【正文】 9+6m+1=3k+1(3m+2)=9+12m+4=3k+1同理可以得到：性質7：不能被5整除的數(shù)的平方為5k177。性質8：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。下面我們提到的一個數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。下面以四位數(shù)為例來說明這個命題。1000a+100b+10c+d　　　　999a+99b+9c+(a+b+c+d)　　　　9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)顯然，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。關于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質：　　性質9：完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。1,2,3,4這幾種形式，而(9k)=9(9)+0(9k177。2k)+1(9k177。4k)+4(9k177。6k)+9(9k177。8k+1)+7除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質：　　性質10：為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。證明　由題設可知，a有質因子p，但無因子，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標準式時，各質因子的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)。性質13：一個正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個因子(包括1和n本身)。2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；+2,8n+5,(三)范例　　[例1]：一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。解之，得n=45。故所求的自然數(shù)是1981。　　分析　設四個連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)?！　∽C明　設這四個整數(shù)之積加上1為m，則　　　　　　　　　　　　　　而n(n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因為2n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)?！　例3]：求證：11,111,1111,這串數(shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學競賽題)?！　∽C明　若，則因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。綜上所述，不可能是完全平方數(shù)。但已證過，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1，所以不是完全平方數(shù)?！　∽C明　　　　　　=　　　　　=++1　　　　　=4+8+1　　　　　=4()(9+1)+8+1　　　　　=36()+12+1　　　　　=(6+1)即為完全平方數(shù)。但9︱600，∴矛盾。[例6]：試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999小學數(shù)學世界邀請賽試題)。因此11︱ab，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8),直接驗算，可知此數(shù)為7744=88。(2)被22除余數(shù)為5。解：設，其中n,N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)。+=====2601,5329,9025。為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學邀請賽試題)？　　解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)。所以，的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元?！　〗猓涸O矩形的邊長為x,y，則四位數(shù)∵N是完全平方數(shù)，11為質數(shù)　∴x+y能被11整除?！唷?x+1是一個完全平方數(shù)，而，驗算知x=7滿足條件?！　例10]：求一個四位數(shù)，使它等于它的四個數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。經(jīng)計算得，其中符合題意的只有2401一個?！　〗猓猴@然?！撸?。這樣，n只有24,27,30三種可能。經(jīng)計算得故所求的自然數(shù)n27。,1不是完全平方數(shù)。競賽講座24－判別式與韋達定理根的判別式和韋達定理是實系數(shù)一元二次方程的重要基礎知識，利用它們可進一步研究根的性質，也可以將一些表面上看不是一元二次方程的問題轉化為一元二次方程來討論.1．判別式的應用例1=（Pc+Ra）24ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）24ac=（PcRa）2+4ac（PR1）.∵（PcRa）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）當ac≥0時，有△≥0；（2）當ac＜0時，有△=（2b）24ac＞0.（1）、（2）證明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有實數(shù)根.