數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題三附答案-資料下載頁(yè)
2026-01-09 07:12本頁(yè)面
【正文】 。如果m＜n，那么方程有不等的實(shí)數(shù)根；(2)如果m＞n，那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.6．求作一個(gè)以兩正數(shù)α，β為根的二次方程，并設(shè)α，β滿足7．（1987年全國(guó)初中競(jìng)賽題）當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程x2+（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有實(shí)根？8．（1985年蘇州初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）試證：1986不能等于任何一個(gè)整系數(shù)二次方程ax2+bx+c=0的判別式的值.9．（第20屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）方程x2+ax+1=b的根是自然數(shù)，證明a2+b2是合數(shù).10．（1972年加拿大試題）不用輔助工具解答：（1）…間；（2）同（1）證＜.練習(xí)二十一1.(1)(2)(3)3.BA.3.=a+2177。由于x為自然數(shù)，可知a為完全平方數(shù)即a=1，4，9，16，25，36，49.+2=0.,所以判別式=4k+2(其中k是自然數(shù)).令△=b24ac=4k+2,這時(shí)b2能被2整除,＝2t,這時(shí)b2=4t2,且4t24ac=4k+,而右邊的數(shù)不能被4整除,得出矛盾,故命題得證.，可得x2198x+1=0,其根競(jìng)賽講座25－絕對(duì)值與二次根式1．絕對(duì)值例1（1986年揚(yáng)州初一競(jìng)賽題）設(shè)T=|xp|+|x15|+|xp15|，其中0＜p＜≤x≤15的x的來(lái)說(shuō)，T的最小值是多少？解由已知條件可得T=（xp）+（15x）+（p+15x）=30x.∵當(dāng)p≤x≤15時(shí)，上式中在x取最大值時(shí)T最?。划?dāng)x=15時(shí)，T=3015=15，故T的最小值是15.例2若兩數(shù)絕對(duì)值之和等于絕對(duì)值之積，.證設(shè)兩數(shù)為a、b，則|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b||a|=|a|（|b|1）.∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|1=＞0，∴|b|＞1.同理可證|a|＞1.∴a、b都不在1與1之間.例3設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，證明|a||b|≤|a+b|≤|a|+|b|.證明當(dāng)|a||b|≤0時(shí)，|a||b|≤|a+b|成立.當(dāng)|a||b|＞0時(shí)，由于（|a||b|）2|a+b|2=（a2+b22|ab|）（a2+b2+2ab）=2（|ab|ab）≤0，∴|a||b|≤|a+b|.同理可證|a+b|≤|a|+|b|.2．根式在根式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明的過(guò)程中，常采用配方法、乘方法、比較系數(shù)法、設(shè)參法、公式法等等，現(xiàn)舉例如下：（1）配方法：將二次根號(hào)內(nèi)的式子配成完全平方式，將三次根號(hào)下的式子配成完全立方式.例4(1981年寧波初中競(jìng)賽題)設(shè)的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,試求的值.解=4=2+(2),故x=2,y=2,∴x+y+=4+2+=6.例5化簡(jiǎn)解原式==|x+3|+|x1||x2|.令x+3=0，x1=0，x2==3，x=1，x=2，這些點(diǎn)把數(shù)軸劃分成四個(gè)部分：當(dāng)x＜3時(shí)原式=（x+3）（x1）+（x2）=x4；當(dāng)3≤x＜1時(shí)，原式=（x+3）（x1）+（x2）=x+2；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，原式=（x+3）+（x1）+（x2）=3x；當(dāng)x＞2時(shí)，原式=（x+3）+（x1）（x2）=x+4.說(shuō)明：將根號(hào)下含字母的式子化為帶絕對(duì)值的式子來(lái)討論，是解這類問(wèn)題的一般技巧.例6化簡(jiǎn)（a＞＞0）.解原式===∵a＞＞0.∴a2＞2b2，∴原式=例7求證：證明：∵=∴原式=4.(2)乘方法:由于乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算,順理成章地可以用乘方的方法去根號(hào)例8已知求證:(x+y+z)3=27xyz.