【正文】 1， 令 y=0 得，﹣ x2+ =0， 解得： x1=3， x2=﹣ 3， ∴ 點 C 的坐標為（ 3， 0）． 設直線 AC 的解析式為 y=mx+n， 則有 ， 解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為 y=﹣ x+ ． 設正方形 OEFG 的邊長為 p，則 F（ p， p）． ∵ 點 F（ p， p）在直線 y=﹣ x+ 上， ∴ ﹣ p+ =p， 解得 p=1， ∴ 點 F 的坐標為（ 1， 1）． ②當點 F 在第二象限時， 同理可得：點 F 的坐標為（﹣ 3， 3）， 此時點 F 不在線段 AC 上，故舍去． 綜上所述：點 F 的坐標為（ 1， 1）； （ 3）過點 M 作 MH⊥ DN 于 H，如圖 2， 則 OD=t， OE=t+1． ∵ 點 E 和點 C 重合時停止運動， ∴ 0≤ t≤ 2． 當 x=t 時， y=﹣ t+ ，則 N（ t，﹣ t+ ）， DN=﹣ t+ ． 當 x=t+1 時， y=﹣ （ t+1） + =﹣ t+1，則 M（ t+1，﹣ t+1）， ME=﹣ t+1． 在 Rt△ DEM 中 ， DM2=12+（ ﹣ t+1） 2= t2﹣ t+2． 在 Rt△ NHM 中 ， MH=1， NH=（ ﹣ t+ ） ﹣ （ ﹣ t+1） = ， ∴ MN2=12+（ ） 2= ． ①當 DN=DM 時， （ ﹣ t+ ） 2= t2﹣ t+2， 解得 t= ； ②當 ND=NM 時 ， ﹣ t+ = = ， 解得 t=3﹣ ； ③當 MN=MD 時 ， = t2﹣ t+2， 解得 t1=1， t2=3． ∵ 0≤ t≤ 2， ∴ t=1． 綜上所述：當 △ DMN 是等腰三角形時， t 的值為 ， 3﹣ 或 1． 【點評】 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、直線及拋物線上點的坐標特征、拋物線的性質、解一元二次方程、勾股定理等知識，運用分類討論的思想是解決第（ 2）、（ 3）小題的關鍵，在解決問題的過程中要驗證是否符合題意． 11．（ 2022?貴陽）如圖，直線 y=5x+5 交 x 軸于點 A，交 y 軸于點 C，過 A， C 兩點的二次函數(shù) y=ax2+4x+c 的圖象交 x 軸于另一點 B． （ 1）求二次函數(shù)的表達式； （ 2）連接 BC，點 N 是線段 BC 上的動點，作 ND⊥ x 軸交二次函數(shù)的圖象于點 D，求線段ND 長度的最大值； （ 3）若點 H 為二次函數(shù) y=ax2+4x+c 圖象的頂點，點 M（ 4， m）是該二次函數(shù)圖象上一點，在 x 軸、 y 軸上分別找點 F， E，使四邊形 HEFM 的周長最小，求出點 F， E 的坐標． 溫馨提示：在直角坐標系中，若點 P， Q 的坐標分別為 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 當 PQ 平行 x 軸時，線段 PQ 的長度可由公式 PQ=|x1﹣ x2|求出； 當 PQ 平行 y 軸時，線段 PQ 的長度可由公式 PQ=|y1﹣ y2|求出． 【分析】 （ 1）先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征由一次函數(shù)的表達式求出 A， C 兩點的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達式； （ 2）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征由二次函數(shù)的表達式求出 B 點的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù) BC 的表達式，設 ND 的長為 d， N 點的橫坐標為 n，則 N 點的縱坐標為﹣ n+5，D 點的坐標為 D（ n，﹣ n2+4n+5），根據(jù)兩點間的距離公式和二次函數(shù)的最值計算可求線段ND 長度的最大值； （ 3）由題意可得二次函數(shù)的頂點坐標為 H（ 2， 9），點 M 的坐標為 M（ 4， 5），作點 H（ 2，9）關于 y 軸的對稱點 H1，可得點 H1 的坐標，作點 M（ 4， 5）關于 x 軸的對稱點 HM1，可得點 M1 的坐標連結 H1M1 分別交 x 軸于點 F， y 軸于點 E，可得 H1M1+HM 的長度是四邊形HEFM 的最小周長，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線 H1M1 解析式，根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可求點 F、 E 的坐標． 