【正文】 ? ?? ? ?所 以 ? 3 5 4s in ( ) 0 , ( , ) , c o s ( )4 5 4 4 4 5? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以?????? 9分 所以 2524)4c os ()4s i n (2)22s i n (2c os ?????? ??????? ???? 12 分 ：（ 1）連結(jié) BD ， ∵ PA? 平面 ABCD ， BD? 平面 ABCD ， ∴ PA BD? ， 又 ∵ BD AC? ， AC PA A? ， 第 17 頁 / 共 26 頁 ∴ BD? 平面 PAC ， 又 ∵ E ， F 分別是 BC 、 CD 的中點(diǎn)， ∴ //EF BD ， ∴ EF? 平面 PAC ，又 EF? 平面 NEF ， ∴ 平面 PAC? 平面 NEF ； ????? 4 分 （ 2）連結(jié) OM ， ∵ //PC 平面 MEF ，平面 PAC 平面 MEF OM? ， ∴ //PC OM ， ∴ 14PM OCPA AC??，故 : 1: 3PM MA ? ???????????? 6分 （ 3） ∵ EF? 平面 PAC ， OM? 平面 PAC ， ∴ EF? OM ，在等腰三角形 NEF 中，點(diǎn) O 為 EF 的中點(diǎn)，∴ NO EF? ， ∴ MON? 為所求二面角 M EF N??的平面角， ?? 8分 ∵ 點(diǎn) M 是 PA 的中點(diǎn)， ∴ 2AM NC??， 所以在矩 形 MNCA 中，可求得 42M N AC??， 6NO? ， 22MO? ， ?? 10 分 在 MON? 中，由余弦定理可求得 2 2 2 33c o s 2 3 3M O O N M NM O N M O O N??? ? ? ???， 有空間位置關(guān)系知 二面角 M EF N??為鈍角 ∴ 二面角 M EF N??的余弦值為 3333?． ????? 12 分 3.（ 1）依題意可知：平面區(qū)域 U 的整點(diǎn)為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 2 , 1 , 0 , 2 , 0 , 1 , 1? ? ? ? ? ?共有 13 個(gè)，平面區(qū)域 V 的整點(diǎn)為 ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 0 , 1 , 1, 0??共有 5個(gè)， ????? 4分 ∴ 2158313C .C 40C 143P ???????? 6分 ． (2)依題意可得：平面區(qū)域 U 的面積為： 2π 24π?? ，平面區(qū)域 V 的面積為： 1 2 2 22? ? ? ． 在區(qū)域 U 內(nèi)任取 1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域 V 內(nèi)的概率為 214π 2π? ， 易知： X 的可能取值為 0123， ， ， ， ???? 8分 ? ? ? ?320 3 1 20223 332 π 1 3 2 π 11 1 1 1( 0 ) C 1 ( 1 ) C 122 π 8 π 2 π 2 π 8 πP X P X? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?2 1 3 023 32 π 11 1 1 1 1( 2 ) C 1 ( 3 ) C 12 π 2 π 8 π 2 π 2 π 8 πP X P X?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?，． ∴ X 的分布列為： X 0 1 2 3 P ? ?332π 18π? ? ?2332π 18π? ? ?332π 18π? 318π ???? 12 分 X 的數(shù)學(xué)期望 ? ? ? ? ? ?323 3 3 32 π 1 3 2 π 1 3 2 π 1 130 1 2 3 =8 π 8 π 8 π 8 π 2 πEX ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． 第 18 頁 / 共 26 頁 （或者： 1~ (3, )2πXB ，故 13=3 2π 2πE X n p? ? ?）???? 14分 （ 1）設(shè)動(dòng)圓圓心 C 的坐標(biāo)為 ? ?,xy ，動(dòng)圓半徑為 R ， 則 221 ( 2 ) 1C C x y R? ? ? ? ?，且 1yR?? 可得 22( 2 ) 1 1x y y? ? ? ? ?．????? 3分 由于圓 1C 在直線 l 的上方，所以動(dòng)圓 C 的圓心 C 應(yīng)該 在直線 l 的上方，所以有 10y?? ， 從而得 22( 2) 2x y y? ? ? ?，整理得 2 8xy? ，即為動(dòng)圓圓心 C 的軌跡 M 的方程．? 6 分 (2)如圖示，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 200, 8xx??????，則切線的斜率為 04x ，可得直線 PQ 的斜率為04x? ，所以 直線 PQ 的方程為 20 004 ()8xy x xx? ? ? ?．????? 8分 由于該直線經(jīng)過點(diǎn) ? ?0,6A ，所以有 20648x??，得 20 16x ? ．因?yàn)辄c(diǎn) P 在第一象限，所以 0 4x? ，點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ? ?4,2 ，直線 PQ 的方程為 60xy? ? ? ． ????? 10 分 把直線 PQ 的方程與軌跡 M 的方程聯(lián)立得， 2 8 48 0xx? ? ? 解得 12 4x?? 或 ，可得點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ? ?12,18 ．?????? 12 分 所以 1 482 pqS O A x x? ? ? ?????? 14分 ： (1)∵ 131)( 23 ???? bxaxxxf ,∴ baxxxf ???? 2)( 2 ， (1) 1 2 1f a b? ? ? ? ? ． 2ba ① ??2 分 ()fx 有極值， ∴ 方 程 2( ) 2 0f x x a x b? ? ? ? ?有 兩個(gè)不等 實(shí) 24 4 0ab? ? ? ? 2 0ab? ? ? ． ② ,由①、②可得， 2 20aa? ? ? , 20aa? ? ? ?或 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ? ? ? ? 