圓柱與圓錐題庫教師版(編輯修改稿)
2025-02-05 16:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )如圖，底面積為 50 平方厘米的圓柱形容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長為 5 厘米的正方體木塊，木塊浮出水面的高度是 2 厘米．若將木塊從容器中取出，水面將下降 ________厘米． 2厘米 【解析】 在水中的木塊體積為 5 5 3 75? ? ? (立方厘米 )，拿出后水面下降的高度為 75 50 ?? (厘米 ) 【例 12】 有兩個 棱 長為 8 厘米的正方體盒 子， A 盒中放入直徑為 8 厘米、高為 8 厘米的圓柱體鐵塊一個，B 盒中放入直徑為 4 厘米、高為 8 厘米的圓柱體鐵塊 4 個，現(xiàn)在 A 盒注滿水，把 A 盒的水倒入 B 盒 ，使 B 盒也注滿水，問 A 盒余下的水是多少立方厘米？ 【解析】 將圓柱體分別放入 A 盒、 B 盒后，兩個盒子的底面被圓柱體占據(jù)的部分面積相等，所以兩個盒子的底面剩余部分面積也相等，那么兩個盒子的剩余空間的體積是相等的，也就是說 A 盒中裝的水恰好可以注滿 B 盒而無剩余，所以 A 盒余下的水是 0 立方厘米 ． 【例 13】 蘭州來的馬師傅擅長做拉面，拉出的面條很細很細，他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個面團先搓成圓柱形面棍，長 米．然后對折，拉長到 米；再對折，拉長到 米……照此繼續(xù)進行下去，最后拉出的面條粗細 (直徑 )僅有原先面棍的 164．問：最后馬師傅拉出的這些細面條的總長有多少米？ (假 設(shè)馬師傅拉面的過程中．面條始終保持為粗細均勻的圓柱形，而且沒有任何浪費 ) 【解析】 最后拉出的面條直徑是原先面棍的 164，則截面積是原先面棍的2164，細面條的總長為： 64 ?? (米 )．注意運用比例思想 ． 【例 14】 一個圓柱形容器內(nèi)放有一個長方形鐵塊．現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌水． 3 分鐘時水面恰好沒過長方體的頂面．再過 18 分鐘水灌滿容器．已知容器的高為 50 厘米，長方體的高為 20 厘米，求長方體底面面積 與容器底面面積之比． 【解析】 因為 18 分鐘水面升高： 50 20 30??(厘米 )．所以圓柱中沒有鐵塊的情形下水面升高 20 厘米需要的時間是： 2022 1230??(分鐘 )，實際上只用了 3 分鐘，說明容器底面沒被長方體底面蓋住的部分只占容器底面積的 13:12 4? ，所以長方體底面面積與容器底面面積之比為 3:4 ． 442 圓柱與圓錐 題庫 page 7 of 12 【例 15】 一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是 80 平方厘米， 高是 15 厘米， 水深 8 厘米．現(xiàn)將一個底面積是 16 平方厘米 ，高為 12 厘米的長方體鐵塊 豎放在水中后．現(xiàn)在水深多少厘米 ？ 【解析】 根據(jù)等積變化原理：用水的體積除以水的底面積就是水的高度． (法 1)： 80 8 ( 80 16 ) 64 0 64 10? ? ? ? ? ?(厘米 )； (法 2)：設(shè)水面上升了 x 厘米．根據(jù)上升部分的體積 =浸入水中鐵塊的體積列方程為： 80 16(8 )xx??，解得： 2x? ， 8 2 10?? (厘米 )． (提問 ” 圓柱高是 15 厘米 ” ，和 ” 高為 12 厘米的長方體鐵塊 ” 這 兩 個條件給的是否多余？ ) 【鞏固】 一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是 80 平方厘米， 高是 15 厘米， 水深 10 厘米 ． 現(xiàn)將一個底面積是 16 平方厘米 ， 高為 12 厘米的長方體鐵塊 豎放在水中后． 現(xiàn)在水深多少厘米 ？ 【解析】 8 0 1 0 (8 0 1 6 ) 1 2 .5? ? ? ?，因為 12? ，所以此時水已淹沒過鐵塊， 80 10 (80 16) 12 32? ? ? ? ?，32 80 ?? ，所以現(xiàn)在水深為 12 ?? 厘米 【鞏固】 一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是 80 平方厘米， 高是 15 厘米， 水深 13 厘米 ． 現(xiàn)將一個底面積是 16 平方厘米 ， 高為 12 厘米的長方體鐵塊 豎放在水中后． 現(xiàn)在水深多少厘米 ？ 【解析】 玻璃杯剩余部分的體積為 80 (15 13) 160? ? ? 立方厘米，鐵塊體積為 16 12 192?? 立方厘米，因為160 192? ，所以水會溢出玻璃杯，所以現(xiàn)在水深就為玻璃杯的高度 15 厘米 【總結(jié)】 鐵塊放入玻璃杯會出現(xiàn)三種情況： ①放入鐵塊后，水深不及鐵塊 高 ；②放入鐵塊后，水深比鐵塊 高但未溢出 玻璃杯； ③水有溢出 玻璃杯 ． 【說明】 教師可以在此穿插一個關(guān)于阿基米德測量黃金頭冠的體積的故事． 一天國王讓工匠做了一頂黃金的頭冠，不知道工匠有沒有摻假，必須知道黃金頭冠的體積是多少，可是又沒有辦法來測量． (如果知道體積，就可以稱一下純黃金相應(yīng)體積的重量，再稱一下黃金頭冠的重量，就能知道是否摻假的結(jié)果了 )于是，國王就把測量頭冠體積的任務(wù)交給他的大臣阿基米德． (小朋友們，你們 能幫阿基米德解決難題嗎？ ) 阿基米德苦思冥想不得其解，就連晚上沐浴時還在思考這個問題． 當(dāng)他坐進水桶里，看到水在往外滿溢時，突然靈感迸發(fā)，大叫一聲： ” 我找到方法了…… ” ，就急忙跑出去告訴別人，大家看到了一個還光著身子的阿基米德． 他的方法是：把水桶裝滿水，當(dāng)把黃金頭冠放進水桶，浸沒在水中時，所收集的溢出來的水的體積正是頭冠的體積． 【例 16】 一個圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面高 厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是 72 平方厘米．在這個杯中放進棱長 6 厘米的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒 鐵塊．這時水面高多少厘米 ？ 【解析】 把放入鐵塊后的玻璃杯看作一個底面如 右 圖的新容器，底面積是 72— 6 6=36(平方厘米 )． 水的體積是 72 180?? (立方厘米 )． 后來水面的高為 180247。 36=5(厘米 )． 【例 17】 一個盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米．今將一個底面半徑為 2 厘米，高為 17 厘米的鐵圓柱垂直放 入 容器中．求這時容器的水深是多少厘米 ？ 【解析】 若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應(yīng)等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為 ： 2225 15 2 175 ???? ? ? ? ?? ?(
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