【解答】 解：（ 1） ∵ 直線 y=5x+5 交 x 軸于點 A，交 y 軸于點 C， ∴ A（﹣ 1， 0）， C（ 0， 5）， ∵ 二次函數(shù) y=ax2+4x+c 的圖象過 A， C 兩點， ∴ ， 解得 ， ∴ 二次函數(shù)的表達式為 y=﹣ x2+4x+5； （ 2）如圖 1， ∵ 點 B 是二次函數(shù)的圖象 與 x 軸的交點， ∴ 由二次函數(shù)的表達式為 y=﹣ x2+4x+5 得，點 B 的坐標 B（ 5， 0）， 設直線 BC 解析式為 y=kx+b， ∵ 直線 BC 過點 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）， ∴ ， 解得 ， ∴ 直線 BC 解析式為 y=﹣ x+5， 設 ND 的長為 d， N 點的橫坐標為 n， 則 N 點的縱坐標為﹣ n+5， D 點的坐標為 D（ n，﹣ n2+4n+5）， 則 d=|﹣ n2+4n+5﹣（﹣ n+5） |， 由題意可知：﹣ n2+4n+5＞ ﹣ n+5， ∴ d=﹣ n2+4n+5﹣（﹣ n+5） =﹣ n2+5n=﹣（ n﹣ ） 2+ ， ∴ 當 n= 時，線段 ND 長度的最 大值是 ； （ 3）由題意可得二次函數(shù)的頂點坐標為 H（ 2， 9），點 M 的坐標為 M（ 4， 5）， 作點 H（ 2， 9）關于 y 軸的對稱點 H1，則點 H1 的坐標為 H1（﹣ 2， 9）， 作點 M（ 4， 5）關于 x 軸的對稱點 HM1，則點 M1 的坐標為 M1（ 4，﹣ 5）， 連結 H1M1 分別交 x 軸于點 F， y 軸于點 E， 所以 H1M1+HM 的長度是四邊形 HEFM 的最小周長，則點 F、 E 即為所求， 設直線 H1M1 解析式為 y=k1x+b1， 直線 H1M1 過點 M1（ 4，﹣ 5）， H1（﹣ 2， 9）， 根據(jù)題意得方程組 ， 解得 ， ∴ y=﹣ x+ ， ∴ 點 F， E 的坐標分別為（ ， 0）（ 0， ）． 【點評】 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：坐標軸上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式，二次函數(shù)的頂點坐標，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的最值，軸對稱﹣最短路線問題，方程思想的應用，綜合性較強，有一定的難度． 12．（ 2022?遵義）如圖，在平面直角坐標系中， Rt△ ABC 的三個頂點分別是 A（﹣ 8， 3），B（﹣ 4， 0）， C（﹣ 4， 3）， ∠ ABC=α176。．拋物線 y= x2+bx+c 經(jīng)過點 C，且對稱軸為 x=﹣ ，并與 y 軸交于點 G． （ 1）求拋物線的解析式及點 G 的坐標； （ 2）將 Rt△ ABC 沿 x 軸向右平移 m 個單位，使 B 點移到點 E，然后將三角形繞點 E 順時針旋轉 α176。得到 △ DEF．若點 F 恰好落在拋物線上． ①求 m 的值； ②連接 CG 交 x 軸于點 H，連接 FG，過 B 作 BP∥ FG，交 CG 于點 P，求證： PH=GH． 【分析】 （ 1）把點 C 坐標代入 y= x2+bx+c 得一方程，利用對稱軸公式得另一方程，組成方程組求出解析式，并求出 G 點的坐標； （ 2） ①作輔助線，構建直角 △ DEF 斜邊上的高 FM，利用直角三角形的面積相等和勾股定理可表示 F 的坐標，根據(jù)點 F 在拋物線上，列方程求出 m 的值； ②F 點和 G 點坐標已知，可以求出直線 FG 的方程，那么 FG 和 x 軸的交點坐標（設為 Q）可以知道， C 點坐標已知， CG 的方程也可以求出，那么 H 點坐標可以求出，可以證明 △ BPH和 △ MGH 全等． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意得： 解得： ∴ 拋物線的解析式為： y= x2+ x ，點 G（ 0，﹣ ）； （ 2） ①過 F 作 FM⊥ y 軸，交 DE 于 M，交 y 軸于 N， 由題意可知： AC=4， BC=3，則 AB=5， FM= ， ∵ Rt△ ABC 沿 x 軸向右平移 m 個單位，使 B 點移到點 E， ∴ E（﹣ 4+m， 0）， OE=MN=4﹣ m， FN= ﹣（ 4﹣ m） =m﹣ ， 在 Rt△ FME 中，由勾股定理得： EM= = ， ∴ F（ m﹣ ， ）， ∵ F 拋物線上， ∴ = （ m﹣ ） 2+ （ m﹣ ）﹣ ， 5m2﹣ 8m﹣ 36=0， m1=﹣ 2（舍）， ； ②易求得 FG 的解析式為： y= x﹣ ， CG 解析式為： y=﹣ x﹣ ， ∴ x﹣ =0， x=1，則 Q（ 1， 0）， ﹣ x﹣ =0， x=﹣ ，則 H（﹣ ， 0）， ∴ BH=4﹣ =， HQ=+1=， ∴ BH=QH， ∵ BP∥ FG， ∴∠ PBH=∠ GQH， ∠ BPH=∠ QGH， ∴△ BPH≌△ QGH， ∴ PH=GH． 