【正文】 數(shù)，則4)=9(9177。3)=9(9177。2)=9(9177。1)=9(9177。9k177。證明　因為一個整數(shù)被9除只能是9k,9k177。對于n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。設四位數(shù)為，則我們可以得到下面的命題：除了上面關于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。性質5：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。這是因為　(2k+1)=4k(k+1)+1∴　k為奇數(shù)。即　k=10+8n+1=2(5+4n)+110k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6證明　已知=10k+6，證明k為奇數(shù)。(5a+9a+4)+110a+7,　　性質2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…10.（1985年北京市初中數(shù)學競賽題）若a為自然數(shù)，證明(ab+bc+ca)(a+b+c)abc..（2）（1989年廣州等五市聯(lián)賽）分解因式(x+y)(xy)+4(y1).（2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)12.（2）已知x2+x1=0,則x3+2x2+1985=____.))練6,177。2,177?！遖|(a319a),分析以（1985年武漢市初中數(shù)學競賽題）證明：2x+3為多項式2x45x310x2+15x+18的因式.分析=(ab)(bc)(ca).這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現(xiàn)以a為主元，設f(a)=a2(bc)+b2(ca)+c2(ab),易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0,故ab和ac是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知bc也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)=k(ab)(bc)(ca),其中k為待定系數(shù)，令a=0,b=1,c=1可得k=1.現(xiàn)在我們用因式定理來解例8.∴(xa)|f(x),=an(xnan)+an1(xn1an1)+…+a1(xa),=(anxn+an1xn1+…+a1x+a0)f(x)=f(x)f(a)設f(x)=anxn+an1xn1+…+a1x+a0,=2[(x+y)42xy(x+y)2+(xy)2]=(x+y)44xy(x+y)2+2x2y2.∵x4+y4例6原式=(A+6)(A+4)120=A2+10A96=(x2+5x+6)(x2+5x+4)120原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)120(x2+3x+2)(x2+7x+12)120.pr=d.(其中p、q、r均為整數(shù))x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)=3x2+5xy2y2+(a+3b)x+(2ab)y+ab.3x2+5xy2y2+x+9y4由于3x2+5xy2y2=(3xy)(x+2y)，故可設例3分解因式3x2+5xy2y2+x+9y4.故①的右邊兩個因子都大于1，故當k＞1時，z是合數(shù).=(n2+2k2+2nk)(n2+2k22nk)z=n4+a=[(1+y)+x2(1y)+2x]=[(1+y)+x2(1y)]22(1+y)x2(1y)2x2(1+y2)（1+y）22x2(1+y2)+x4(1y)2練習五１．Ａ．Ｃ．Ｅ．Ａ．２．① ）.（5）汽車A和B行駛同樣的距離，汽車A以每小時u千米行駛距離的一半并以每小時υ千米行駛另一半，汽車B以每小時u千米行駛所行時間的一半并以每小時υ千米行駛另一半，汽車A的平均速度是每小時x千米，汽車B的平均速度是每小時y千米，那么我們總有（ （E）這些都不是（3）某超級市場有128箱蘋果，每箱至少120只，至多144只，裝蘋果只數(shù)相同的箱子稱為一組，問其中最大一組的箱子的個數(shù)n，最小是（ 設起初有汽車k輛，開走一輛空車后，平均每輛車所乘的旅客為n名，顯然，k≥2，n≤32，由題意，知：22k+1=n(k1)，∴k1=1，或k1=23,即k=2，或k=24.當k=2時，n=45不合題意，當k=24時,n=23合題意，這時旅客人數(shù)為n(k1)=529.答：起初有24輛汽車，有529名旅客競賽中常見的應用題不一定是以求解的面目出現(xiàn)，還要善于用準確簡練的語言來表述自己正確的邏輯思維.例10（1986年加拿大數(shù)學競賽題）有一種體育競賽共含M個項目，有運動員A、B、C參加，在每個項目中，第一、二、三名分別得ppp3分，其中ppp3為正整數(shù)且p1＞p2＞p3，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米賽中取得第一，求M的值，并問在跳高中誰取得第二名？分析 x＜因為y與x都是正整數(shù)，所以x可能為6，5，4，3，2，1，相應地求出y的值為26，23，20，17，14，11.經(jīng)檢驗知，只有x=5，y=23和x=6，y=26這兩組解符合題意.答：有五只猴子，23顆花生，或者有六只猴子，26顆花生.例8（1986年上海初中數(shù)學競賽題）在一次射箭比賽中，已知小王與小張三次中靶環(huán)數(shù)的積都是36，且總環(huán)數(shù)相等，還已知小王的最高環(huán)數(shù)比小張的最高環(huán)數(shù)多（中箭的環(huán)數(shù)是不超過10的自然數(shù)），則小王的三次射箭的環(huán)數(shù)從小到大排列是多少？ 