【正文】 計算 μ = ， ， 1， 2， 5 時，泊松分布的 γ1 和 γ2，繪制概率分布圖并做比較 。 答： 泊松分布的概率函數(shù)： ? ? ??Eyypy!? 將 μ = ， ， 1， 2， 5 分別代入上式 。 （ 1） μ = 時 y p(y) 0 8 1 48 2 524 3 150 8 4 003 77 21?????????? （ 2） μ = 時 y p(y) 0 7 1 7 2 39 3 092 4 054 58 21?????????? （ 3） μ = 1 時 y p(y) 0 9 1 9 2 9 3 31 4 33 5 066 6 510 9 7 072 99 111111111121??????????? （ 4） μ = 2 時 y p(y) y p(y) 0 3 6 03 1 7 7 437 panapnapnlglglglg???2 7 8 859 3 3 4 9 190 9 4 22 10 038 19 5 09 （ 5） μ = 5 時 y p(y) y p(y) 0 738 9 27 1 69 10 13 2 22 11 424 3 4 12 434 4 5 13 321 5 5 14 471 7 6 2 15 157 2 7 4 16 049 14 8 28 可見，隨著 μ 的增大泊松分布越來越接近于 “正態(tài) ”的 。 隨機變量 Y 服從 正態(tài)分布 N(5,42)，求 P(Y≤0)， P(Y≤10)， P(0≤Y≤15)， P(Y≥5)，P(Y≥15)的值 。 答： ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 4515154551545045151504500451010????????? ??????????????? ???????????????? ???????? ????????????? ??????????? ???????????????YPYPYPYPYP 或者使用 SAS 程序計算，結果見下表： OBS MU SIGMA Y1 LOWERP Y2 UPPERP MIDP 121121??????????? 151121???????????1 5 4 10 . . . 2 5 4 0 . . . 3 5 4 0 15 4 5 4 . . 5 . 5 5 4 . . 15 . 已知隨機變量 Y 服從正態(tài)分布 N(0,52)，求 y0 分別使得 P(Y≤y0)=， P(Y≤y0)=， P(Y≤y0)= 及 P(Y≥y0)=。 答： ? ?? ?? ?? ? 50505050505050500000000000000000???????????? ?????????????? ??????????????? ??????????????? ???yyyyYPyyyyYPyyyyYyyyyYP???? 細菌突變率是指單位時間（細菌分裂次數(shù)）內(nèi)，突變事件出現(xiàn)的頻率 。 然而根據(jù)以上定義直接計算突變率是很困難的 。 例如，向一試管中接種一定量的細菌，振蕩培養(yǎng)后鋪平板 。 在平板上發(fā)現(xiàn) 8 個突變菌落 。 這 8 個突變細菌究竟是 8 個獨立的突變事件呢，還是一個突變細胞的 8 個子細胞是很難確定的 。 但是有一點是可以肯定的，即，沒有發(fā)現(xiàn)突變細胞的平皿一定沒有突變事件出現(xiàn) 。 向 20 支試管中分別接種 2107 個大腸桿菌，振蕩培養(yǎng)后鋪平板，同時接種 T1 噬菌體 。 結果在 9 個平皿中出現(xiàn)數(shù) 量不等的抗 T1 噬菌體菌落 。 11 個平皿上沒有出現(xiàn) 。 已知平皿上突變菌落數(shù)服從泊松分布并且細胞分裂次數(shù)近似等于鋪平板時的細胞數(shù) 。 利用泊松分布概率函數(shù)計算抗 T1 突變率 。 答： 已知接種細胞數(shù)為 n， n 即可認為是細胞分裂次數(shù) 。 若每一次細胞分裂的突變率為u，那么每一試管中平均有 un 次突變事件發(fā)生（ μ） 。 從泊松分布概率函數(shù)可知，無突變發(fā)生的概率 f(0)=Eun。 實驗結果無突變的平皿數(shù)為 11 個，即 f(0)=11/20=。 解下式 ??unE 即可求出突變率 u。 已知 n=108，代入上式得到 u=3108。 一種新的血栓溶解藥 tpA，據(jù)說它能消除心臟病發(fā)作 。 在一次檢測中的 7 名檢測對象，年齡都在 50 歲以上，并有心臟病發(fā)作史 。 他們以這種新藥治療后， 6 人的血栓得到溶解， 1 人血栓沒有溶解 。 假設 tpA 溶解血栓是無效的，并假設，不用藥物在短時間內(nèi)心臟患者血栓自己溶解的概率 φ 是很小的，如 φ=。 設 y 為 7 名心臟患者中血栓在短時間內(nèi)可以自動溶解的患者數(shù) 。 問：（ 1）若藥物是無效的， 7 名心臟患者中的 6 名血栓自動溶解的概率是多少？ （ 2） Y≥6是否為一稀有事件，你認為藥物是否有 效？ 答： （ 1） ф= 1－ ф= n=7 y=6， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? !1!6 ! 161667 ??? Cp （ 2） ? ? ? ? 10 0 00 0 777 ?? Cp P (Y≥6) = 006 3+ 000 1 = 106。 