圓柱與圓錐題庫教師版-資料下載頁
2025-01-09 16:49本頁面
【正文】 分班考試題目 )如圖，在一個(gè)正方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長方體的洞，在上下底面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞．已知正方體邊長為 10 厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為 4 厘米的正方形，上下底面的洞口是直徑為 4 厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積． 【解析】 ⑴先求表面積 ． 表面積可分為外側(cè)表面積和內(nèi)側(cè)表面積 ． 外側(cè)為 6 個(gè)邊長 10 厘米的正方形挖去 4 個(gè)邊長 4 厘米的正方形及 2 個(gè)直徑 4 厘米的圓，所以，外側(cè)表面積為： 210 10 6 4 4 4 π 2 2 536 8 π? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(平方厘米 )； 內(nèi)側(cè)表面積則為右上圖所示的立體圖形的表面積，需要注意的是這個(gè)圖形的上下兩個(gè)圓形底面和前后左右 4 個(gè)正方形面不能計(jì)算在內(nèi)，所以內(nèi)側(cè)表面積為： ? ?24 3 16 2 4 4 π 22 π 2 3 2 19 2 32 8 π 24 π 22 4 16 π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(平方厘米 )， 所以，總表面積為： 2 2 4 1 6 π 5 3 6 8 π 7 6 0 8 π 7 8 5 .1 2? ? ? ? ? ?(平方厘米 )． ⑵ 再求體積 ． 計(jì)算體積時(shí)將挖空部分的立體圖形取出，如右上圖，只要求出這個(gè)幾何體的體積，用原立方體的體積減去這個(gè)體積即可 ． 挖出的幾何體體積為： 24 4 3 4 4 4 4 π 2 3 2 192 64 24 π 256 24 π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(立方厘米 )； 所求幾何體體積為： ? ?10 10 10 25 6 24 π 66 4? ? ? ? ?(立方厘米 )． 板塊二 旋轉(zhuǎn) 問題 【例 24】 如圖， ABC 是直角三角形， AB 、 AC 的長分別是 3 和 4．將 ABC? 繞 AC 旋轉(zhuǎn)一周，求 ABC?掃出的立體圖形的體積． (π ? ) CB A 43 【解析】 如右上圖所示， ABC? 掃出的立體圖形是一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的底面半徑為 3，高為 4， 體積為： 21 π 3 4 1 2 π 3 7 .6 83 ? ? ? ? ?． 【例 25】 已 知直角三角形的三條邊長分別為 3cm ， 4cm ， 5cm ，分別以這三邊軸，旋轉(zhuǎn)一周，所形成的立體圖形中，體積最小的是多少立方厘米？ (π 取 ) 442 圓柱與圓錐 題庫 page 11 of 12 【解析】 以 3cm 的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是 4 cm ，高是 3cm 的圓錐體，體積為231 3 .1 4 4 3 5 0 .2 4 ( c m )3 ? ? ? ? 以 4cm 的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是 3 cm ，高是 4cm 的圓錐體，體積為231 3 .1 4 3 4 3 7 .6 8 ( c m )3 ? ? ? ? 以 5cm 的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是底面半徑是斜邊上的高 3 4 5 ? ? ? cm 的兩個(gè)圓錐，高之和是5cm 的兩個(gè)圓的組合體，體積為 231 3 .1 4 2 .4 5 3 0 .1 4 4 ( c m )3 ? ? ? ? 【鞏固】 如圖，直角三角形如果以 BC 邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為 16π ，以 AC 邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為 12π ，那么如果以 AB 為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體的體積是多少？ ABC 【解析】 設(shè) BC a? ， AC b? ，那么以 BC 邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的圓錐的體積為 2π3ab，以 AC 邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為 2π3ab，由此可得到兩條等式： 224836abab? ??? ???，兩條等式相除得到 43ba?，將這條比例式再代入原來的方程中就能得到 34ab?????，根據(jù)勾股定理，直角三角形的斜邊 AB 的長度為 5 ， 那么 斜邊上的高為 ． 如果以 AB 為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體 相當(dāng)于兩個(gè)底面相等的圓錐疊在一起，底面半徑為 ，高的和為 5，所以 體積是 π 5 ? ? ． 【例 26】 如圖， ABCD 是矩形， 6cmBC? ， 10cmAB? ，對(duì)角線 AC 、 BD 相交 O ． E 、 F 分別是 AD 與BC 的中點(diǎn)，圖中的陰影部分以 EF 為軸旋 轉(zhuǎn)一周，則白色部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘米？ (π 取 3) OFAB CDE OFAB CDE 【解析】 掃出的圖形如右上圖所示，白色部分實(shí)際上是一個(gè)圓柱減去兩個(gè)圓錐后所形成的圖形． 兩個(gè)圓錐的體積之和為 212 π 3 5 3 0 π 903? ? ? ? ? ?(立方厘米 )； 圓柱的體積為 2π 3 10 270? ? ? (立方厘米 )， 所以白色部分掃出的體積為 270 90 180?? (立方厘米 )． 442 圓柱與圓錐 題庫 page 12 of 12 【鞏固 】 (2022 年 第十一屆 華杯賽 決賽 試題 )如圖， ABCD 是矩形， 6cmBC? ， 10cmAB? ，對(duì)角線 AC 、 BD相交 O ．圖中的陰影部分以 CD 為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米？ DCBAO 【解析】 設(shè)三 角形 BCO 以 CD 為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體圖形的體積是 V ，則 V 等于高為 10 厘米，底面半徑是 6 厘米的圓錐，減去 2 個(gè)高為 5 厘米，底面半徑是 3 厘米的圓錐的體積后得到 ． 所以， 2211π 6 1 0 2 π 3 5 9 0 π33V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(立方厘米 )， 那么陰影部分掃出的立體的體積是 2 180π 540V ??(立方厘米 )．
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