例2PAk為何值時，x有兩個解x1，x2（設x1＜x2）；此處無圖（2）（ax）=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，=顯然△不是一個完全平方式，故原式不能分解為兩個一次因式之積.例3②求證：0≤x≤=16（xa）216（4x24ax+a2）≥0≥0≤x≤同理可證：0≤y≤，0≤z≤.例5設a1，a2，a3，b是滿足不等式（a1+a2+a3）2≥2（）+4b的實數(shù).求證：a1a2+a2a3+a3a1≥3b.證明設a、b、c為實數(shù)，方程組與:對于一切實數(shù)x都有＞證明由已知條件可以推出a≠0，因為若a=0，則方程組至少有一個有實數(shù)解.進一步可知，方程ax2+bx+c=177。方程a1a2x2+b1b2x+c1c2=0③③也有兩個負根.證明∵方程①有兩個實數(shù)根，∴＞0.④同理＞0.=（n≥3），∴原式=+=例10（1989年全國初中聯(lián)賽試題）首項不相等的兩個二次方程（a1）x2（a2+2）x+（a2+2a）=0②（其中a，b為正整數(shù)）有一公共根，求的值.解由題得知，a，b為大于1的整數(shù)，且a≠①②的公共根，則x0≠1，否則將x=1代入①得a=1，并經(jīng)變形得④所以a，b是關于t的方程相異的兩根，因此于是或∴例11（仿1986年全國高中聯(lián)賽題）設實數(shù)a，b，c滿足①②（1933年福建初中數(shù)學競賽題）求證：對任一矩形A，總存在一個矩形B，使得矩形A和矩形B的周長和面積比都等于常數(shù)k（k≥1）.分析設矩形A及B的長度分別是a，b及x，y，為證明滿足條件的矩形B存在，只須證明方程組=k2（a+b）24kab≥k2（a+b）24k2ab=k2（ab）2≥0，∴上述二次方程有兩實根z1，z2.又z1+z2=k（a+b）＞0，z1z2=kab＞0，從而，z1＞0，z2＞0，即方程組恒有x＞0，y＞0的解，所以矩形B總是存在的.練習二十一1．填空題（1）（2）（3）(B)1985(C)非實數(shù)(B)相等兩實數(shù)(C)非實數(shù)或相等兩實數(shù)如果關于方程mx22（m+2）x+m+5=0沒有實數(shù)根，那么關于x的方程（m5）x22（m+2）x+m=0的實根個數(shù)為(A)2(B)1(C)0(D)不確定3．（1983年杭州競賽）設a1≠0，方程a1x2+b2x+c1=0的兩個根是1a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的兩個根是和；a1x2+b1x+c1=0的兩根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.≤a≤(x2)2+(xa)2=x2的兩根都是自然數(shù),試求a的值.、x2為正系數(shù)方程ax2+bx+c=0的兩根，x1+x2=m，x1…間；（2）練習二十一1.(1)(2)(3)3.B由于x為自然數(shù)，可知a為完全平方數(shù)即a=1，4，9，16，25，36，49.+2=0.,所以判別式=4k+2(其中k是自然數(shù)).令△=b24ac=4k+2,這時b2能被2整除,＝2t,這時b2=4t2,且4t24ac=4k+,而右邊的數(shù)不能被4整除,得出矛盾,故命題得證.可得x2198x+1=0,其根競賽講座25－絕對值與二次根式1．絕對值例1（1986年揚州初一競賽題）設T=|xp|+|x15|+|xp15|，其中0＜p＜≤x≤15的x的來說，T的最小值是多少？解由已知條件可得T=（xp）+（15x）+（p+15x）=30x.∵當p≤x≤15時，上式中在x取最大值時T最??；當x=15時，T=3015=15，故T的最小值是15.例2(1981年寧波初中競賽題)設的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,試求的值.解=4=2+(2),故x=2,y=2,∴x+y+=4+2+=6.例5化簡（a＞＞0）.解原式===∵a＞＞0.求證：證明：∵=∴原式=4.(2)乘方法:由于乘方與開方互為逆運算,順理成章地可以用乘方的方法去根號例8已知求證證明設則即同理可設則∴A+B===由A+B=a，得∴（2）x＞y且x、y是自然數(shù).當x=6時，y=1，得a=7.當x=3時，y=2，得a=5.故x=6,y=1,a=7.或x=3,y=2,a=5.例11化簡分析被開方式展開后得13+2,含有三個不同的根式,且系數(shù)都是2,可看成是將平方得來的.解設=,兩邊平方得13+2=x+y+z+2比較系數(shù),得?、佗冖邰?∴左邊=右邊（5）公式法、代數(shù)變換及其他例13已知x=求x3+12x的值.解由公式（ab）3=a3b33ab（ab）可得③再平方，整理后得④從而y2≤1，∴0≤y＜1.反過來,對于[0,1]中的每一個y值,由⑤可以定出a，并且這時2a2+2y2＞0，故可由⑤逆推出②和①，因而在a≥0時，的值域為（0，1）.同樣在a＜0時，的值域為（1，0），綜上的值域是（1，1）.練習十七1．選擇題（1）若實數(shù)x滿足方程|1x|=1+|x|，那么等于（）.（A）x1（B）1x（C）177。（B）有一組（D）多于二組2．空題（1）若a＞b＞c＞0，l1=乘積中最小的一個是__________.（3）已知則（5）（北京市1989年高一數(shù)學競賽題）設x是實數(shù)，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.則f（x）的最小值等于__________.(a＞0).＜0，a2+b2=a2b2，化簡5．如果x＞0，y＞0，且試求的值.6．（第8屆美國教學邀請賽試題）求的值.7．求適合下列各式的x、y；（1）若x、y為有理數(shù)，且（2）若x、y為整數(shù)，8．已知求證a2+b2=1.9．已知A=求證11＜A3B3＜12＜A3+B3＜13.10．（1985年武漢初二數(shù)學競賽題）已知其中a、b都是正數(shù).（1）當b取什么樣的值時，的值恰好為？（2）l（4）a22