【正文】 初三數(shù)學期中復(fù)習《壓軸題》專題訓(xùn)練（ 1） 1．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線 y=x2+bx+c 過 A， B， C 三點，點 A 的坐標是（ 3， 0），點 C 的坐標是（ 0，﹣ 3），動點 P 在拋物線上． （ 1） b= ， c= ，點 B 的坐標為 ；（直接填寫結(jié)果） （ 2）是否存在點 P，使得 △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點 P 的坐標；若不存在，說明理由； （ 3）過動點 P 作 PE 垂直 y 軸于點 E，交直線 AC 于點 D，過點 D 作 x 軸的垂線．垂足為 F，連接 EF，當線段 EF 的長度最短時，求出點 P 的坐標 ． 2．如圖，拋物線 y=﹣ x2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）兩點，且與 y 軸交于點 C，點D 是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸 DE 交 x 軸于點 E，連接 BD． （ 1）求經(jīng)過 A， B， C 三點的拋物線的函數(shù)表達式； （ 2）點 P 是線段 BD 上一點，當 PE=PC 時，求點 P 的坐標； （ 3）在（ 2）的條件下，過點 P 作 PF⊥ x 軸于點 F， G 為拋物線上一動點， M 為 x 軸上一動點， N 為直線 PF 上一動點，當以 F、 M、 N、 G 為頂點的四邊形是正方形時，請求出點 M的坐標． 3．如圖 1，在平面直角坐標系中，拋物線 y=﹣ x2+ x+3 與 x 軸交于 A， B 兩點（點 A在點 B 左側(cè)），與 y 軸交于點 C，拋物線的頂點為點 E． （ 1）判斷 △ ABC 的形狀，并說明理由； （ 2）經(jīng)過 B， C 兩點的直線交拋物線的對稱軸于點 D，點 P 為直線 BC 上方拋物線上的一動點，當 △ PCD 的面積最大時， Q 從點 P 出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點 M 處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到 y 軸上的點 N 處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點 A 處停止．當點 Q 的運動路徑最短時，求點 N 的坐標及點 Q 經(jīng)過的最短路徑的長； （ 3）如圖 2，平移拋物線，使拋物線的頂點 E 在射線 AE 上移動，點 E 平移后的對應(yīng)點為點 E′，點 A 的對應(yīng)點為點 A′，將 △ AOC 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)至 △ A1OC1 的位置，點 A， C的對應(yīng)點分別為點 A1， C1，且點 A1 恰好落在 AC 上，連接 C1A′， C1E′， △ A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點 E′的坐標；若不能，請說明理由． 4．已知二次函數(shù) y=x2﹣（ 2k+1） x+k2+k（ k＞ 0） （ 1）當 k= 時，求這個二次函數(shù)的頂點坐標； （ 2）求證：關(guān)于 x 的一元次方程 x2﹣（ 2k+1） x+k2+k=0 有兩個不相等的實數(shù)根； （ 3）如圖，該二次函數(shù)與 x 軸交于 A、 B 兩點（ A 點在 B 點的 左側(cè)），與 y 軸交于 C 點， P是 y 軸負半軸上一點，且 OP=1，直線 AP 交 BC 于點 Q，求證： ． 5．已知拋物線 y=a（ x+3）（ x﹣ 1）（ a≠ 0），與 x 軸從左至右依次相交于 A、 B 兩點，與 y軸相交于點 C，經(jīng)過點 A 的直線 y=﹣ x+b 與拋物線的另一個交點為 D． （ 1）若點 D 的橫坐標為 2，求拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點 P，使得以 A、 B、 P 為頂點的三角形與 △ ABC 相似，求點 P 的坐標； （ 3）在（ 1）的條件下，設(shè)點 E 是線段 AD 上的一點（不含端點），連接 BE．一動點 Q 從點 B 出發(fā)，沿線段 BE 以 每秒 1 個單位的速度運動到點 E，再沿線段 ED 以每秒 個單位的速度運動到點 D 后停止，問當點 E 的坐標是多少時，點 Q 在整個運動過程中所用時間最少？ 6．若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)?“友好拋物線 ”，拋物線 C1： y1=﹣ 2x2+4x+2 與 C2：u2=﹣ x2+mx+n 為 “友好拋物線 ”． （ 1）求拋物線 C2 的解析式． （ 2）點 A 是拋物線 C2 上在第一象限的動點，過 A 作 AQ⊥ x 軸， Q 為垂足，求 AQ+OQ 的最大值． （ 3）設(shè)拋物線 C2 的頂點為 C，點 B 的坐標為（﹣ 1， 4），問在 C2 的對稱軸上是否存在點M，使線段 MB 繞點 M 逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到線段 MB′，且點 B′恰好落在拋物線 C2 上？