【點評】 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)、一次函數(shù)）的解析式，利用解析式求與坐標軸交點坐標，利用面積法求斜邊上的高及三角形全等的性質等；綜合性較強，但難度不大，是一道不錯的中考壓軸題． 13．（ 2022?蘭州）如圖 1，二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的圖象過點 A（ 3， 0）， B（ 0， 4）兩點，動點 P 從 A 出發(fā)，在線段 AB 上沿 A→B 的方向以每秒 2 個單位長度的速度運動，過點 P作 PD⊥ y 于點 D，交拋物線于點 C．設運動時間為 t（秒）． （ 1）求二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的表達式； （ 2）連接 BC，當 t= 時，求 △ BCP 的面積； （ 3）如圖 2，動點 P 從 A 出發(fā)時，動點 Q 同時從 O 出發(fā)，在線段 OA 上沿 O→A 的方向以1 個單位長度的速度運動．當點 P 與 B 重合時， P、 Q 兩點同時停止運動，連接 DQ， PQ，將 △ DPQ 沿直線 PC 折疊得到 △ DPE．在運動過程中，設 △ DPE 和 △ OAB 重合部分的面積為 S，直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關系及 t 的取值范圍． 【分析】 （ 1）直接將 A、 B 兩點的坐標代入列方程組解出即可； （ 2）如圖 1，要想求 △ BCP 的面積，必須求對應的底和高， 即 PC 和 BD；先求 OD，再求BD， PC 是利用點 P 和點 C 的橫坐標求出，要注意符號； （ 3）分兩種情況討論： ①△ DPE 完全在 △ OAB 中時，即當 0≤ t≤ 時，如圖 2 所示，重合部分的面積為 S 就是 △ DPE 的面積； ②△ DPE 有一部分在 △ OAB 中時，當 ＜ t≤ 時，如圖 4 所示， △ PDN 就是重合部分的面積 S． 【解答】 解：（ 1）把 A（ 3， 0）， B（ 0， 4）代入 y=﹣ x2+bx+c 中得： 解得 ， ∴ 二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的表達式為： y=﹣ x2+ x+4； （ 2）如圖 1，當 t= 時， AP=2t， ∵ PC∥ x 軸， ∴ ， ∴ ， ∴ OD= = = ， 當 y= 時， =﹣ x2+ x+4， 3x2﹣ 5x﹣ 8=0， x1=﹣ 1， x2= ， ∴ C（﹣ 1， ）， 由 得 ， 則 PD=2， ∴ S△ BCP= PC BD= 3 =4； （ 3）如圖 3， 當點 E 在 AB 上時， 由（ 2）得 OD=QM=ME= ， ∴ EQ= ， 由折疊得： EQ⊥ PD，則 EQ∥ y 軸 ∴ ， ∴ ， ∴ t= ， 同理得： PD=3﹣ ， ∴ 當 0≤ t≤ 時， S=S△ PDQ= PD MQ= （ 3﹣ ） ， S=﹣ t2+ t； 當 ＜ t≤ 時 ， 如圖 4， P′D′=3﹣ ， 點 Q 與點 E 關于直線 P′C′對稱，則 Q（ t， 0）、 E（ t， ）， ∵ AB 的解析式為： y=﹣ x+4， D′E 的解析式為： y= x+ t， 則交點 N（ ， ）， ∴ S=S△ P′D′N= P′D′ FN= （ 3﹣ ）（ ﹣ ）， ∴ S= t2﹣ t+ ． 【點評】 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并能利用方程組求出兩圖象的交點，把方程和函數(shù)有機地結合在一起，使函數(shù)問題簡單化；同時考查了分類討論的思想，這一思想在二次函數(shù)中經(jīng)常運用， 要熟練掌握；本題還與相似結合，利用相似三角形對應邊的比來表示線段的長． 14．（ 2022?淮安）如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ B=90176。，點 O 在邊 AB 上，以點 O 為圓心， OA為半徑的圓經(jīng)過點 C，過點 C 作直線 MN，使 ∠ BCM=2∠ A． （ 1）判斷直線 MN 與 ⊙ O 的位置關系，并說明理由； （ 2）若 OA=4， ∠ BCM=60176。，求圖中陰影部分的面積． 【分析】 （ 1） MN 是 ⊙ O 切線，只要證明 ∠ OCM=90176。即可．