【正文】 坐標(biāo)為（ 4， 2）． 綜上所述：當(dāng)以 B、 D、 E 為頂點的三角形是直角三角形時點 E 的坐標(biāo)為（ 1， 2）、（ ， ）、（ 4， 2）． 【點評】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性． 蘇州中考題： (1)； (2)t＝ 145 或－ 14＋ 2 69 ； (3)不存在。 面積與相似： 解： ⑴ B（ b， 0）， C（ 0，）； ⑵ 假設(shè)存在這樣的點 P，使得四邊形 PCOB 的面積等于 2b，且 △PBC 是以點 P 為直角頂點 30 的等腰直角三角形 。 設(shè)點 P 坐標(biāo)（ x， y），連接 OP， 則， ∴ 。 過 P 作 PD⊥ x 軸， PE⊥ y 軸，垂足分別為 D、 E， ∴∠ PEO=∠ EOD=∠ ODP=90176。. ∴四邊形 PEOD 是矩形 . ∴∠ EPD=90176。.∵△ PBC 是等腰直角三角形， ∴ PC=PB， ∠ BPC=90176。.∴∠ EPC=∠ BPD. ∴△ PEC≌△ PDB. ∴ PE=PD，即 x= ，解得： .由 △PEC≌△ PDB 得 EC=DB，即 ，解得符合題意 .∴ 點 P 坐標(biāo)為（，） . ⑶ 假設(shè)存在這樣的點 Q，使得 △QCO、 △QOA 和 △QAB 中的任意兩個三角形均相似 . ∵∠ QAB=∠ AOQ+∠ AQO， ∴∠ QAB＞ ∠ AOQ， ∠ QAB＞ ∠ AQO.∴ 要使得 △QOA 和 △QAB相似，只能 ∠ OAQ=∠ QAB=90176。，即 QA⊥ x 軸 .∵ b＞ 2， ∴ AB＞ OA. ∴∠ QOA＞ ∠ QBA， ∴∠ QOA=∠ AQB，此時 ∠ OQB =90176。.由 QA⊥ x 軸知 QA∥ y 軸， ∴∠ COQ=∠ OQA. ∴ 要使得 △QOA 和 △OQC 相似，只能 ∠ OCQ=90176?；?∠ OQC=90176。. （ Ⅰ ）當(dāng) ∠ OCQ=90176。時， △QOA≌△ OQC. ∴ AQ=CO= .由得：，解得： . ∵ ， ∴ ， . ∴ 點 Q 坐標(biāo)為（ 1，） . （ Ⅱ ）當(dāng) ∠ OQC=90176。時， △QOA≌△ OCQ. ∴ ，即 .又 . ∴ ，即 .解得： AQ=4，此時 b=17＞ 2符合題意 . ∴ 點 Q 坐標(biāo)為（ 1， 4） .∴ 綜上可知：存在點 Q（ 1，）或（ 1， 4），使得 △QCO、△QOA 和 △QAB 中的任意兩個三角形均相似 . 例 4. 【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動點型；開放型． 【分析】（ 1）根據(jù)矩形的寬為 3 即可得出 C 的坐標(biāo)為（ 0， 3）．當(dāng) E 落在 BC 邊時，四邊形OPEC 和四邊形 PADF 均為正方形的性質(zhì)，那么 OP=PE=OC=3， PA=PF=AD=1．因此 P 的坐標(biāo)為（ 3， 0）， D 的坐標(biāo)為（ 4， 1）．然后根據(jù) P， C， D 三點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出過P、 C、 D 三點的拋物線的解析式．（ 2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出 ∠ CPO=∠ CPE， ∠ FPD=∠APD．由此可得出 ∠ CPD=90176。，由此不難得出 Rt△POC∽ Rt△DAP，可根據(jù)線段 OC、 OP、PA、 AD 的比例關(guān)系，得出關(guān)于 x， y 的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)關(guān)系式即可得出 y 的最大值以及對應(yīng)的 x 的值．（ 3）可分兩種情況進行討論： ①當(dāng) PQ 是另一條直角邊，即 ∠ DPQ=90176。時，由于 ∠ DPC=90176。，且 C 在拋物線上，因此 C與 Q 重合， Q 點的坐標(biāo)即為 C 點的坐標(biāo)． ②當(dāng) DQ 是另一條直角邊，即 ∠ PDQ=90176。時，那么此時 DQ∥ PC．如果將 PC 所在的直線向上平移兩個單位，即可得出此時 DQ 所在直線的解析式．然后聯(lián)立直線 DQ 的解析式以及拋物線的解析式組成方程組，如果方程組無解，則說明不存在這樣的 Q 點，如果方程組有解，那么方程組的解即為 Q 的坐標(biāo)．綜合上述兩種情況即可得出符合條件的 Q 的坐標(biāo)． 31 解：（ 1）由題意知， △POC， △PAD 為等腰直角三角形，得 P（ 3， 0）， C（ 0， 3）， D（ 4， 1）， 設(shè)過此三點的拋物線為 y=ax2+bx+c（ a≠0），則 ， ∴ ， ∴ 過 P、 C、 D 三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 y= x2﹣ x+3． （ 2）由已知 PC 平分 ∠ OPE， PD 平分 ∠ APF，且 PE、 PF 重合，則 ∠ CPD=90176。