2 0 +a? ? ? ?， ， ? 4分 (2)存在 8=3a? .????? 5分 由 (1)可知 baxxxf ???? 2)( 2 ，令 f/(x)=0 .2,2 2221 aaaxaaax ????????? 函數(shù)的增減性隨自變量的變化情況如下表： x ? ?1,x?? 1x ? ?12,xx 2x ? ?2,x ?? O A B P x y Q F A 第 19 頁 / 共 26 頁 1x + 0 0 + 2x 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 ∴ 2xx? 時(shí) f(x)取極小值，則 322 2 2 21( ) 2 1 13f x x a x a x? ? ? ? ?, ∴ 22 2 2. 0 3 6 0x x ax a? ? ? ?或 ??????????? 7分 若 2=0x? ，即 ,022 ???? aaa 則 a=0 (舍 )． ????????8 分 若 .04,022,0)(,063 22222222 ???????????? aaxaaxxxfaaxx 又 .23842,4,0 22 ????????????? aaaaxa? ∴存在實(shí)數(shù) 8= 3a? － ,使得函數(shù) ()fx 的極小值為 1 ??? 9分 (3)∵ ,1)(,21 2 ????? xxxfa 13)1( 2/ ????? xxxf , xxxxxxf 113)1( 2 ???????? ),0(,1)( ?????? xxxg ??． l0 分 nnnnnn xxxxxxxg 1)1(1)( ?????? 11~2222211 )1()1()1()1( ????? ????? nnnnnnnnnn xxCxCxxCxxC ? )]1()1()1([21 221442221 ?????? ??????? nnnnnnnnnn xxCxxCxxC ￢? ? ?22144222~1 12121221 ?????? ??????? nnnnnnnnnn xxCxxCxxC ?.2221 ?????? ? nlnnnn CCC ? ∴其中等號(hào)成立的條件為 =1x? ???????????? ??? 13分 *)(221)( Nnxxxg nnnn ?????? ????????????? 14分 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時(shí)訓(xùn)練（ 9） 1.(1)解：9f ??????? tan 34??????????tan tan341 tan tan34???? ??? 31 2313?? ?? ?? ?????? 4分 (2)解法 2：因?yàn)?3ta n3 4 4 4f ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?tan ?? ?? tan 2???．? 7分 所以 22c os 2 c os si n? ? ??? 22cos sincos sin???? ? 221 tan1 tan ???? ? 1 4 31 4 5?? ??? ． 12 分 2.(1)得分為 40分， 8道題必須全做對(duì) .在其余的三道題中，有一道題答對(duì)的概率為 12 ，有一道題答對(duì)的概率為 13 ，還有一道答對(duì)的概率為 14 ，所以得分為 40 分的概率為： 第 20 頁 / 共 26 頁 P＝ 241413121 ??? ???（ 6分） (2)依題意，該考生得分的范圍為｛ 25， 30， 35， 40｝ . 得分為 25分表示只做對(duì)了 5道題， 余各題都做錯(cuò)，所以概率為： 414332211 ????P： 得分為 30分的概率為： 24114331214332214132212 ??????????P 得分為 35分的概率為： 414131214132214331213 ??????????P ； 得分為 40分的概率為： ??2414P 12365247302414041352411304125 ??????????? ?E ???（ 12分） 3.（ 1） 取 PD中點(diǎn) Q,連結(jié) AQ， 1/ / ,2E C P D E C P D? / / ,E C D Q E C D Q??,∴四邊形 DCEQ為平行四邊形， / / ,E Q D C E Q D C??, ∵ ABCD為正方形， / / ,EQ AB EQ AB??,∴四邊形 BEQA為平行四邊形，∴ AQ//BE， AQ? 平面 PAD,BE? 平面 PAD, ∴ BE//平面 PAD。 （ 2） 延長(zhǎng) PE交 DC于點(diǎn) K， 連結(jié) BK，則平面 PBE與平面 ABCD的交線為 BK, PD? 平面 ABCD, ,PD BK?? 又 1/ / , 2E C P D E C P D?易知， E為 P、 G中點(diǎn)， C為 D， K中點(diǎn)，由正方形 ABCD可得BD=BK,且 BD⊥ BK， ,BD PD D BK? ? ?平面 PDB, PB BK??， PBD?? 為所求二面角的平面角， 26c o s 33B D A DPBD PB AD? ? ? ?， 所以平面 PBE與平面 ABCD所成的二面角的余弦為 63 ； 解法 2： （ 1） E 2 0 1B ?＝ （ ， ， ） ,設(shè)平面 PDA的法向量為 n ，可取 (0,1,0)n? ， 0 , , / / 。n B E B E P D A B E P D A? ? ?平 面 平 面 （ 2） 設(shè)平面 ABCD的法向量為 1n ，可取 1 (0,0,1)n ? ，設(shè)平面 PBE的法向量為 2n ， 2 220 , ( 2 , 2 , 2 ) , ( 0 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 )0n PB PB PE nn PE? ?? ? ? ? ? ? ????? 126co s , 3nn? ? ?? 所以平面 PBE與平面 ABCD所成的二面角的余弦為 63 . ：（ 1）1 12n na a? ? ?， 21 1 1111 1 112nn n nnaa a aa?? ? ? ? ?? ? ??? 第 21 頁 / 共 26 頁 ∴111 111nnaa? ? ? ??? ∴ 1{}1na?為首次為 2，公差為 1的等差數(shù)列 ∴ 11na?=2+（ n1）（ 1） =（ n+1） ∴ 1n na n? ? (2) 111n nb nn?? ? ? 令3 1 1 1++1 + 2 3 nn n nC B B nn? ? ? ?? ∴1 1 1 1 1 1++2 + 3 3 ( n + 1 )