若存在求出點 M 的坐標，不存在說明理由． 7．如圖 1，拋物線 y=ax2+（ a+3） x+3（ a≠ 0）與 x 軸交于點 A（ 4， 0），與 y 軸交于點 B，在 x 軸上有一動點 E（ m， 0）（ 0＜ m＜ 4），過點 E 作 x 軸的垂線交直線 AB 于點 N，交拋物線于點 P，過點 P 作 PM⊥ AB 于點 M． （ 1）求 a 的值和直線 AB 的函數(shù)表達式； （ 2）設(shè) △ PMN 的周長為 C1， △ AEN 的周長為 C2，若 = ，求 m 的值； （ 3）如圖 2，在（ 2）條件下，將線段 OE 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 OE′，旋 轉(zhuǎn)角為 α（ 0176。＜ α＜ 90176。），連接 E′A、 E′B，求 E′A+ E′B 的最小值． 8．如圖 1，拋物線 y=﹣ x2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）兩點，與 y 軸相交于點 C，連結(jié) BC，點 P 為拋物線上一動點，過點 P 作 x 軸的垂線 l，交直線 BC 于點 G，交 x 軸于點E． （ 1）求拋物線的表達式； （ 2）當 P 位于 y 軸右邊的拋物線上運動時，過點 C 作 CF⊥ 直線 l， F 為垂足，當點 P 運動到何處時，以 P， C， F 為頂點的三角形與 △ OBC 相似？并求出此時點 P 的坐標； （ 3）如圖 2，當點 P 在位于直線 BC 上方的拋物線上運動時，連結(jié) PC， PB，請問 △ PBC 的面積 S 能否取得最大值？若能，請求出最大面積 S，并求出此時點 P 的坐標，若不能，請說明理由． 9．如圖，長方形 OABC 的 OA 邊在 x 軸的正半軸上， OC 在 y 軸的正半軸上，拋物線 y=ax2+bx經(jīng)過點 B（ 1， 4）和點 E（ 3， 0）兩點． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點 D 在線段 OC 上，且 BD⊥ DE， BD=DE，求 D 點的坐標； （ 3）在條件（ 2）下，在拋物線的對稱軸上找一點 M，使得 △ BDM 的周長為最小，并求 △BDM 周長的最小值及此時點 M 的坐標； （ 4）在條件（ 2）下，從 B 點到 E 點這段拋物線 的圖象上，是否存在一個點 P，使得 △ PAD的面積最大？若存在，請求出 △ PAD 面積的最大值及此時 P 點的坐標；若不存在，請說明理由． 10．如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 △ ABC 的三個頂點，與 y 軸相交于（ 0， ），點 A 坐標為（﹣ 1， 2），點 B 是點 A 關(guān)于 y 軸的對稱點，點 C 在 x 軸的正半軸上． （ 1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式． （ 2）點 F 為線段 AC 上一動點，過 F 作 FE⊥ x 軸， FG⊥ y 軸，垂足分別為 E、 G，當四邊形 OEFG 為正方形時，求出 F 點的坐標． （ 3）將（ 2）中的正方形 OEFG 沿 OC 向右平移，記平移中的 正方形 OEFG 為正方形 DEFG，當點 E 和點 C 重合時停止運動，設(shè)平移的距離為 t，正方形的邊 EF 與 AC 交于點 M， DG所在的直線與 AC 交于點 N，連接 DM，是否存在這樣的 t，使 △ DMN 是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在請說明理由． 11．如圖，直線 y=5x+5 交 x 軸于點 A，交 y 軸于點 C，過 A， C 兩點的二次函數(shù) y=ax2+4x+c的圖象交 x 軸于另一點 B． （ 1）求二次函數(shù)的表達式； （ 2）連接 BC，點 N 是線段 BC 上的動點，作 ND⊥ x 軸交二次函數(shù)的圖象于點 D，求線段ND 長度的最大值； （ 3）若點 H 為二次函數(shù) y=ax2+4x+c 圖象的頂點，點 M（ 4， m）是該二次函數(shù)圖象上一點，在 x 軸、 y 軸上分別找點 F， E，使四邊形 HEFM 的周長最小，求出點 F， E 的坐標． 溫馨提示：在直角坐標系中，若點 P， Q 的坐標分別為 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 當 PQ 平行 x 軸時，線段 PQ 的長度可由公式 PQ=|x1﹣ x2|求出； 當 PQ 平行 y 軸時，線段 PQ 的長度可由公式 PQ=|y1﹣ y2|求出． 12．如圖，在平面直角坐標系中， Rt△ ABC 的三個頂點分別是 A（﹣ 8， 3）， B（﹣ 4， 0），C（﹣ 4， 3）， ∠ ABC=α176。．