【正文】 f（x）的實(shí)義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）中心對稱，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜﹣1時，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．則不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集為（　　）A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】由題意設(shè)g（x）=（x+1）f（x），求出g′（x）后由條件判斷出符號，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出g（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，由條件和圖象平移判斷出：函數(shù)f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）中心對稱，由奇函數(shù)的圖象可得：函數(shù)f（x﹣1）是奇函數(shù)，令h（x）=g（x﹣1）=xf（x﹣1），判斷出h（x）的奇偶性和單調(diào)性，再等價轉(zhuǎn)化不等式，求出不等式的解集．【解答】解：由題意設(shè)g（x）=（x+1）f（x），則g′（x）=f（x）+（x+1）f′（x），∵當(dāng)x＜﹣1時，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，∴當(dāng)x＜﹣1時，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，則g（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）中心對稱，∴函數(shù)f（x﹣1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）中心對稱，則函數(shù)f（x﹣1）是奇函數(shù)，令h（x）=g（x﹣1）=xf（x﹣1），∴h（x）是R上的偶函數(shù)，且在（﹣∞，0）遞增，由偶函數(shù)的性質(zhì)得：函數(shù)h（x）在（0，+∞）上遞減，∵h(yuǎn)（1）=f（0），∴不等式xf（x﹣1）＞f（0）化為：h（x）＞h（1），即|x|＜1，解得﹣1＜x＜1，∴不等式的解集是（﹣1，1），故選C．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，偶函數(shù)的定義以及性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移變換，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造法，化簡、變形能力．　2017年上海市高三數(shù)學(xué)競賽一，填空題：（本大題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1， 函數(shù)的定義域是________,值域是_________.2， 數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足：，，而且，則數(shù)列通項(xiàng)公式=__________.3，用一張正方形紙片（不能剪裁）完全包住一個側(cè)棱長和底邊長均為1的正四棱錐，則這個正方形的邊長至少是___________.4，一個口袋中有10張卡片，分別寫著0,1,2，，， 9，從中任意連續(xù)取出4張，按取出的順序從左到右組成一個四位數(shù)（若0在最左邊，則該數(shù)視作三位數(shù)），則這個數(shù)小于2017的概率是________.5，設(shè)=___________.6，設(shè)集合，滿足，則這樣的子集A共有___________個。7，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若線段AB（包括端點(diǎn)A,B）在圓C的外部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.8， 一串“十”，“一”號排成一行，從左往右看，就會產(chǎn)生“變號”。例如：十十一十一一十，其中有4次“變號”若有10個“十”號與6個“一”號排成一行，產(chǎn)生7次“變號”，則這種排列共有________種.二，解答題：（本大題滿分60分，每題15分）9，已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，而且對于一切正實(shí)數(shù)，均有（1）證明：數(shù)列的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)；（2）證明：10， 給定正實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù)的值。11，求滿足的所有正整數(shù)12，將5X5矩陣的每個元素都取成1,2,3,4,5這五個數(shù)之一，要求每行的5個元素互不相等，而對任意相鄰兩行，掐存在一個，使得這兩行在第k列上的元素相等。