考研數(shù)學(xué)二選擇題填空題-資料下載頁
2025-01-09 19:34本頁面
【正文】 ?? 其中 D 為 1, ,x x e x??軸以及所圍成的圖形 . (22)(本題滿分 11 分 ) 設(shè) ????????? 011 aA， ????????? bB 1 10，當(dāng) ba, 為何值時(shí)，存在矩陣 C ，使得 BCAAC ?? ，并求所有 矩陣 C . 【 解析 】 設(shè) 1234xxC xx???????，由于 AC CA B??，故 110a??????1234xxxx??????? 1234xxxx??????110a?????? ? 011 b??????， 即 1 2 11 3 2 43 4 312x x a xx a x x a x x x a xxx ??? ???? ?????? ??? ??011 b??????. 231 2 41 3 423011x axax x axx x xx ax b? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ??? (I) 由于矩陣 C 存在，故方程組 (I)有解 .對(duì) (I)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換： 0 1 0 0 1 0 1 1 11 0 1 0 1 0 01 0 1 1 1 0 1 0 10 1 0 0 0 0 0aa a aaaa b b? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1 0 1 1 10 1 0 00 0 0 0 10 0 0 0aab???????? ??? 方程組有解，故 10a?? ， 0b? ，即 1, 0ab?? ? . 當(dāng) 1, 0ab?? ? 時(shí)，增廣矩陣變?yōu)? 0 1 1 10 1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0???????? 34,xx為自由變量，令 341, 0xx??，代為相應(yīng)的齊次方程組，得 211, 1xx?? ? . 金程考研 令 340, 1xx??，代為相應(yīng)齊次方程組，得 210, 1xx??. 故 ? ?1 1, 1,1,0 T? ?? ， ? ?2 1,0,0,1 T? ? ，令 340, 0xx??，得特解， ? ?1,0,0,0 T? ? ，方程組的通解為 1 1 2 2 1 2 1 1 2+ + = ( + + 1 , , , ) Tx k k k k k k k? ? ?? ，所以 1 2 112k k kC kk? ? ???? ????，其中 12,kk為任意常數(shù) . (23)(本題滿分 11 分 ) 設(shè)二次型 23322112332211321 )()(2),( xbxbxbxaxaxaxxxf ?????? .記 ??????????????????????321321,bbbaaa?? . (Ⅰ )證明二次型 f 對(duì)應(yīng)的矩陣為 TT ???? ?2 ； (Ⅱ )若 ??， 正交且均為單位向量 .證明 f 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為 22212 yy ? . 【 解析 】 證明： (I) 221 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , ) 2( ) ( )f x x x a x a x a x b x b x b x? ? ? ? ? ? 11 2 3 232( , , )ax x x aa????? ??????11 2 3 23( , , )xa a a xx?????????? ? 11 2 3 23( , , )bx x x bb??????????11 2 3 23( , , )xb b b xx?????????? ? ? ? 11 2 3 23( , , ) 2 TTxx x x xx? ? ? ?????? ?????? TxAx? ，其中 2 TTA ?? ????. 由于 ( 2 ) 2 ,T T T T T TAA? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?所以二次型 f 對(duì)應(yīng)的矩陣為 2 TT? ??? . (II)由于 2 TTA ?? ????， ? 與 ? 正交，故 0T??? ， ? ， ? 為單位向量，故 1T? ? ???，故 1T??? ，同樣 1T??? .A?? (2 )TT?? ?? ?? ? 22TT?? ? ?? ? ???，由于 0?? ，故 A金程考研 有特征值 1 2?? .A?? (2 )TT?? ?? ?? ?? ，由于 0?? ，故 A 有特征值 2 1?? . ()rA? (2 )TTr ?? ??? (2 ) ( )TTrr?? ????? ( ) ( )TTrr?? ??? 1 1 2 3? ? ? . 所以 0A? ，故 3 0?? . 因此 f 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為 22122yy? .
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