【正文】 初三數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)《壓軸題》專題訓(xùn)練（ 1） 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y=x2+bx+c 過 A， B， C 三點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 3， 0），點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（ 0，﹣ 3），動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線上． （ 1） b= ， c= ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ；（直接填寫結(jié)果） （ 2）是否存在點(diǎn) P，使得 △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由； （ 3）過動(dòng)點(diǎn) P 作 PE 垂直 y 軸于點(diǎn) E，交直線 AC 于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作 x 軸的垂線．垂足為 F，連接 EF，當(dāng)線段 EF 的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo) ． 2．如圖，拋物線 y=﹣ x2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）兩點(diǎn)，且與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn)D 是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸 DE 交 x 軸于點(diǎn) E，連接 BD． （ 1）求經(jīng)過 A， B， C 三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）點(diǎn) P 是線段 BD 上一點(diǎn)，當(dāng) PE=PC 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）的條件下，過點(diǎn) P 作 PF⊥ x 軸于點(diǎn) F， G 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， M 為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)， N 為直線 PF 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 F、 M、 N、 G 為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn) M的坐標(biāo)． 3．如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=﹣ x2+ x+3 與 x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A在點(diǎn) B 左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn) E． （ 1）判斷 △ ABC 的形狀，并說(shuō)明理由； （ 2）經(jīng)過 B， C 兩點(diǎn)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn) D，點(diǎn) P 為直線 BC 上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) △ PCD 的面積最大時(shí)， Q 從點(diǎn) P 出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到拋物線的對(duì)稱軸上點(diǎn) M 處，再沿垂直于拋物線對(duì)稱軸的方向運(yùn)動(dòng)到 y 軸上的點(diǎn) N 處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 處停止．當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)及點(diǎn) Q 經(jīng)過的最短路徑的長(zhǎng)； （ 3）如圖 2，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn) E 在射線 AE 上移動(dòng)，點(diǎn) E 平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) E′，點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) A′，將 △ AOC 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 △ A1OC1 的位置，點(diǎn) A， C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) A1， C1，且點(diǎn) A1 恰好落在 AC 上，連接 C1A′， C1E′， △ A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) E′的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 4．已知二次函數(shù) y=x2﹣（ 2k+1） x+k2+k（ k＞ 0） （ 1）當(dāng) k= 時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）求證：關(guān)于 x 的一元次方程 x2﹣（ 2k+1） x+k2+k=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （ 3）如圖，該二次函數(shù)與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)（ A 點(diǎn)在 B 點(diǎn)的 左側(cè)），與 y 軸交于 C 點(diǎn)， P是 y 軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且 OP=1，直線 AP 交 BC 于點(diǎn) Q，求證： ． 5．已知拋物線 y=a（ x+3）（ x﹣ 1）（ a≠ 0），與 x 軸從左至右依次相交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 y軸相交于點(diǎn) C，經(jīng)過點(diǎn) A 的直線 y=﹣ x+b 與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 D． （ 1）若點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 2，求拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn) P，使得以 A、 B、 P 為頂點(diǎn)的三角形與 △ ABC 相似，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）在（ 1）的條件下，設(shè)點(diǎn) E 是線段 AD 上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接 BE．一動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿線段 BE 以 每秒 1 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) E，再沿線段 ED 以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D 后停止，問當(dāng)點(diǎn) E 的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn) Q 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少？ 