【正文】 ≥5.若p1≥6，則p2+p3≤2，這也與題設(shè)矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.A=22=45+2.故A得了四個(gè)第一，一個(gè)第二；B=9=5+41，故B得了一個(gè)第一，四個(gè)第三；C=9=42+1，故C得了四個(gè)第二，一個(gè)第三. 練 習(xí)五（1）打開A、B、C每一個(gè)閥門，注滿水槽需1小時(shí)；只打開A、C兩個(gè)閥門，；如果只打開B、C兩個(gè)閥門，需要2小時(shí)，若只打開A、B兩個(gè)閥門時(shí)，注滿水槽所需的小時(shí)數(shù)是（ （C） （D） ）.（A）13 （D）無窮多 ）（A）4 （E）25（4）兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液，在一個(gè)瓶子中酒精與水的容積之比是p:1，而在另一個(gè)瓶子中是q:1，若把兩瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精與水的容積之比是（ ）（A）x≤y (B)x≥y (C)x＝y(tǒng) (E)x＞y（1）已知鬧鐘每小時(shí)慢4分鐘，且在3點(diǎn)半時(shí)對(duì)準(zhǔn)，現(xiàn)在正確時(shí)間是12點(diǎn)，則過正確時(shí)間______分鐘，鬧鐘才指到12點(diǎn)上.（2）若b個(gè)人c天砌f塊磚，則c個(gè)人用相同的速度砌b塊磚需要的天數(shù)是____.（3）某人上下班可乘火車或汽車，若他早晨上班乘火車則下午回家乘汽車；又假若他下午回家乘火車則早晨上班乘汽車，在x天中這個(gè)人乘火車9次，早晨乘汽車8次，下午乘汽車15次，則x=_______.（4）一個(gè)年齡在13至19歲之間的孩子把他自己的年齡寫在他父親年齡的后面，從這個(gè)新的四位數(shù)中減去他們年齡差的絕對(duì)值得到4289，他們年齡的和為______.（5）一個(gè)城鎮(zhèn)的人口增加了1200人，然后這新的人口又減少了11%，現(xiàn)在鎮(zhèn)上的人數(shù)比增加1200人以前還少32人，則原有人口為_____人.3.（19821983年福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字小于其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其余各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字之和的二倍，求此四位數(shù).4.（第2屆《祖沖之杯》）甲乙兩人合養(yǎng)了幾頭羊，而每頭羊的賣價(jià)又恰為n元，兩人分錢方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應(yīng)該分給乙多少錢？5.（1986年湖北省荊州地區(qū)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）完成同一工作，A獨(dú)做所需時(shí)間為B與C共同工作所需時(shí)間的m倍，B獨(dú)做所需時(shí)間為A與C共同工作所需時(shí)間的n倍，C獨(dú)做所需時(shí)間為A與B共同工作所需時(shí)間的x倍，用m，n表示出x來.6.（1988年江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）今有一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字不盡相同，如將此三位數(shù)的各位數(shù)字重新排列，必可得一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)（例如，427，經(jīng)重新排列得最大數(shù)742，最小數(shù)247），如果所得最大數(shù)與最小數(shù)之差就是原來的那個(gè)三位數(shù)，試求這個(gè)三位數(shù).7.（1978年四川省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）某煤礦某一年產(chǎn)煤總量中，除每年以一定數(shù)量的煤作為民用、出口等非工業(yè)用途外，其余留作工業(yè)用煤，按照該年度某一工業(yè)城市的工業(yè)用煤總量為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算，可供這樣的三個(gè)工業(yè)城市用六年，四個(gè)這樣的城市用五年（當(dāng)然每年都要除去非工業(yè)用煤的那一個(gè)定量），問如果只供一個(gè)城市的工業(yè)用煤，可以用多少年？ ④５９歲競(jìng)賽講座22因式分解因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，具有一定的靈活性和技巧性，下面我們?cè)诔踔薪滩囊呀?jīng)介紹過基本方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合競(jìng)賽再補(bǔ)充介紹添項(xiàng)、拆項(xiàng)法，待定系數(shù)法、換元法、對(duì)稱式的分解等有關(guān)內(nèi)容和方法.添項(xiàng)、拆項(xiàng)的目的是在各項(xiàng)間制造公因式或便于利用公式分解因式，解題時(shí)要注意觀察分析題目的特點(diǎn).例1[(1+y)+x2(1y)2x]=(x2x2y+2x+y+1)(x2x2y2x+y+1)=[(x+1)2y(x21)][(x1)2y(x21)]=(x+1)(x+1xy+y)(x1)(x1xyy)例2（第11屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明：具有如下性質(zhì)的自然數(shù)a有無窮多個(gè)，=n4+a都不是素?cái)?shù).證明=n4+4k4=(n2+2k2)24n2k2①∵k為大于1的自然數(shù)，∴(n+k)2+k2＞1,比較兩邊系數(shù)得由①,②聯(lián)立得a=4,b=1,代入③式適合.∴原式=(3xy+4)(x+2y1).例4(1963年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)已知多項(xiàng)式x3+bx2+cx+d的系數(shù)都是整數(shù),若bd+cd是奇數(shù),證明這個(gè)多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.證明bd+cd=d(b+c)是奇數(shù),故b+c與d均為奇數(shù),那么pr也是奇數(shù),=1代入(因?yàn)樗呛愕仁?得1+b+c+d=(1+p)(1+q+r).①∵b+c,d為奇數(shù),∴1+b+c+d也為奇數(shù),而p為奇數(shù),∴1+p為偶數(shù).∴(1+p)(1+q+r)①的左端為奇數(shù),右端為偶數(shù),這是不可能的.所以,所述多項(xiàng)式不能分解成兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.例5分解因式x2+5x=A,證明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必為完全平方數(shù)解原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1為完全平方數(shù).