由①得：y=8+3x, ① 設每個車間原有成品x個，每天每個車間能生產y個成品；則一個車間生產兩天的所有成品為（x+2y）個，一個車間生產5天的所有成品為(x+5y)個，由于A組的8個檢驗員每天的檢驗速度相等，可得解得：x=4y一個檢驗員一天的檢驗速度為：又因為B組所檢驗的是5個車間，這5個車間生產5天的所有成品為5(x+5y)個，而這5(x+5y)個成立要B組的人檢驗5天，所以B組的人一天能檢驗(x+5y)個.因為所有檢驗員的檢驗速度都相等，所以，(x+5y)個成品所需的檢驗員為：（人）.答：B組有12個檢驗員.例7（1985年武漢市初一數(shù)學競賽題）把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，求猴子的只數(shù)和花生的顆數(shù).解：設有x只猴子和y顆花生，則： 在三點和四點之間，時鐘上的分針和時針在什么時候重合？分析 （1972年美國中學數(shù)學競賽題）若一商人進貨價便誼8%，而售價保持不變，那么他的利潤（按進貨價而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？解　，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個？競賽講座21 －應用題選講問參加棋類比賽的共有多少人？例4 邊長分別為6，5，2的三個正方形，如圖8—5所示放在桌面上。例2 某班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學得90分上的有25人；語文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90以上的有38人。原理一：給定兩個集合A和B，要計算A∪B中元素的個數(shù)，可以分成兩步進行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者說把A，B的一切元素都“包含”進來，加在一起）；第二步：減去∣A∩B∣（即“排除”加了兩次的元素）總結為公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣∣A∩B∣。我們用|A|表示有限集合A的元素個數(shù)(新教材中用表示有限集合A的元素個數(shù))。　　例1 求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。同時參加了圍棋和中國象棋比賽的共有13人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的7人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的11人，其中三種棋賽都參加的3人。這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：　　 　　求這個班的學生人數(shù)。 （選間接元）設坡路長x千米，則下坡需依題意列方程：解之，得x=3.答：A、B兩地相距9千米.解法2（選直接元輔以間接元）設坡路長為x千米，A、B兩地相距y千米，則有如下方程組解法3（選間接元）設下坡需x小時，上坡需y小時，依題意列方程組：例2 x=15.例3 設A、B、C三人原來各有x、y、z粒豆，可列出下表：則有：解得：x=104，y=56，z=32.答：原來A有豆104粒，B有56粒，C有32粒.例6（1985年寧波市初中數(shù)學競賽題）某工廠有九個車間，每個車間原有一樣多的成品，每個車間每天能生產一樣多的成品，而每個檢驗員檢驗的速度也一樣快，A組8個檢驗員在兩天之間將兩個車間的所有成品（所有成品指原有的和后來生產的成品）檢驗完畢后，再去檢驗另兩個車間的所有成品，又用了三天檢驗完畢，在此五天內，B組的檢驗員也檢驗完畢余下的五個車間的所有成品，問B組有幾個檢驗員？解 設小王和小張三次中靶的環(huán)數(shù)分別是x、y、z和a、b、c,不妨設x≤y≤z，a≤b≤c，由題意，有： 因為環(huán)數(shù)為不超過10的自然數(shù)，首先有z≠10，否則與①式矛盾.若設z=9,則由①知：xy=4,∴x=2,y=2,或x=1,y=4,∴x+y+z=13或x+y+z=14.又由②及c＜z知，c|36，∴c=6，這時，ab=6.∴a=2，b=3，或a=1，b=6∴a+b+c=11或a+b+c=13又由③知：x+y+z=a+b+c=13∴取x=2，y=2，z=9.答：小王的環(huán)數(shù)分別為2環(huán)，2環(huán)，9環(huán).例9（1980年蘇聯(lián)全俄第6屆中學生物理數(shù)學競賽題）一隊旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的乘客人數(shù)相等，起初，每輛汽車乘了22人，結果剩下一人未上車；如果有一輛汽車空車開走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上，已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車？有多少名旅客？解 ①又 （C） ）.（A）13 （D）無窮多 （E）25（4）兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液，在一個瓶子中酒精與水的容積之比是p:1，而在另一個瓶子中是q:1，若把兩瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精與水的容積之比是（ (C)x＝y(tǒng) (E)x＞y（1）已知鬧鐘每小時慢4分鐘，且在3點半時對準，現(xiàn)在正確時間是12點，則過正確時間______分鐘，鬧鐘才指到12點上.（2）若b個人c天砌f塊磚，則c個人用相同的速度砌b塊磚需要的天數(shù)是____.（3）某人上下班可乘火車或汽車，若他早晨上班乘火車則下午回家乘汽車；又假若他下午回家乘火車則早晨上班乘汽車，在x天中這個人乘火車9次，早晨乘汽車8次，下午乘汽車15次，則x=_______.（4）一個年齡