【正文】 3，點(diǎn) E、 F 分別在邊 BC、 CD 上，將 AB、 AD 分別和 AE、 AF 折疊，點(diǎn) B、 D 恰好都將在點(diǎn) G 處，已知 BE=1，則 EF 的長為【 】 A． 32 B． 52 C． 94 D． 3 【分析】 ∵ 正方形紙片 ABCD 的邊長為 3， ∴∠ C=90176。， BC=CD=3。根據(jù)折疊的性質(zhì)得：EG=BE=1， GF=DF。 設(shè) DF=x，則 EF=EG＋ GF=1＋ x， FC=DC－ DF=3－ x， EC=BC－ BE=3－ 1=2。 在 Rt△ EFC 中， EF2=EC2＋ FC2，即（ x＋ 1） 2=22＋（ 3－ x） 2，解得： 3x 2? 。 ∴ DF=32 ， EF=1＋ 35=22。故選 B。 14 18．設(shè) [x）表示大于 x 的最小整數(shù)，如 [3） =4， [－ ） =－ 1，則下列結(jié)論中正確的是 ▲ ．（填寫所有正確結(jié)論的序號） ① [0） =0； ② [x）－ x 的最小值是 0； ③ [x）－ x 的最大值是 0； ④ 存在實(shí)數(shù) x， 使 [x）－ x= 成立． 【分析】根據(jù)題意 [x）表示大于 x 的最小整數(shù)，結(jié)合各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案： ① [0） =1，故結(jié)論錯誤； ② [x）－ x＞ 0，但是取不到 0，故結(jié)論錯誤； ③ [x）－ x≤1，即最大值為 1，故結(jié)論錯誤； ④ 存在實(shí)數(shù) x，使 [x）－ x= 成立，例如 x= 時，故結(jié)論正確。 福建南平 25．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 如圖所示放置，點(diǎn) A 在 x 軸上，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0），將此矩形繞 O 點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到矩形 OA′B′C′． （ 1）寫出點(diǎn) A、 A′、 C′的坐標(biāo)； （ 2）設(shè)過點(diǎn) A、 A′、 C′的拋物線解析式為 y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（ a、 b、c 可用含 m 的式子表示） （ 3）試探究：當(dāng) m 的值改變時，點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) O 的對稱點(diǎn) D 是否可能落在（ 2）中的拋物線上？若能，求出此時 m 的值． 【答案】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0）， ∴ A（ m，0）， C（ 0， 1）。 ∵ 矩形 OA′B′C′由矩形 OABC 旋轉(zhuǎn) 90176。而成， ∴ A′（ 0， m）， C′（－1， 0）。（ 2）設(shè)過點(diǎn) A、 A′、 C′的拋物線解析式為 y=ax2＋ bx＋ c， ∵ A（ m， 0）， A′（ 0， m）， C′（－ 1， 0）， ∴2 am bm c 0 c m a b c 0? ? ? ?????? ? ??，解得 a 1 b m 1 cm??????????。 ∴ 此拋物線的解析式為：y=－ x2＋（ m－ 1） x＋ m。 （ 3） ∵ 點(diǎn) B 與點(diǎn) D 關(guān)于原點(diǎn)對稱， B（ m， 1）， ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為：（－ m，－ 1）， 假設(shè)點(diǎn) D（－ m，－ 1）在（ 2）中的拋物線上， ∴ 0=－（－ m） 2＋（ m－ 1） （－ m）＋ m=1，即 2m2－ 2m＋ 1=0， ∵△ =（－ 2） 2－ 422=－ 4＜ 0， ∴ 此方程無解。 ∴ 點(diǎn) D 不在（ 2）中的拋物線上。 26．如圖，在 △ ABC 中，點(diǎn) D、 E 分別在邊 BC、 AC 上，連接 AD、 DE，且 ∠ 1=∠ B=∠ C． （ 1）由題設(shè)條件，請寫出三個正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）答：結(jié)論一： ；結(jié)論二： ；結(jié)論三： ． （ 2）若 ∠ B=45176。， BC=2，當(dāng)點(diǎn) D 在 BC 上運(yùn)動時（點(diǎn) D 不與 B、 C 重合）， ① 求 CE 的最大值； ② 若 △ ADE 是等腰三角形，求此時 BD 的長． 【答案】 解：（ 1） AB=AC； ∠ AED=∠ ADC； △ ADE∽△ ACD。 （ 2 ） ①∵∠ B=∠ C ， ∠ B=45176。， ∴△ ACB 為等 腰直 角三 角形。∴ 22A C B C 2 2? ? ? ?。 ∵∠ 1=∠ C ， ∠ DAE=∠ CAD ， ∴△ ADE∽△ ACD 。 ∴ AD ： AC=AE ： AD ，∴ 22AD ADAEAC 2?? 22AD2? 。 當(dāng) AD 最小時， AE 最小，此時 AD⊥ BC， AD=12 BC=1。 ∴ AE 的最小值為 2221?? 。 15 ∴ CE 的最大值 = 222 ??。 ② 當(dāng) AD=AE 時， ∴∠ 1=∠ AED=45176。， ∴∠ DAE=90176。 ∴ 點(diǎn) D 與 B 重合，不合題意舍去。 當(dāng) EA=ED 時，如圖 1， ∴∠ EAD=∠ 1=45176。 ∴ AD 平分 ∠ BAC， ∴ AD 垂直平分 BC?！?BD=1。 當(dāng) DA=DE 時，如圖 2， ∵△ ADE∽△ ACD， ∴ DA： AC=DE： DC。 ∴ DC=CA= 2 。∴ BD=BC－ DC=2－ 2 。 綜上所述，當(dāng) △ ADE 是等腰三角形時， BD 的長的長為 1 或 2－ 2 。 福建寧德 10．如圖，在矩形 ABCD 中， AB＝ 2， BC＝ 3，點(diǎn) E、 F、 G、 H 分別在矩形 ABCD 的各邊上， EF∥ HG， EH∥ FG，則四邊形 EFGH 的周長是【 】 A． 10 B． 13 C． 2 10 D． 2 13 【答案】 D。 18．如圖，點(diǎn) M 是反比例函數(shù) y＝ 1 x 在 第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)，作 MB⊥ x 軸于點(diǎn) B．過點(diǎn) M 的第一條直線交 y 軸于點(diǎn) A1，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) C1，且 A1C1＝ 1 2 A1M，△ A1C1B 的面積記為 S1；過點(diǎn) M 的第二條直線交 y 軸于點(diǎn) A2，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) C2，且 A2C2＝ 1 4 A2M， △ A2C2B 的面積記為 S2；過點(diǎn) M 的第三條直線交 y軸于點(diǎn) A3，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) C3，且 A3C3＝ 1 8 A3M， △ A3C3B 的面積記為S3；依次類推 … ；則 S1＋ S2＋ S3＋ … ＋ S8＝ ▲ ． 【答案】 255512。 25．某數(shù)學(xué)興趣小組 開展了一次活動，過程如下： 如圖 1，在等腰 △ ABC 中， AB＝ AC， ∠ BAC＝ 90186。，小敏將一塊三角板中含 45186。角的頂點(diǎn)放在點(diǎn) A 處，從 AB 邊開始繞點(diǎn) A 順時針旋轉(zhuǎn)一個角 ? ，其中三角板斜邊所在的直線交直線 BC 于點(diǎn) D，直角邊所在的直線交直線 BC 于點(diǎn) E． (1)小敏在線段 BC 上取一點(diǎn) M，連接 AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若 AD 平分 ∠ MAB，則AE 也平分 ∠ MAC．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論； (2)當(dāng) 0186。＜ ? ≤45186。時，小敏在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)線段 BD、 CE、 DE 之間存在如下等量關(guān)系： BD2＋ CE2＝ DE2．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行 16 解決： 小穎的方法：將 △ ABD 沿 AD 所在的直線對折得到 △ ADF，連接 EF(如圖 2)； 小亮的方法：將 △ ABD 繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90186。得到 △ ACG，連接 EG(如圖 3)． 請你從中任選一種方法進(jìn)行證明； (3)小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出：當(dāng) 45186。＜ ? ≤135186。且 ? ≠90186。時，等量關(guān)系BD2＋ CE2＝ DE2 仍然成立．現(xiàn)請你繼續(xù) 探究：當(dāng) 135186。＜ ? ＜ 180186。時 (如圖 4)，等量關(guān)系 BD2＋ CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，給出證明：若不成立，說明理由． 【答案】 解：（ 1） 證明： ∵ ∠ BAC＝ 90186。， ∠ DAE＝ ∠ DAM＋ ∠ MAE＝ 45186。， ∴ ∠ BAD＋ ∠ EAC＝ 45186。 又 ∵ AD平分 ∠ MAB， ∴ ∠ BAD＝ ∠ DAM。 ∴ ∠ MAE＝ ∠ EAC。 ∴ AE平分 ∠ MAC。 （ 2）證明小穎的方法： ∵ 將 △ ABD 沿 AD 所 在的直線對折得到 △ ADF， ∴ AF＝ AB， ∠ AFD＝ ∠ B＝ 45186。， ∠ BAD＝ ∠ FAD。 又 ∵ AC=AB， ∴ AF＝ AC。 由（ 1）知， ∠ FAE＝ ∠ CAE。 在 △ AEF 和 △ AEC 中， ∵ AF＝ AC， ∠ FAE＝ ∠ CAE， AE＝ AE， ∴ △ AEF≌△ AEC（ SAS）。 ∴ CE＝ FE， ∠ AFE＝ ∠ C＝ 45186。 ∴ ∠ DFE＝ ∠ AFD ＋ ∠ AFE＝ 90186。 在 Rt△ OCE 中， DE2＋ FE2＝ DE2， ∴ BD2＋ CE2＝ DE2。 （ 3）當(dāng) 135186。＜ ? ＜ 180186。時，等量關(guān)系 BD2＋ CE2＝ DE2仍然成立。證明如下： 如圖，按小穎的方法作圖，設(shè) AB 與 EF 相交于點(diǎn) G。 ∵ 將 △ ABD 沿 AD 所在的直線對折得到 △ AD