拋物線 y= x2+bx+c 經(jīng)過點 C，且對稱軸為 x=﹣ ，并與 y 軸交于點 G． （ 1）求拋物線的解析式及點 G 的坐標； （ 2）將 Rt△ ABC 沿 x 軸向右平移 m 個單位，使 B 點移到點 E，然后將三角形繞點 E 順時針旋轉(zhuǎn) α176。得到 △ DEF．若點 F 恰好落在拋物線上． ①求 m 的值； ②連接 CG 交 x 軸于點 H，連接 FG，過 B 作 BP∥ FG，交 CG 于點 P，求證： PH=GH． 13．如圖 1，二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的圖象過點 A（ 3， 0）， B（ 0， 4）兩點，動點 P 從 A出發(fā)，在線段 AB 上沿 A→B 的方向以每秒 2 個單位長度的速度運動，過點 P 作 PD⊥ y 于點D，交拋物線于點 C．設(shè)運動時間為 t（秒）． （ 1）求二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的表達式； （ 2）連接 BC，當 t= 時，求 △ BCP 的面積； （ 3）如圖 2，動點 P 從 A 出發(fā)時，動點 Q 同時從 O 出發(fā)，在線段 OA 上沿 O→A 的方向以1 個單位長度的速度運動．當點 P 與 B 重合時， P、 Q 兩點同時停止運動，連接 DQ， PQ，將 △ DPQ 沿直線 PC 折疊得到 △ DPE．在運動過程中，設(shè) △ DPE 和 △ OAB 重合部分的面積為 S，直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系及 t 的取值范圍． 14．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ B=90176。，點 O 在邊 AB 上，以點 O 為圓心 ， OA 為半徑的圓經(jīng)過點 C，過點 C 作直線 MN，使 ∠ BCM=2∠ A． （ 1）判斷直線 MN 與 ⊙ O 的位置關(guān)系，并說明理由； （ 2）若 OA=4， ∠ BCM=60176。，求圖中陰影部分的面積． 15．已知：如圖， AM 為 ⊙ O 的切線， A 為切點，過 ⊙ O 上一點 B 作 BD⊥ AM 于點 D， BD交 ⊙ O 于點 C， OC 平分 ∠ AOB． （ 1）求 ∠ AOB 的度數(shù)； （ 2）當 ⊙ O 的半徑為 2cm，求 CD 的長． 16．如圖， △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O， AC 為 ⊙ O 的直徑， PB 是 ⊙ O 的切線， B 為切點， OP⊥ BC，垂足為 E，交 ⊙ O 于 D，連接 BD． （ 1）求證： BD 平 分 ∠ PBC； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 1， PD=3DE，求 OE 及 AB 的長． 17．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。，點 O 在 AB 上，經(jīng)過點 A 的 ⊙ O 與 BC 相切于點 D，與 AC， AB 分別相交于點 E， F，連接 AD 與 EF 相交于點 G． （ 1）求證： AD 平分 ∠ CAB； （ 2）若 OH⊥ AD 于點 H， FH 平分 ∠ AFE， DG=1． ①試判斷 DF 與 DH 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； ②求 ⊙ O 的半徑． 18．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ BAC=90176。， O 是 AB 邊上的一點，以 OA 為半徑的 ⊙ O 與邊BC 相切于點 E． （ 1）若 AC=5， BC=13，求 ⊙ O 的半徑； （ 2）過點 E 作弦 EF⊥ AB 于 M，連接 AF，若 ∠ F=2∠ B，求證：四邊形 ACEF 是菱形． 19．如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑，點 C、 D 在 ⊙ O 上， ∠ A=2∠ BCD，點 E 在 AB 的延長線上，∠ AED=∠ ABC （ 1）求證： DE 與 ⊙ O 相切； （ 2）若 BF=2， DF= ，求 ⊙ O 的半徑． 20．某蛋糕產(chǎn)銷公司 A 品牌產(chǎn)銷線， 2022 年的銷售量為 萬份，平均每份獲利 元，預(yù)計以后四年每年銷售量按 5000 份遞減，平均每份獲利按一定百分數(shù)逐年遞減；受供給側(cè)改革的啟發(fā)，公司早在 2022 年底就投入資金 萬元，新增一條 B 品牌產(chǎn)銷線，以滿足市場對蛋糕的多元需求， B 品牌產(chǎn)銷線 2022 年的銷售量為 萬份，平均每份獲利 3 元，預(yù)計以后四年銷售量按相同的份數(shù)遞增，且平均每份獲利按上述遞減百分數(shù)的 2 倍逐年遞增；這樣， 2022 年， A、 B 兩品牌產(chǎn)銷線銷售量總和將達到 萬份， B 品牌產(chǎn)銷線 2022 年銷售獲利恰好等于當初的投入資金數(shù)． （ 1）求 A 品牌產(chǎn)銷線 2022 年的銷售量； （ 2）求