=π， 故選： C． 第 8 頁（共 20 頁） 9．如圖，在 長方體 ABCD﹣ A1B1C1D1 中，點(diǎn) P 是棱 CD 上一點(diǎn)，則三棱錐 P﹣ A1B1A 的左視圖可能為（ ） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】 簡單空間圖形的三視圖． 【分析】 直接利用三視圖的定義，判斷選項(xiàng)即可． 【解答】 解：在長方體 ABCD﹣ A1B1C1D1 中，三棱錐 P﹣ A1B1A 的左視圖中， B A A的射影分別是 C D D． 故選 D． 10．將函數(shù) f（ x） =sin（ 2x+φ）（ |φ|＜ ）的圖象向右平移 個(gè)單位后的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則函數(shù) f（ x）在 [0， ]上的最小值為（ ） A． 0 B．﹣ 1 C．﹣ D．﹣ 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象． 【分析】 由函數(shù)圖象變換以及誘導(dǎo)公式和偶函數(shù)可得 φ 值，可得函數(shù)解析式，由三角函數(shù)區(qū)間的最值可得． 【解答】 解：將函數(shù) f（ x） =sin（ 2x+φ）的圖象向右平移 個(gè)單位后得到 y=sin[2（ x﹣ ）+φ） ]=sin（ 2x+φ﹣ ）的圖象， ∵ 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱， ∴ 由誘導(dǎo)公式和偶函數(shù)可得 φ﹣ =kπ+ ，解得 φ=kπ+ ， k∈Z， 由 |φ|＜ 可得當(dāng) k=﹣ 1 時(shí) φ=﹣ ，故 f（ x） =sin（ 2x﹣ ）， 由 x∈ [0， ]可得 2x﹣ ∈ [﹣ ， ]， ∴ 當(dāng) 2x﹣ =﹣ 即 x=0 時(shí)，函數(shù) f（ x）在 [0， ]上取最小值 sin（﹣ ） =﹣ ， 故選： D． 第 9 頁（共 20 頁） 11．已知雙曲線 C： 的右焦點(diǎn)為 F，以 F 為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為 M，且 MF 與雙曲線的實(shí)軸垂直，則雙曲線 C 的離心率為（ ） A． B． C． D． 2 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】 設(shè) F（ c， 0），漸近線方程為 y= x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得焦點(diǎn)到漸近線的距離為 b，即為圓 F 的半徑，再由 MF 垂直于 x 軸，可得 a=b，運(yùn)用 a， b， c 的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求值． 【解答】 解：設(shè) F（ c， 0），漸近線方程為 y= x， 可得 F
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