6．若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱它們?yōu)?“友好拋物線 ”，拋物線 C1： y1=﹣ 2x2+4x+2 與 C2：u2=﹣ x2+mx+n 為 “友好拋物線 ”． （ 1）求拋物線 C2 的解析式． （ 2）點(diǎn) A 是拋物線 C2 上在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過 A 作 AQ⊥ x 軸， Q 為垂足，求 AQ+OQ 的最大值． （ 3）設(shè)拋物線 C2 的頂點(diǎn)為 C，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4），問在 C2 的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使線段 MB 繞點(diǎn) M 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。得到線段 MB′，且點(diǎn) B′恰好落在拋物線 C2 上？若存在求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)，不存在說(shuō)明理由． 7．如圖 1，拋物線 y=ax2+（ a+3） x+3（ a≠ 0）與 x 軸交于點(diǎn) A（ 4， 0），與 y 軸交于點(diǎn) B，在 x 軸上有一動(dòng)點(diǎn) E（ m， 0）（ 0＜ m＜ 4），過點(diǎn) E 作 x 軸的垂線交直線 AB 于點(diǎn) N，交拋物線于點(diǎn) P，過點(diǎn) P 作 PM⊥ AB 于點(diǎn) M． （ 1）求 a 的值和直線 AB 的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）設(shè) △ PMN 的周長(zhǎng)為 C1， △ AEN 的周長(zhǎng)為 C2，若 = ，求 m 的值； （ 3）如圖 2，在（ 2）條件下，將線段 OE 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 OE′，旋 轉(zhuǎn)角為 α（ 0176。＜ α＜ 90176。），連接 E′A、 E′B，求 E′A+ E′B 的最小值． 8．如圖 1，拋物線 y=﹣ x2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）兩點(diǎn)，與 y 軸相交于點(diǎn) C，連結(jié) BC，點(diǎn) P 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線 l，交直線 BC 于點(diǎn) G，交 x 軸于點(diǎn)E． （ 1）求拋物線的表達(dá)式； （ 2）當(dāng) P 位于 y 軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn) C 作 CF⊥ 直線 l， F 為垂足，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以 P， C， F 為頂點(diǎn)的三角形與 △ OBC 相似？并求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) P 在位于直線 BC 上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連結(jié) PC， PB，請(qǐng)問 △ PBC 的面積 S 能否取得最大值？若能，請(qǐng)求出最大面積 S，并求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 9．如圖，長(zhǎng)方形 OABC 的 OA 邊在 x 軸的正半軸上， OC 在 y 軸的正半軸上，拋物線 y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn) B（ 1， 4）和點(diǎn) E（ 3， 0）兩點(diǎn)． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) D 在線段 OC 上，且 BD⊥ DE， BD=DE，求 D 點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 3）在條件（ 2）下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn) M，使得 △ BDM 的周長(zhǎng)為最小，并求 △BDM 周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 4）在條件（ 2）下，從 B 點(diǎn)到 E 點(diǎn)這段拋物線 的圖象上，是否存在一個(gè)點(diǎn) P，使得 △ PAD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出 △ PAD 面積的最大值及此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 10．如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 △ ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)，與 y 軸相交于（ 0， ），點(diǎn) A 坐標(biāo)為（﹣ 1， 2），點(diǎn) B 是點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn) C 在 x 軸的正半軸上． （ 1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式． （ 2）點(diǎn) F 為線段 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，過 F 作 FE⊥ x 軸， FG⊥ y 軸，垂足分別為 E、 G，當(dāng)四邊形 OEFG 為正方形時(shí)，求出 F 點(diǎn)的坐標(biāo)． （ 3）將（ 2）中的正方形 OEFG 沿 OC 向右平移，記平移中的 正方形 OEFG 為正方形 DEFG，當(dāng)點(diǎn) E 和點(diǎn) C 重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)平移的距離為 t，正方形的邊 EF 與 AC 交于點(diǎn) M， DG所在的直線與 AC 交于點(diǎn) N，連接 DM，是否存在這樣的 t，使 △ DMN 是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由． 11．如圖，直線 y=5x+5 交 x 軸于點(diǎn) A，交 y 軸于點(diǎn) C，過 A， C 兩點(diǎn)的二次函數(shù) y=ax2+4x+c的圖象交 x 軸于另一點(diǎn) B． （ 1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （ 2）連接 BC，點(diǎn) N 是線段 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，作 ND⊥ x 軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn) D，求線段ND 長(zhǎng)度的最大值； （ 3）若點(diǎn) H 為二次函數(shù) y=ax2+4x+c 圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn) M（ 4， m）是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在 x 軸、 y 軸上分別找點(diǎn) F， E，使四邊形 HEFM 的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn) F， E 的坐標(biāo)． 