， ∴∠ OPC+∠ APD=90176。，又 ∠ APD+∠ ADP=90176。， ∴∠ OPC=∠ ADP． ∴ Rt△POC∽ Rt△DAP． ∴ 即。∵ y= x（ 4﹣ x） =﹣ x2+ x=﹣ （ x﹣ 2） 2+ （ 0＜ x＜ 4） ∴ 當(dāng) x=2 時， y 有最大值 ． （ 3）假設(shè)存在，分兩種情況討論： ①當(dāng) ∠ DPQ=90176。時，由題意可知 ∠ DPC=90176。，且點 C 在拋物線上， 故點 C 與點 Q 重合，所求的點 Q 為（ 0， 3） ②當(dāng) ∠ QDP=90176。時，過點 D 作平行于 PC 的直線 DQ，假設(shè)直線 DQ 交拋物線于另﹣點 Q， ∵ 點 P（ 3， 0）， C（ 0， 3）， ∴ 直線 PC 的方程為 y=﹣ x+3，將直線 PC 向上平移 2 個單位與直線 DQ 重合， ∴ 直線 DQ 的方程為 y=﹣ x+5． 由 ，得 或 ．又點 D（ 4， 1）， ∴ Q（﹣ 1， 6），故該拋物線上存在兩點 Q（ 0， 3），（﹣ 1， 6）滿足條件． 【點評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形相似等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法． 32 變式練習(xí)： 【考點】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；兩點間的距離；三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題． 【分析】（ 1）由 Rt△ABC 中， CO⊥ AB 可證 △AOC∽△ COB，由相似比得 OC2=OA?OB，設(shè) OA 的長為 x，則 OB=5﹣ x，代入可求 OA， OB 的長，確定 A， B， C 三點坐標(biāo)，求拋物線解析式；（ 2）根據(jù) △BDE 為等腰三角形，分為 DE=EB， EB=BD， DE=BD 三種情況，分別求 E 點坐標(biāo)；（ 3）作輔助線，將求 △CDP 的面積問題轉(zhuǎn)化．方法一：如圖 1，連接 OP，根據(jù) S△CDP=S 四邊 形 CODP﹣ S△COD=S△COP+S△ODP﹣ S△COD，表示 △CDP 的面積；方法二：過點P 作 PE⊥ x 軸于點 F，則 S△CDP=S 梯形 COFP﹣ S△COD﹣ S△DFP，表示 △CDP 的面積；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出 △CDP 的最大面積和此時點 P 的坐標(biāo)． 【解答】解：（ 1）設(shè) OA 的長為 x，則 OB=5﹣ x； ∵ OC=2， AB=5， ∠ BOC=∠ AOC=90176。，∠ OAC=∠ OCB； ∴△ AOC∽△ COB， ∴ OC2=OA?OB ∴ 22=x（ 5﹣ x）解得： x1=1， x2=4， ∵ OA＜ OB， ∴ OA=1， OB=4； ∴ 點 A、 B、 C 的坐標(biāo)分別是： A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 2）；（用射影定理的不扣分） 方法一：設(shè)經(jīng)過點 A、 B、 C 的拋物線的關(guān)系式為： y=ax2+bx+2， 將 A、 B、 C 三點的坐標(biāo)代入得，解得： a= ， b= ， c=2 所以這個二次函數(shù)的表達式為：。 方法二：設(shè)過點 A、 B、 C 的拋物線的關(guān)系式為： y=a（ x+1）（ x﹣ 4）將 C 點的坐標(biāo)代入得：a=，所以這個二次函數(shù)的表達式為：。（表達式用三種形式中的任一種都不扣分） （ 2） ①當(dāng) △BDE 是等腰三角形時，點 E 的坐標(biāo)分別是： ， ，．（注：符合條件的 E 點共有三個，其坐標(biāo)，寫對一個給 1 分） ②如圖 1，連接 OP， S△CDP=S 四邊形 CODP﹣ S△COD=S△COP+S△ODP﹣ S△COD ==m+n﹣ 2= = ∴ 當(dāng) m= 時， △CDP 的面積最大．此時 P 點的坐標(biāo)為（ ， ）， S△CDP 的最大值是 ． 另解：如圖 圖 3，過點 P 作 PF⊥ x 軸于點 F，則 S△CDP=S 梯形 COFP﹣ S△COD﹣ S△DFP = =m+n﹣ 2 = = …（ 9 分） ∴ 當(dāng) m= 時， △CDP 的面積最大．此時 P 點的坐標(biāo)為（ ， ）， S△CDP 的最大值是 ． （注：只回答有最大面積，而沒有說明理由的，不給分；點 P 的坐標(biāo)，或最大面積計算錯誤的，扣（ 1 分）；其他解法只要合理，酌情給分．） 