【正文】 ………………………………（14分）6．（14分）已知數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足，（2） 求的表達(dá)式及的值；（3） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（4） 設(shè)，求證：當(dāng)且時(shí)，.解：（1）..（2）當(dāng)時(shí)，綜上，.（3）令，當(dāng)時(shí)，有 （1）法1：等價(jià)于求證.當(dāng)時(shí)，令，則在遞增.又，所以即.法（2） （2） （3）因，所以由（1）（3）（4）知.法3：令，則所以因則，所以 （5）由（1）（2）（5）知2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解二1. (本小題滿分12分)已知常數(shù)a 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2) 對任意n 179。 a時(shí), 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n 163。[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判斷函數(shù)p ( x ) = x2 – 1 是否滿足題設(shè)條件？(2) 判斷函數(shù)g(x)=，是否滿足題設(shè)條件？解： (1) 若u ,v 206。[–1，1]，v = 206。 [–1，0]，則|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，滿足題設(shè)條件；20. 若u ,v 206。[–1，0]，v206。40 若u206。[–1，0], 同理可證滿足題設(shè)條件.綜合上述得g(x)滿足條件.3. (本小題滿分14分)已知點(diǎn)P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x 185。 0 ).(1) 求證：| ac | 179。(2) 求證：在(–1，+∞）上f ( x )單調(diào)遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.證：(1) ∵ t206。 –1, ∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 179。 0, ∴c2a2 179。 4. (2) 由 f ( x ) = 1 – ,法1. 設(shè)–1 x1 x2, 則f (x2) – f ( x1) = 1– –1 + = .∵ –1 x1 x2, ∴ x1 – x2 0, x1 + 1 0, x2 + 1 0 ,∴f (x2) – f ( x1) 0 , 即f (x2) f ( x1) , ∴x 179。 –1, ∴x –1時(shí)，f ( x )單調(diào)遞增.（3）（僅理科做）∵f ( x )在x –1時(shí)單調(diào)遞增，| c | 179。 f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4．（本小題滿分15分）設(shè)定義在R上的函數(shù)（其中∈R，i=0,1,2,3,4），當(dāng)x= －1時(shí)，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y=f (x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)（－1，0）對稱．（1） 求f (x)的表達(dá)式；（2） 試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上；（3） 若，求證：解：（1）…………………………5分 （2）或…………10分 （3）用導(dǎo)數(shù)求最值，可證得……15分5．（本小題滿分13分）設(shè)M是橢圓上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MN⊥MQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程．解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)則……1分 ………………………………………………………3分 由（1）－（2）可得………………………………6分 又MN⊥MQ，所以 直線QN的方程為，又直線PT的方程為……10分 從而得所以 代入（1）可得此即為所求的軌跡方程.………………13分6．（本小題滿分12分）過拋物線上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.解法（一）：（1）設(shè)由得：………………………………3分直線PA的方程是：即 ① 同理，直線PB的方程是： ②由①②得：∴點(diǎn)P的軌跡方程是……………………………………6分（2）由（1）得： …………………………10分所以故存在=1使得…………………………………………12分解法（二）：（1）∵直線PA、PB與拋物線相切，且∴直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且設(shè)PA的直線方程是由得：即…………………………3分即直線PA的方程是：同理可得直線PB的方程是：由得：故點(diǎn)P的軌跡方程是……………………………………6分（2）由（1）得：………………………………10分故存在=1使得…………………………………………12分7．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù).（1） 求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（2） 設(shè)，求證：解：（1）對恒成立，對恒成立又 為所求.…………………………4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即……………………………………8分另一方面，設(shè)函數(shù)∴在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又∴當(dāng)時(shí)，∴ 即綜上所述，………………………………………………14分8．(本小題滿分12分)如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，、在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對稱，在邊上，的周長為12．若一雙曲線以、為焦點(diǎn)，且經(jīng)過、兩點(diǎn)．(1) 求雙曲線的方程；(2) 若一過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、且，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：(1) 設(shè)雙曲線的方程為，則．由，得，即．∴ （3分）解之得，∴．∴雙曲線的方程為． （5分）(2) 設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使．設(shè)直線的方程為，．由，得．即 ① （6分）∵，∴．即． ② （8分）把①代入②，得 ③ （9分）把代入并整理得其中且，即且． ． （10分）代入③，得 ，化簡得 ．當(dāng)時(shí)，上式恒成立．因此，在軸上存在定點(diǎn)，使． （12分）9．(本小題滿分14分)已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對任意都有（為大于1的常數(shù)），記．(1) 求；(2) 試比較與的大?。ǎ?；(3) 求證：，（）．解：(1) ∵， ①∴． ②②－①，得，即． （3分）在①中令，可得．∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，． （4分）(2) 由(1)可得．．∴， （5分）．而，且，∴，．∴，（）． （8分）(3) 由(2)知 ，（）．∴當(dāng)時(shí)，．∴， （10分）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．另一方面，當(dāng)，時(shí)，．∵，∴．∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．（13分）∴．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．綜上所述，（）．（14分）2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解三1．（本小題滿分13分） 如圖，已知雙曲線C：的右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). （I）求證：； （II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程； （III）在（II）的條件下，直線過點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數(shù)方法給出證明.解：（I）右準(zhǔn)線，漸近線 ， ……3分 （II） 雙曲線C的方程為： ……7分 （III）由題意可得 ……8分 證明：設(shè)，點(diǎn) 由得 與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q ……11分 ，得 的取值范圍是（0，1） ……13分2．（本小題滿分13分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （III）在集合，且中，是否存在正整數(shù)N，使得不等式對一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小的正整數(shù)N；若不存在，請說明理由. （IV）請構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的數(shù)列，使得