【正文】 能。+此數(shù)為完全平方，則必須是11的倍數(shù)。解：設(shè)此數(shù)為故不可能有完全平方數(shù)。此數(shù)有3的因子，故9︱A。3︱600　∴3︱A解：設(shè)由300個2和若干個0組成的數(shù)為A，則其數(shù)字和為600[例5]：用300個2和若干個0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？　　[例4]：試證數(shù)列49,4489,444889,的每一項都是完全平方數(shù)。　　另證　由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。若，則在兩端同時減去1之后即可推出矛盾?！』颉　　》治觥⌒稳绲臄?shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即這就證明了m是一個奇數(shù)的平方。是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數(shù)的平方即可。欲證　　[例2]：求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學競賽題)。代入(2)得。但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是。(　∴nm(2)(1)可得　(m,n為自然數(shù))　　解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；8n+3,177。+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；；,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；　(二)重要結(jié)論則k一定不是完全平方數(shù)。k(n+1)　　性質(zhì)12：在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若　　性質(zhì)11：如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。必要性：若為完全平方數(shù)，=，則==(ac)證明　充分性：設(shè)b為平方數(shù)，則4)=9(9177。3)=9(9177。2)=9(9177。1)=9(9177。9k177。9k177。9k177。證明　因為一個整數(shù)被9除只能是9k,9k177。對于n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。==　=設(shè)四位數(shù)為，則一個數(shù)的數(shù)字和等于這個數(shù)被9除的余數(shù)。我們可以得到下面的命題：如果再把13的各位數(shù)字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。除了上面關(guān)于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。3m+2。性質(zhì)6：平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。性質(zhì)5：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型?！　　　　?2k)=4這是因為　(2k+1)=4k(k+1)+1　　推論2：如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)?！唷為奇數(shù)?；颉=10+12n+3=2(5+6n)+3即　k=10+8n+1=2(5+4n)+1或　10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+610k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6則證明　已知=10k+6，證明k為奇數(shù)。綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9；十位數(shù)字為偶數(shù)。(5a+9a+4)+110a+7,10a+3,　　性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。　　觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認識。0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…例如：10|(a1985a1949).10.（1985年北京市初中數(shù)學競賽題）若a為自然數(shù)，證明9.（1986年五城市聯(lián)賽試題）若a為自然數(shù)，則a43a2+9是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？給出你的證明.(ab+bc+ca)(a+b+c)abc.(x+y)3x3y3+3xy..5.（1986年全國初中數(shù)學知識競賽）分解因式(x+y)3+2xy(1xy)1.（2）（1989年廣州等五市聯(lián)賽）分解因式(x+y)(xy)+4(y1).4.（1）分解因式a3bab3+a2+b2+1（2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)12.3.（1）分解因式a2b2+4a+2b+3（2）已知x2+x1=0,則x3+2x2+1985=____.（1）多項式6x2+mxy3y2+3x+10y3能分解成關(guān)于x、y的一次多項式,則m=____.(D)70(C)140(A)4900)(D)1或1(C)0(B)1或(A)1或)(C)2(B)10(1)在1到100之間若存在整數(shù)n,使x2+xn能分解為兩個整系數(shù)一次式的乘積,這樣的n有(練x319x30=(x+2)(x+3)(x5).15,177。6,177。4,177。2,177。30的因數(shù)為177?！遖|(a319a),這里常數(shù)項是30,如果多項式f(x)=x319x30有xa這種形式的因式,那么a一定是30的因數(shù),這是因為f(a)=a319a30=0即a319a=30.