結論：在不用藥的情況下， 7 名病人中 6 名患者的血栓自動溶解的事件是一個小概率事件，因此藥物有效 。 一農(nóng)藥商聲稱，用他的農(nóng)藥噴灑玉米后， 90%的玉米植株中不再有活的玉米螟 。為了驗證這種說法，噴藥后隨機抽出 25 株玉米，發(fā)現(xiàn) 7 株中仍有活的玉米螟 。 （ 1）若農(nóng)藥商的說法是正確的，在 25 株玉米中包含 7 株和 7 株以上有活玉米螟的概率是多少？ （ 2）在 25 株玉米中有 7 株有活玉米螟，你是否認為農(nóng)藥有效率達不到 90%？ 答： （ 1） ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?61719662520552521442522332523222524125250025?????????????????????CCCCCCCYPYP （ 2） 是 設計一實驗用來檢驗號稱心靈感應者是否有特異功能 (ESP)。 將 5 張卡片洗勻隨機抽出一張，不準心靈感應者看，讓他判斷是哪一張 。 實驗共重復 20 次，記錄正確判斷次數(shù)（假設 20 次重復間是隨機的） 。 假設心靈感應者是猜的，沒有 ESP，那么 （ 1）每次得到正確結果的概率是什么？ （ 2）在 20 次重復中，期望正確判斷數(shù)是多少？ （ 3）正確判斷 6 次和 6 次上的概率是 多少？ （ 4）假設心靈感應者在 20 次重復中判斷正確 6 次，是否可以證明心靈感應者不是猜的，而是真正的 ESP？ 答： （ 1） p = 1/5。 （ 2） E(Y) = np = 201/5 = 4。 （ 3） ? ? 2022020146620 ???????????????????????????????? CCYP （ 4）不能 。 因為在猜想的情況下， 20 次重復中判斷正確 6 次的概率為 ，將近20%，已不是小概率事件，非心靈感應者有可能得到這樣的結果 。 據(jù)一個生化制藥廠報告，在流水線上每 8 小時的一個班中，破碎的安瓿瓶數(shù)服從泊松分布， μ=。 問： （ 1）夜班破碎 2 個瓶子的概率是多少 ？ （ 2）在夜班打碎 2 個以下的概率是多少？ （ 3）在早班破碎 2 個以上的概率是多少？ （ 4）在一天連續(xù)三班都沒有破碎的概率（假設三班間是獨立的）？ 答： （ 1） ? ? !2 ???p （ 2） ? ? ? ? !1 !0 ???????? pp （ 3） ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? pppxP （ 4）記 A 為每個班沒有破碎的事件，則 ? ? ? ?? ? 0 1 2 33 ??? pAAAP 第四章 抽樣分布 第四章的習題讀者可以照常練習 。 在這里，利用 SAS 軟件包中的 “正態(tài)分布隨機數(shù)函數(shù) ”做一抽樣試驗，進行一個類似的演示 。 假定總體平均數(shù) ??＝ ?，標準差 ???＝ ?，用下式： Y＝ 8＋ 2正態(tài)分布隨機數(shù)，獲得一個服從 ?（ ?， ??）分布的正態(tài)總體 。 從該正態(tài)總體中隨 機抽取含量為 100 的樣本，共抽取 10 000 個樣本 。 計算每一樣本的 ssy 和2, ，然后計算樣本平均數(shù) 、 樣本方差和樣本標準差的平均數(shù) ( ssy , 2 )以及它們的標準差( ssy sss , 2 )。 用上述結果與 ssy 和2, 分布的特征數(shù) [分別見 ()， ()式； ()， ()式以及 ()， ()式 ] 比較 。 看一看抽樣的結果是否能夠很好地估計總體參數(shù) 。 抽樣試驗還可以進一步深入，計算每一樣本的 t。 然后計算 t 的平均數(shù)和標準差，用計算的結果與 t 分布的特征數(shù)比較， [見 ()， () 式 ]。 看一看抽樣的結果與總體參數(shù)的一致性是否很好 。 為 了與問題的要求一致，抽樣分兩部分進行，下面先討論樣本平均數(shù) 、 樣本方差和樣本標準差的分布 。 SAS 程序如下： options nodate。 data value。 n=100。 m=10000。 df=n1。 do i=1 to m。 retain seed 3053177。 do j=1 to n。 y=8+2*normal(seed)。 output。 end。 end。 data disv。 set value。 sqy=y*y。 by i。 if then sumy=0。 sumy+y。 if then sumsqy=0。 sumsqy+sqy。 my=sumy/n。 vacey=(sumsqymy*sumy)/df。 stdy=sqrt(vacey)。 if then output。 run。 proc means mean var std。 var my stdy vacey。 title 39。Sampling Distribution: Mu=8 sigma=239。 run。 程序運行的結果見下表： Sampling Distribution: Mu=8 sigma=2 Variable Mean Variance Std Dev MY STDY VACEY 下面將相應的參數(shù)值，列成一個對應的表格，以便能夠在抽樣的結果與總體參數(shù)間做一個很清楚地比較 。 變 量 μ σ2 σ Y 0 0