此時，若矩陣中存在某一列上相鄰的3個元素相等，則稱該矩陣為“有趣的”；否則，若任意一列上都不出現(xiàn)相鄰的3個元素相等，則稱該矩陣為“無趣的”；試比較有趣的矩陣的個數(shù)與無趣的矩陣的個數(shù)的大小。參考答案一，填空題1，【答案】【解析】求定義域：，求值域：2,【答案】【解析】（方法1）找規(guī)律+數(shù)學(xué)歸納法/代入檢驗(yàn)計算可得：n11241632549464100，，，，，，歸納得:（數(shù)學(xué)歸納法證明/代入檢驗(yàn)略）。（方法2）嚴(yán)格推導(dǎo)（注意舍去增根）原方程變形可得：由求根公式得：開方可得：計算可得：由已知數(shù)列是遞增數(shù)列，所以當(dāng)進(jìn)而，（小跟不滿足“數(shù)列是遞增數(shù)列”因此舍去）可證數(shù)列從第三項(xiàng)開始等差數(shù)列，驗(yàn)證可得前兩項(xiàng)也符合，本題有兩解。3，【答案】【解析】將正四棱錐的四條側(cè)棱剪開，把四個側(cè)面分別沿著各自的底邊翻折下來，使得四個側(cè)面等邊三角形和底面等邊三角形和底面四邊形共面，那么能包住此“側(cè)面展開圖”圖形的最小正方形即符合題意。4,【答案】【解析】分類討論：第一位是0，第一位是1，第二位是2（2013~2016）。5, 【答案】【解析】（方法一）運(yùn)用數(shù)列“逆序求和法”記則兩式相加可得：,可得原式的值為（方法二）嚴(yán)格推導(dǎo)（三角函數(shù)+數(shù)列分組求和法）綜上，原式6， 【答案】165【解析】窮舉法。對于的值分類討論：，符合題意的子集A共有：7, 【答案】【解析】（方法一）數(shù)形結(jié)合+分類討論1）2） 若在第三象限，此時只需點(diǎn)A在圓C外即可符合題意；（恒符合題意）3） 若在第四象限，而且在線段AB的正下方。此時只需圓C的半徑即可符合一；解得；4） 若在第四象限。此時只需點(diǎn)B在圓C外即可符合題意；解得綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（方法二）轉(zhuǎn)化成不等式恒成立的問題+分類討論在線段AB上任取一點(diǎn)由題意，點(diǎn)P恒在圓C外，因此：恒成立。對實(shí)數(shù)a的值分類討論可得：1） 如果，原不等式恒成立，符合題意；2） 如果）若恒成立，符合題意；）若時該不等式不成立，舍去；3）如果）若，分子有理化可得：，對任意恒成立，符合題意；）若對任意恒成立。綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是8, 【答案】672【提示】由于是否變號僅看“十”，“一”號是否從左向右交替出現(xiàn)?？紤]“一”號有幾組（連續(xù)的“一”號算一組，用【一】表示）：要產(chǎn)生7次“變號”，必須出現(xiàn)4組“一”號，與“十”號組（用【十】表示）的相對位置有如下兩種情況：（1）【一】【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】（2）【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】【一】將6個“一”號分成4組，亦有兩種情況：（3+1+1+1），（2+2+1+1）1）———【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】由插杠法可得：2)—【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】由插杠法可得：3)【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】———由插杠法可得：4）【十】【一】【十】【一】【十】【一】【十】—由插杠法可得：綜上所述，共有2（84+252）=672種二，解答題9， 【解析】證明：（1）當(dāng)；兩式相減可得：；換元法設(shè)；又，由易知：對于任意,恒有：數(shù)列單調(diào)遞增，而且每一項(xiàng)都是正整數(shù)。所以對于任意,數(shù)列的每一項(xiàng)都是正整數(shù)，而，所以數(shù)列的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)，得證。（2）由可得：，易證書列，為公比的等比數(shù)列，可得，可得：，易證數(shù)列，即。故綜上所述，10，【答案】【解析】（方法一）數(shù)形結(jié)合復(fù)數(shù)（模）的幾何意義+解析幾何軌跡方程由已知，；設(shè)復(fù)數(shù)z在在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是消t可得，（原點(diǎn)除外）；由已知的最大值是2，說明：在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的距離的最大值是2，可知：內(nèi)切。列式得（方法二）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，模公式+求分式函數(shù)值域由已知，；所以對參數(shù)的值分類討論可得：1）2）如果3）如果由基本不等式可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）進(jìn)而；取倒數(shù)可得：；故；所以；綜合1）2）3）可知11， 【答案】【解析】去分母可得：解三角方程可得：或者化簡得：。