33 【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形中斜邊上的高分得的兩個三角形相似，利用相似比求 A、 B 兩點坐標(biāo)，確定拋物線解析式，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求 E點坐標(biāo)，利用作輔助線的方法表示 △CDP 的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求三角形面積的最大值． 蘇州中考題： (1) ＋ c，－ 2c； (2)y＝ x2－ 32x－ 2． (3)① 0S5； ② 11． 例 5. 【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題． 【分析】（ 1）設(shè)拋物線解析式，因點 B 在拋物線上面，代入求出拋物線解析式；（ 2） △ABC沿 AC 折疊，要用到點的對稱，得到 B′的坐標(biāo)然后驗證是否在拋物線上；（ 3）假設(shè)存在，設(shè)直線 BA 的解析式，根據(jù) B、 A 坐標(biāo)解出直線 BA 的解析式，用 m 表示出 P 點坐標(biāo)，因為PF=AD 可以得到 P 點坐標(biāo)． 【解答】解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+ ， ∵ B（ ， ）在拋物線上， ∴ 把 B（ ， ）代入 y=ax2+，得 a= ． ∴ 拋物線解析式為 y= x2+ ． （ 2） ∵ 點 B（ ， ）， C（ 1， 0）， ∴ CB= ， ∴ CB39。=CB=OA． 又 CA= =2， ∴ AB= =1， ∴ AB39。=AB=OC． ∴ 四邊形 AOCB39。是矩形． ∵ CB39。= ， OC=1， ∴ B39。點的坐標(biāo)為（ 1， ）． ∵ 當(dāng) x=1 時，代入 y= x2+ 得y= ， ∴ B39。（ 1， ）在拋物線上． （ 3）存在．理由是：設(shè) BA 的解析式為 y=kx+b， ∴ ∴ ∵ P， F 分別在直線 BA 和拋物線上，且 PF∥ AD， ∴ 設(shè) P（ m， m+ ）， F（ m， m2+） PF=（ m+ ）﹣（ m2+ ）， AD= ﹣ =。如果 PF=AD，則有 ： （ m+ ）﹣（ m2+ ） =，解得 m1=0（不符合題意舍去）， m2= ． ∴ 當(dāng) m= 時， PF=AD，存在四邊形 ADFP 是平行四邊形．當(dāng) m= 時， m+ = ， ∴ P 點的坐標(biāo)是（ ， ）． 12 12 34 【點評】考查待定系數(shù)求拋物線解析式，折疊圖形的對稱問題，輔助線的作法也很獨特，考查的知識點很全面，是一道綜合性題型． 變式練習(xí)： 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．【專題】幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合；方程思想． 【分析】（ 1）由 AB 是直徑，可得 ∠ APB=90176。，然后利用三角函數(shù)即可求得 PA 的長；當(dāng) PA=PB時， △ PAB 是等腰三角形，然后由等腰三角形的性質(zhì)與射影定理即可求得答案．（ 2）過點 P分別作 PE⊥ AB， PF⊥ AD，垂足分別為 E， F 延長 FP 交 BC 于點 G，則 PG⊥ BC， P 點坐標(biāo)為（ a， b）， PE=b， PF=a， PG=4﹣ a，利用矩形面積關(guān)系與二次函數(shù)的知識即可求得答案． 【解答】解：（ 1）若 ∠ PAD=60176。，需 ∠ PAB=30176。， ∵ AB 是直徑， ∴∠ APB=90176。， 則在 Rt△ PAB 中， PA=cos30176。AB=2 ， ∴ 當(dāng) PA 的長度等于 2 時， ∠ PAD=60176。； 若 △ PAD 是等腰三角形，當(dāng) PA=PD 時，此時 P 位于四邊形 ABCD 的中心， 過點 P 作 PE⊥ AD 于 E，作 PM⊥ AB 于 M，則四邊形 EAMP 是正方形， ∴ PM=PE= AB=2， ∵ PM2=AM?BM=4， ∵ AM+BM=4， ∴ AM=2， ∴ PA=2 ， 當(dāng) PD=DA 時，以點 D 為圓心， DA 為半徑作圓與弧 AB 的交點為點 P． 連 PD，令 AB 中點為 O，再連 DO， PO， DO 交 AP 于點 G，則 △ ADO≌△ PDO， ∴ DO⊥ AP， AG=PG， ∴ AP=2AG，又 ∵ DA=2AO， ∠ ADG=∠ GAO， ∴ = = ， ∴ AG=2OG，設(shè) AG 為 2x， OG 為 x， ∴ （ 2x） 2+x2=4， ∴ x= ∴ AG=2x= ， ∴ AP=.∴ 當(dāng) PA 的長度等于 2 或 時， △ PAD 是等腰三角形； （ 2）過點 P 分別作 PE⊥ AB， PF⊥ AD，垂足分別為 E， F 延長 FP 交 BC 于點 G，則 PG⊥ BC，