溫馨提示：在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn) P， Q 的坐標(biāo)分別為 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 當(dāng) PQ 平行 x 軸時(shí)，線段 PQ 的長(zhǎng)度可由公式 PQ=|x1﹣ x2|求出； 當(dāng) PQ 平行 y 軸時(shí)，線段 PQ 的長(zhǎng)度可由公式 PQ=|y1﹣ y2|求出． 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， Rt△ ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)分別是 A（﹣ 8， 3）， B（﹣ 4， 0），C（﹣ 4， 3）， ∠ ABC=α176。．拋物線 y= x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) C，且對(duì)稱軸為 x=﹣ ，并與 y 軸交于點(diǎn) G． （ 1）求拋物線的解析式及點(diǎn) G 的坐標(biāo)； （ 2）將 Rt△ ABC 沿 x 軸向右平移 m 個(gè)單位，使 B 點(diǎn)移到點(diǎn) E，然后將三角形繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) α176。得到 △ DEF．若點(diǎn) F 恰好落在拋物線上． ①求 m 的值； ②連接 CG 交 x 軸于點(diǎn) H，連接 FG，過 B 作 BP∥ FG，交 CG 于點(diǎn) P，求證： PH=GH． 13．如圖 1，二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的圖象過點(diǎn) A（ 3， 0）， B（ 0， 4）兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 從 A出發(fā)，在線段 AB 上沿 A→B 的方向以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) P 作 PD⊥ y 于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn) C．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（秒）． （ 1）求二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的表達(dá)式； （ 2）連接 BC，當(dāng) t= 時(shí)，求 △ BCP 的面積； （ 3）如圖 2，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 出發(fā)時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 同時(shí)從 O 出發(fā)，在線段 OA 上沿 O→A 的方向以1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn) P 與 B 重合時(shí)， P、 Q 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接 DQ， PQ，將 △ DPQ 沿直線 PC 折疊得到 △ DPE．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè) △ DPE 和 △ OAB 重合部分的面積為 S，直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系及 t 的取值范圍． 14．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ B=90176。，點(diǎn) O 在邊 AB 上，以點(diǎn) O 為圓心 ， OA 為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn) C，過點(diǎn) C 作直線 MN，使 ∠ BCM=2∠ A． （ 1）判斷直線 MN 與 ⊙ O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （ 2）若 OA=4， ∠ BCM=60176。，求圖中陰影部分的面積． 15．已知：如圖， AM 為 ⊙ O 的切線， A 為切點(diǎn)，過 ⊙ O 上一點(diǎn) B 作 BD⊥ AM 于點(diǎn) D， BD交 ⊙ O 于點(diǎn) C， OC 平分 ∠ AOB． （ 1）求 ∠ AOB 的度數(shù)； （ 2）當(dāng) ⊙ O 的半徑為 2cm，求 CD 的長(zhǎng)． 16．如圖， △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O， AC 為 ⊙ O 的直徑， PB 是 ⊙ O 的切線， B 為切點(diǎn)， OP⊥ BC，垂足為 E，交 ⊙ O 于 D，連接 BD． （ 1）求證： BD 平 分 ∠ PBC； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 1， PD=3DE，求 OE 及 AB 的長(zhǎng)． 17．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。，點(diǎn) O 在 AB 上，經(jīng)過點(diǎn) A 的 ⊙ O 與 BC 相切于點(diǎn) D，與 AC， AB 分別相交于點(diǎn) E， F，連接 AD 與 EF 相交于點(diǎn) G． （ 1）求證： AD 平分 ∠ CAB； （ 2）若 OH⊥ AD 于點(diǎn) H， FH 平分 ∠ AFE， DG=1． ①試判斷 DF 與 DH 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； ②求 ⊙ O 的半徑． 18．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ BAC=90176。， O 是 AB 邊上的一點(diǎn)，以 OA 為半徑的 ⊙ O 與邊BC 相切于點(diǎn) E． （ 1）若 AC=5， BC=13，求 ⊙ O 的半徑； （ 2）過點(diǎn) E 作弦 EF⊥ AB 于 M，連接 AF，若 ∠ F=2∠ B，求證：四邊形 ACEF 是菱形． 19．如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑，點(diǎn) C、 D 在 ⊙ O 上， ∠ A=2∠ BCD，點(diǎn) E 在 AB 的延長(zhǎng)線上，∠ AED=∠ ABC （ 1）求證： DE 與 ⊙ O 相切； （ 2）若 BF=2， DF= ，求 ⊙ O 的半徑． 20．某蛋糕產(chǎn)銷公司 A 品牌產(chǎn)銷線， 2022 年的銷售量為 萬(wàn)份，平均每份獲利 元，預(yù)計(jì)以后四年每年銷售量按 5000 份遞減，平均每份獲利按一定百分?jǐn)?shù)逐年遞減；受供給側(cè)改革的啟發(fā)，公司早在 2022 年底就投入資金 萬(wàn)元，新增一條 B 品牌產(chǎn)銷線，以滿足市場(chǎng)對(duì)蛋糕的多元需求， B 品牌產(chǎn)銷線 2022 年的銷售量為 萬(wàn)份，平均每份獲利 3 元，預(yù)計(jì)以后四年銷售量按相同的份數(shù)遞增，且平均每份獲利按上述遞減百分?jǐn)?shù)的 2 倍逐年遞增；這樣， 2022 年， A、 B 兩品牌產(chǎn)銷線銷售量總和將達(dá)到 萬(wàn)份， B 品牌產(chǎn)銷線 2022 年銷售獲利恰好等于當(dāng)初的投入資金數(shù)． （ 1）求 A 品牌產(chǎn)銷線 2022 年的銷售量； （ 2）求