前者由于所以反表示可得：；當(dāng)且僅當(dāng)是非負(fù)整數(shù)，即（其余情況可以用余數(shù)定理來判斷均不符合題意，過程略）綜上所述，所求正整數(shù)12,【答案】【提示】對于同一列上相鄰的相等元素的個數(shù)展開分類討論：1） 同一列上相鄰的5個元素相等：2）同一列上相鄰的4個元素相等：（分成R1~4和R2~5兩種情況，種數(shù)相等）。3）同一列上相鄰的3個元素相等：（分成僅四種情況，前兩種情況的種數(shù)相等）。 。4)任意一列上都不出現(xiàn)相鄰的3個元素相等：（即“無趣的”矩陣的個數(shù)）【解】用總數(shù)減去上述1），2），3）的情況數(shù)綜合1）2）3）4）可得：2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試（A卷）一，填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分1. 設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)有又當(dāng)，則的值為__________.2. 若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是___________.3. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C的方程為，F(xiàn)為C的上焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，P是C上位于第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，則四邊形OAPF的面積最大值為____________.4. 若一個三位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)碼的差均不超過1，則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)是__________.5. 正三棱錐將其面積平分，則棱PC與平面所成角的余弦值為________.6. 在平面直角坐標(biāo)系中，則這三個點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為的概率為_________.7. 在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，,△ABC的面積為，則的最小值為________.8. 設(shè)兩個嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列，對任意整數(shù)n,有，二，解答題：本大題共三小題，證明過程或演算步驟9. （本題滿分16分）設(shè)k,m為實(shí)數(shù)，不等式成立。 證明：10. （本題滿分20分）設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足求的最小值和最大值.11. （本題滿分20分）設(shè)復(fù)數(shù)（其中表示復(fù)數(shù)的實(shí)部）. （1） （2）求參考答案及解析一，填空題：1. 【答案】【解析】由條件知，所以2. 【答案】【解析】由于，故，由可知，.因此當(dāng)時，有最小值1（這時）；，從而3. 【答案】【解析】：其中4. 【答案】75【解析】考慮平穩(wěn)數(shù)綜上可知，平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)是2+6+63+4=755. 【答案】【解析】設(shè)AB,PC,的中點(diǎn)分別為K,M，則易證平面ABM就是平面，由中線長公式知所以又易知直線PC在平面上的射影是直線MK，而CM=1，,所以故棱PC與平面所成角的余弦值為6. 【答案】【解析】易知K中有9個點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個點(diǎn)的方式數(shù)為種.將K中的點(diǎn)按右圖標(biāo)記為,，考慮取兩點(diǎn)的情況，則剩下的一個點(diǎn)有7種取法，這樣有個三點(diǎn)組（不計每組中三點(diǎn)的次序）.對每個兩點(diǎn)與之距離為（這里下標(biāo)按模8理解），因而恰有這8個三點(diǎn)組被計了兩次，從而滿足條件的三點(diǎn)組個數(shù)為568=48，進(jìn)而所求概率為7. 【答案】【解析】由條件知，,故由于，進(jìn)一步可得,從而8. 【答案】13,20【解析】有條件可知：均為正整數(shù)，且，由于，故.反復(fù)運(yùn)用的遞推關(guān)系知因此而， ①另一方面，注意到 ②得到唯一的正整數(shù)，得到唯一正整數(shù)，此時綜上所述，的所有可能值為13,209. 【證明】 ……………………4分 ……………………16分10.【證明】解：由柯西不等式時不等式等號成立，故欲求的最小值為1， ……………………5分因?yàn)闀r不等式等號成立，故欲求的最大值為.………………20分11，【答案】解：（1）對因此又當(dāng) ……………………5分（2）對對應(yīng)到平面直角坐標(biāo)系關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則.設(shè)根據(jù)雙曲線定義，有，進(jìn)而得………………15分等號成立當(dāng)且僅當(dāng)綜上可知， ……………………20分