說明:這里未設(shè)新元,但在思想上把a(bǔ)2+3a看作一個(gè)新元素.在一個(gè)含有若干個(gè)元的多項(xiàng)式中,如果任意交換兩個(gè)元的位置,多項(xiàng)式不變,這樣的多項(xiàng)式叫做對(duì)稱多項(xiàng)式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析這是一個(gè)二元對(duì)稱式,二元對(duì)稱式的基本對(duì)稱式是x+y,xy任何二元對(duì)稱多項(xiàng)式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)22xy,二元對(duì)稱多項(xiàng)式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.解=2(x+y)44xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)2xy]22(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(bc)+b2(ca)+c2(ab).此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(ab)+a2(bc)+b2(ca),原式不變,這類多項(xiàng)式稱為關(guān)于a、b、c的輪換對(duì)稱式，輪換對(duì)稱式的因式分解，用因式定理及待定系數(shù)法比較簡(jiǎn)單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號(hào)f(x)、f(a)如對(duì)一元多項(xiàng)式3x25x2可記作f(x)=3x25x2,f(a)即表示當(dāng)x=a時(shí)多項(xiàng)式的值，如x=1時(shí)多項(xiàng)式3x25x2的值為f(1)=312512=4,當(dāng)x=2時(shí)多項(xiàng)式3x25x2的值為f(2)=322522=0.因式定理如果x=a時(shí)多項(xiàng)式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被xa整除(即含有xa之因式).如多項(xiàng)式f(x)=3x25x2,當(dāng)x=2時(shí),f(2)=0,即f(x)含有x2的因式,事實(shí)上f(x)=3x25x2=(3x+1)(x2).證明這是一個(gè)關(guān)于a、b、c的四次齊次輪換多項(xiàng)式，可用因式定理分解，易知ab,bc,ca是多項(xiàng)式的三個(gè)因式，而四次多項(xiàng)式還有一個(gè)因式，由輪換對(duì)稱性可知這個(gè)一次因式應(yīng)是a+b+c，故可設(shè)a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)=k(ab)(bc)(ca)(a+b+c)（其中k為待定系數(shù)），取，a=0,b=1,c=1可得k=1,所以原式=(ab)(bc)(ca)(a+b+c).因式定理使用得更多的還是一元n次多項(xiàng)式的因式分解.例10f(x)記多項(xiàng)式.+15∴2x+3是f(x)的因式.例11∴a|30解1,177。3,177。5,177。10,177。30.∵f(1)=48,f(1)=12,f(2)=60,f(2)=0,f(3)=60,f(3)=0,f(5)=0.(這里已有f(2)、f(3)、f(5)等于零了，三次多項(xiàng)式只有三個(gè)一次因式，所以不必再計(jì)算了.)∴x319x30=k(x+2)(x+3)(x5),∴x3的系數(shù)為1，∴k=1,故習(xí))個(gè)(A)(D)9(E)10(2)二次多項(xiàng)式x2+2kx3k2能被x1整除,那么k值是((3)如果100x2kxy+49y2是一個(gè)完全平方式,那么k=((B)9800練習(xí)１．Ｄ．Ａ．Ｃ．２．（１）ｍ＝７．（２）１９８６３．（１）（ａ＋ｂ＋１）（ａ－ｂ＋３）．（２）（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋５）４．（１）（ａ２－ａｂ＋１）（ａｂ＋ｂ２＋１）（２）（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋ｙ－２）５．（ｘ＋ｙ－１）（ｘ２＋ｙ２＋ｘ＋ｙ＋１）．６．Ａ＝１０１９８６＋１＝（１０６６２）８＋１＝…分角為兩因數(shù)之積，且兩因數(shù)均大于１即可得證．７．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝…＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．８．（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．９．原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．再討論：ａ＝１或２時(shí)，知為質(zhì)數(shù)，ａ＞２為合數(shù).１０．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．當(dāng)ａ的個(gè)位數(shù)字分別為0～9時(shí),上式右端總含有因數(shù)2和5,∴１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）．競(jìng)賽講座23－完全平方數(shù)(一)完全平方數(shù)的性質(zhì)　　一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)：　　性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。　　證明　奇數(shù)必為下列五種形式之一：10a+1,10a+5,10a+9分別平方后，得　　(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1　　(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9　　(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5　　(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9　　(10a+9)=100+180a+81=20　　性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6，所以m的個(gè)位數(shù)為4或6，于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。推論1：如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個(gè)位數(shù)字不是6，那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。因?yàn)樽匀粩?shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類：3m,3m+1,平方后，分別得(3m)=9=3k(3m+1)=