分析分解因式x319x30.以證明（1985年武漢市初中數(shù)學競賽題）證明：2x+3為多項式2x45x310x2+15x+18的因式.分析例9分解因式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab).=(ab)(bc)(ca).∴a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現(xiàn)以a為主元，設(shè)f(a)=a2(bc)+b2(ca)+c2(ab),易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0,故ab和ac是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知bc也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設(shè)a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)=k(ab)(bc)(ca),其中k為待定系數(shù)，令a=0,b=1,c=1可得k=1.解現(xiàn)在我們用因式定理來解例8.對于多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數(shù)來處理.∴(xa)|f(x),由于(xa)|(xnan),(xa)|(xn1an1),…,(xa)|(xa),=an(xnan)+an1(xn1an1)+…+a1(xa),=(anan+an1an1+…+a1a+a0)=(anxn+an1xn1+…+a1x+a0)f(x)=f(x)f(a)若f(a)=0,則設(shè)f(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0,=2[(x+y)42xy(x+y)2+(xy)2]∴原式=(x+y)44xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=(x+y)44xy(x+y)2+2x2y2.=(x+y)44x3y6x2y24xy2∵x4+y4例6=(A+16)(A6)=(x2+5x+16)(x2+5x6)=(x2+5x+16)(x+6)(x1)原式=(A+6)(A+4)120=A2+10A96代入上式,得令=(x2+5x+6)(x2+5x+4)120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)120原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)120解(x2+3x+2)(x2+7x+12)120.又pr=d.比較兩邊系數(shù)得(其中p、q、r均為整數(shù))=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+prx3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)設(shè)①②③=3x2+5xy2y2+(a+3b)x+(2ab)y+ab.=(3xy+a)(x+2y+b)3x2+5xy2y2+x+9y4由于3x2+5xy2y2=(3xy)(x+2y)，故可設(shè)解例3分解因式3x2+5xy2y2+x+9y4.若兩多項式f(x)=g(x)，則它們同次的對應項系數(shù)一定相等，利用這條結(jié)論可將某些因式分解的問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題來解決.由于大于1的自然數(shù)k有無窮多個，故有無窮多個自然數(shù)a，使n4+a對一切自然數(shù)n總非素數(shù)故①的右邊兩個因子都大于1，故當k＞1時，z是合數(shù).(nk)2+k2＞1=[(n+k)2+k2][(nk)2+k2].=(n2+2k2+2nk)(n2+2k22nk)=n4+4n2k2+4k44n2k2z=n4+a設(shè)a=4k4（k為大于1的自然數(shù)），則=[(1+y)+x2(1y)+2x]=[(1+y)+x2(1y)]2(2x)2=[(1+y)+x2(1y)]22(1+y)x2(1y)2x2(1+y2)解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1y)22(1+y)x2(1y)2x2(1+y2)（1+y）22x2(1+y2)+x4(1y)2（1986年揚州初一數(shù)學競賽題）分解因式 ⑤１０００３．設(shè)從首位起，各位數(shù)字順次為ａ，ｂ，ｃ，ｄ，則ａ＜ｂ，ａ＜ｃ，ａ＜ｄ，且ｃ＜ｄ，ｄ＜ｂ．又ｃ＝２（ａ＋ｄ）．且２≤ｃ≤８，故２≤２（ａ＋ｄ）≤８．∵ｄ為奇數(shù)，ａ≠０，∵ａ＝１，ｄ＝３．這時ｃ＝２（ａ＋ｄ）＝８，ｂ＝９．４．略．５．設(shè)Ａ、Ｂ、Ｃ單獨完成同一工作所需時間分別為ａ、ｂ、ｃ，則單位時間他們可分別完成全部工作的、依題意有：由上面三式，可得：６．設(shè)三位數(shù)為，重排后最大數(shù)為則最小數(shù)為于是有由于Ｃ＜Ａ，由上式有１０＋Ｃ－Ａ＝ｚ，１０＋（Ｂ－１）－Ｂ＝ｙ，（Ａ－１）－Ｃ＝ｘ．可求得ｙ＝９，ｘ＝４，ｚ＝５．７．設(shè)該煤礦該年度產(chǎn)煤總量為ｘ，每年非工業(yè)用煤量為ｙ，該工業(yè)城市該年工業(yè)用煤量為ｚ，并設(shè)只供這樣一個城市工業(yè)用煤可用ｐ年，由題意得方程組：　　　?、佟、凇、塾散倥c②得ｙ＝２ｚ．　　　　　　?、軓蘑佟ⅱ?、④三式中消去ｘ、ｙ、ｚ，得 ③１６ ②練習五１．Ａ．Ｃ．Ｅ．Ａ．２．① (D)x＜y ）.（5）汽車A和B行駛同樣的距離，汽車A以每小時u千米行駛距離的一半并以每小時υ千米行駛另一半，汽車B以每小時u千米行駛所行時間的一半并以每小時υ千米行駛另一半，汽車A的平均速度是每小時x千米，汽車B的平均速度是每小時y千米，那么我們總有（ （D）24 （C）6 （B）5 （E）這些都不是（3）某超級市場有128箱蘋果，每箱至少120只，至多144只，裝蘋果只數(shù)相同的箱子稱為一組，問其中最大一組的箱子的個數(shù)n，最小是（（C）44 （B）25 (E)（2）兩個孩子在圓形跑道上從同一點A出發(fā)，按相反方向運動，他們的速度是每秒5英尺和每秒9英尺，如果他們同時出發(fā)并當他們在A