證明:∵∴兩邊立方x+y+即再邊再立方得（x+y+z）3=27xyz.例9已知求證證明設(shè)則即同理可設(shè)則∴A+B===由A+B=a，得∴（2）比較系數(shù)法例10求滿足條件的自然數(shù)a、x、y.解將等式兩邊平方得∵x、y、a都是自然數(shù).∴只能是無(wú)理數(shù)，否則與等式左邊是無(wú)理數(shù)相矛盾.∴x+y=a，xy=6.由條件可知x＞y且x、y是自然數(shù).當(dāng)x=6時(shí)，y=1，得a=7.當(dāng)x=3時(shí)，y=2，得a=5.故x=6,y=1,a=7.或x=3,y=2,a=5.例11化簡(jiǎn)分析被開(kāi)方式展開(kāi)后得13+2,含有三個(gè)不同的根式,且系數(shù)都是2,可看成是將平方得來(lái)的.解設(shè)=,兩邊平方得13+2=x+y+z+2比較系數(shù),得 ①②③④由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴y=5（x、y、z非負(fù)），∴=1，∴原式=1+（4）設(shè)參法例12（1986年數(shù)理化接力賽題）設(shè)（a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是正數(shù)）.求證:=證明設(shè)且a1=b1k,a2=b2k,…，an=bnk.左邊==右邊==∴左邊=右邊（5）公式法、代數(shù)變換及其他例13已知x=求x3+12x的值.解由公式（ab）3=a3b33ab（ab）可得=83=812x.∴x3+12x=8.例14設(shè)求x4+y4+（x+y）4.解由條件知∴x+y=5，xy=1.∴原式=(x2+y2)22x2y2+(x+y)4=[(x+y)22xy]22x2y2+(x+y)4=(252)22+54=1152.例15(1978年羅馬尼亞競(jìng)賽題)對(duì)于a∈R，確定的所有可能的值.解記y=.①先假定a≥0，這時(shí)y≥0，把①兩邊平方得②即③再平方，整理后得④從而≥0.由②知y2＜2a2+22=2.再由⑤知y2≤1，∴0≤y＜1.反過(guò)來(lái),對(duì)于[0,1]中的每一個(gè)y值,由⑤可以定出a，并且這時(shí)2a2+2y2＞0，故可由⑤逆推出②和①，因而在a≥0時(shí)，的值域?yàn)椋?，1）.同樣在a＜0時(shí)，的值域?yàn)椋?，0），綜上的值域是（1，1）.練習(xí)十七1．選擇題（1）若實(shí)數(shù)x滿足方程|1x|=1+|x|，那么等于（）.（A）x1（B）1x（C）177。（x1）（D）1（E）1（2）方程x|x|5|x|+6=0的最大根和最小根的積為（）.（A）6（B）3（C）3（D）6（E）18（3）已知最簡(jiǎn)根式與是同類根式，則滿足條件的a、b的值（）.（A）不存在（B）有一組（C）有二組（D）多于二組2．空題（1）已知|x8y|+（4y1）2+則x+y+z=_________.（2）若a＞b＞c＞0，l1=乘積中最小的一個(gè)是__________.（3）已知0＜x＜1，化簡(jiǎn)（4）已知?jiǎng)t（5）（北京市1989年高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)x是實(shí)數(shù)，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.則f（x）的最小值等于__________.(a＞0).＜0，a2+b2=a2b2，化簡(jiǎn)5．如果x＞0，y＞0，且試求的值.6．（第8屆美國(guó)教學(xué)邀請(qǐng)賽試題）求的值.7．求適合下列各式的x、y；（1）若x、y為有理數(shù)，且（2）若x、y為整數(shù)，8．已知求證a2+b2=1.9．已知A=求證11＜A3B3＜12＜A3+B3＜13.10．（1985年武漢初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知其中a、b都是正數(shù).（1）當(dāng)b取什么樣的值時(shí)，的值恰好為b？（2）當(dāng)b取什么樣的值時(shí)，的值恰好為？練習(xí)十七2．（1）3（2）l（3）2x（4）a22（5）6.３．當(dāng)時(shí)，ｙ＝ａ，當(dāng)ｘ＞２ａ２時(shí)，ｙ＝４．∵ａｂ＜０，∴｜ａｂ｜＝－ａｂ，若ａ＞０＞ｂ，原式＝－ａｂ；若ａ＜０＜ｂ，原式＝ａｂ．５．原式＝２．６．原式＝８２８．７．（１）（２）ｘ＝２２，ｙ＝２；ｘ＝－２２，ｙ＝－２．８．由條件知兩邊平方后整理得再平方得12b22a2+b4+2a2b2+a4=0即12(a2+b2)+(a2+b2)2=0,[1(a2+b2)]2=0,∴a2+b2=1.9.∵A2+B2=6,AB=2,∴(A+B)2=1,A+B=,AB=,∴A3B3=(AB)+3AB(AB)=８．當(dāng)b≥0時(shí)，原式值為b，當(dāng)0＜b＜1時(shí)，原式值為 第 62 頁(yè) 2022211更多內(nèi)容盡在
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